|
Aim.uz
Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks sonning trigonometrik shaklda yozilishi. Trigonometrik shakldagi komleks sonlar ustida amallar
 kompleks sonni geometrik tasvirlash uchun  to’g’ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasidan foydalanamiz. Bunda  o’qida  birlikni,  o’qida  birlikni ajratib ularning oxirlaridan o’qlarga perpendikulyarlar o’tkazamiz. Ular o’zaro kesishib  nuqtani hosil qiladi. Bu nuqta  kompleks sonning tekislikdagi geometrik tasviri bo’ladi. Demak, har bir kompleks songa tekislikda bitta nuqta mos kelar ekan va aksincha tekislikdagi har bir  nuqtaga bitta kompleks son mos keladi (1-chizma). Bu esa kompleks sonlar to’plami bilan tekislik nuqtalari orasida bir qiymatli moslik borligini anglatadi. Shunday qilib, tekislikni kompleks sonlar tekisligi deb qarash mumkin ekan.
Koordinatalar boshi  nuqta bilan nuqtani birlashtiruvchi  kesma uzunligi  ga kompleks sonning moduli deyiladi va  kabi belgilanadi.
Pifagor teoremasiga asosan,
 bo’lishi ravshan.
vektor bilan  o’qi orasidagi  burchakka kompleks sonning argumenti deyiladi va  kabi belgilanadi. Demak,  . 1-chizmadan ko’rinadiki,
 ,  yoki 
bo’lib, bular yordamida kompleks sonning argumentini topish mumkin. Ulardan  ifodalarga ega bo’lib, bundan esa kompleks sonni
ko’rinishda yozish mumkinligini aniqlaymiz. Kompleks sonning bu ko’rinishiga uning trigonometrik shakli deyiladi. Kompleks sonning bunday ko’rinishda yozilishi bir qator qulayliklarga olib keladi.
Aytaylik  va  kompleks sonlar berilgan bo’lsin. Bu yerda  ,  ,  va  . Yer - Quyosh sistemasidagi Quyoshdan uzoqligi jihatdan uchinchi (Merkuriy, Venera sayyoralaridan keyin) sayyora. U oʻz oʻqi atrofida va aylanaga juda yaqin boʻlgan elliptik orbita boʻyicha Quyosh atrofida aylanib turadi. U holda  va  lar quyidagicha aniqlanadi.
 ;
 .
Trigonometrik shaklda berilgan  kompleks
son uchun  va  larni quyidagicha aniqlash mumkin:
 ; 
Bu formulalar Muavr formulalari deyiladi.
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1.  ;  ;  ;  ;  ;  sonlarni tekislikda tasvirlang.
Yechish: ni  ko’rinishda yozish mumkin. Demak,  bo’lib, berilgan sonning geometrik tasviri  nuqtadan iborat.
ni  ko’rinishda yozish mumkin. Demak,  bo’lib, berilgan sonning geometrik tasviri  nuqtadan iborat bo’ladi.
da  bo’lgani uchun uning geometrik tasviri  nuqtadan iborat bo’ladi.
da  bo’lgani uchun uning geometrik tasviri  nuqtadan iborat bo’ladi.
da  bo’lgani uchun uning geometrik tasviri  nuqtadan iborat.
da  bo’lgani uchun uning geometrik tasviri  nuqta bo’ladi (2-chizma).
2.  kompleks sonning moduli va argumenti topilsin.
Yechish:Bu yerda  ,  bo’lganligi uchun 
 kelib chiqadi. bo’lib, c ,  bo’lishi ravshan. Bu tenglamalar  oralig’ida yagona  yechimga ega.
3.  kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing.
Yechish: a ,  bo’lganligi uchun  .
 va  bo’lib, bu munosabatlardan  ni topamiz. Demak,  va yoki  bo’lgani uchun 
4.  kompleks sonni trigonometrik shaklda tasvirlang.
Yechish: Bu yerda  ,  bo’lganligi uchun  .
kompleks sonni geometrik shaklda tasvirlaymiz (3-chizma).
 ,  .
Bu munosabatlarga  burchak mos keladi. Demak,
 .
5.  kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing.
Yechish:  bo’lganligi uchun  ,  bo’ladi.  . kompleks sonni geometrik shaklda tasvirlaymiz (4-chizma).
Berilgan kompleks sonning argumenti  ga teng. Demak,
 .
6.  va  kompleks sonlar berilgan. ; ;  ;  , lar topilsin.
Yechish: 1)
  .
Demak,  
2)  
3)  
4)  bo’lib,
 da 
 da 
 da  .
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:
1.    kompleks sonlarni geometrik shaklda tasvirlang.
2. Quyidagi kompleks sonlarni trigonometrik shaklda yozilsin:
1)  
Javob: 1)  
3)  4) 
5)  6)  .
3. ko’paytma topilsin.
1)  ,  ;
2)  ,  ;
3)  ,  .
4.  topilsin.
1)  ,  ;
2)  , 
1) Agar  bo’lsa,  topilsin.
2) Agar  bo’lsa,  topilsin.
3) Agar  bo’lsa,  topilsin.
5. Quyidagilarni hisoblang.
1)  ; 2)  bo’lsa,  topilsin.
3)  bo’lsa, topilsin.
4)  topilsin.
5)  topilsin.
Aim.uz
| 