|
Aim.uz
Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks sonning trigonometrik shaklda yozilishi. Trigonometrik shakldagi komleks sonlar ustida amallar
kompleks sonni geometrik tasvirlash uchun to’g’ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasidan foydalanamiz. Bunda o’qida birlikni, o’qida birlikni ajratib ularning oxirlaridan o’qlarga perpendikulyarlar o’tkazamiz. Ular o’zaro kesishib nuqtani hosil qiladi. Bu nuqta kompleks sonning tekislikdagi geometrik tasviri bo’ladi. Demak, har bir kompleks songa tekislikda bitta nuqta mos kelar ekan va aksincha tekislikdagi har bir nuqtaga bitta kompleks son mos keladi (1-chizma). Bu esa kompleks sonlar to’plami bilan tekislik nuqtalari orasida bir qiymatli moslik borligini anglatadi. Shunday qilib, tekislikni kompleks sonlar tekisligi deb qarash mumkin ekan.
Koordinatalar boshi nuqta bilan nuqtani birlashtiruvchi kesma uzunligi ga kompleks sonning moduli deyiladi va kabi belgilanadi.
Pifagor teoremasiga asosan,
bo’lishi ravshan.
vektor bilan o’qi orasidagi burchakka kompleks sonning argumenti deyiladi va kabi belgilanadi. Demak, . 1-chizmadan ko’rinadiki,
, yoki
bo’lib, bular yordamida kompleks sonning argumentini topish mumkin. Ulardan ifodalarga ega bo’lib, bundan esa kompleks sonni
ko’rinishda yozish mumkinligini aniqlaymiz. Kompleks sonning bu ko’rinishiga uning trigonometrik shakli deyiladi. Kompleks sonning bunday ko’rinishda yozilishi bir qator qulayliklarga olib keladi.
Aytaylik va kompleks sonlar berilgan bo’lsin. Bu yerda , , va . U holda va lar quyidagicha aniqlanadi.
;
.
Trigonometrik shaklda berilgan kompleks
son uchun va larni quyidagicha aniqlash mumkin:
;
Bu formulalar Muavr formulalari deyiladi.
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. ; ; ; ; ; sonlarni tekislikda tasvirlang.
Yechish: ni ko’rinishda yozish mumkin. Demak, bo’lib, berilgan sonning geometrik tasviri nuqtadan iborat.
ni ko’rinishda yozish mumkin. Demak, bo’lib, berilgan sonning geometrik tasviri nuqtadan iborat bo’ladi.
da bo’lgani uchun uning geometrik tasviri nuqtadan iborat bo’ladi.
da bo’lgani uchun uning geometrik tasviri nuqtadan iborat bo’ladi.
da bo’lgani uchun uning geometrik tasviri nuqtadan iborat.
da bo’lgani uchun uning geometrik tasviri nuqta bo’ladi (2-chizma).
2. kompleks sonning moduli va argumenti topilsin.
Yechish:Bu yerda , bo’lganligi uchun
kelib chiqadi. bo’lib, c, bo’lishi ravshan. Bu tenglamalar oralig’ida yagona yechimga ega.
3. kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing.
Yechish: a, bo’lganligi uchun .
va bo’lib, bu munosabatlardan ni topamiz. Demak, va yoki bo’lgani uchun
4. kompleks sonni trigonometrik shaklda tasvirlang.
Yechish: Bu yerda , bo’lganligi uchun .
kompleks sonni geometrik shaklda tasvirlaymiz (3-chizma).
, .
Bu munosabatlarga burchak mos keladi. Demak,
.
5. kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing.
Yechish: bo’lganligi uchun , bo’ladi. . kompleks sonni geometrik shaklda tasvirlaymiz (4-chizma).
Berilgan kompleks sonning argumenti ga teng. Demak,
.
6. va kompleks sonlar berilgan. ; ; ; , lar topilsin.
Yechish: 1)
.
Demak,
2)
3)
4) bo’lib,
da
da
da .
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:
1. kompleks sonlarni geometrik shaklda tasvirlang.
2. Quyidagi kompleks sonlarni trigonometrik shaklda yozilsin:
1)
Javob: 1)
3) 4)
5) 6) .
3. ko’paytma topilsin.
1) , ;
2) , ;
3) , .
4. topilsin.
1) , ;
2) ,
1) Agar bo’lsa, topilsin.
2) Agar bo’lsa, topilsin.
3) Agar bo’lsa, topilsin.
5. Quyidagilarni hisoblang.
1) ; 2) bo’lsa, topilsin.
3) bo’lsa, topilsin.
4) topilsin.
5) topilsin.
Aim.uz
|
