Ta’rif. Agar uch o’lchovli fazoda miqdorlar ortogonal koordinatalar sistemasini burishda eski va yangi bazislarda
qoida bo’yicha bog’langan bo’lsa, bunday miqdorlarga R-rang psevdotenzorlar deyiladi.
Psevdotenzorlarning almashish qonuni det bo’lganda oddiy tenzorlardan farq qilmaydi.
Psevdotenzor uchun amallar quyidagicha kengaytiriladi:
Bir xil rangdagi psevdo tenzorlarni qo’shish mumkin, natijada shu rangdagi tenzor hosil bo’ladi.
Tenzorni psevdotenzorda ko’paytirish mumkin. Natijaviy tenzor rangi ko’paytuvchi tenzorlar ranglari yig’indisiga teng bo’ladi.
Psevdotenzorlarni juft indeksi bo’yicha yig’ishtirish mumkin. Natijaviy tenzor rangi berilgan psevdotenzor rangida 2 birlik kam bo’ladi.
Misol. vektorlar Levi-Chivita simvoli berilgan bo’lsin. miqdor qanday miqdor?
Ikki indeks yig’ishtirish natijasida 1-rang psevdovektor hosil bo’ladi. Shuni tekshiramiz. Vector va Levi-Chivita simvolining almashish qonunidan
. ,
Bo’lgani uchun
.
belgilab tenglikni ko’rinishida yozish mumkin.
Tenzor tahlil elementlari Agar fazoda yoki uning biror qismida biror n-rang tenzor mos qo’yilgan bo’lsa, n-rang tenzor maydon berilgan deyiladi. Biz birinchi bobda 0- va 1- rang tenzorlar (skalyar va vector maydonlar) bilan ish ko’rgan edik.
Tenzor maydonlar uchun ham tenzorlar algebrasining barcha qoidalari saqlanadi.
Dekart koordinatalar sistemasini almashtirishda radius vektorning almashish qoidasi har qanday vektorning almashish qoidasi kabi bo’ladi:
koordinatalarni larning funksiyasi deb qarasak, ya’ni
= ,
Bo’ladi. Teskari almashtirish matritsasi esa
= ,
matritsaning ortagonalligidan bo’ladi. Shuning uchun,
.
Tenzor maydonning sodda xossalarini keltiramiz.
Tenzor maydonni skalyar argument bo’yicha differensiallash tenzor rangini o’zgartirmaydi. Buning isboti hosila ta’rifidan kelib chiqadi
= .
Tenzor maydonni radius vektor koordinalari bo’yicha bir marta differensiallashda uni rangi birga oshadi.
Haqiqatan ham, ikkinchi rang tenzor berilgan bo’lsin. Mumkin bo’lgan barcha xususiy hosilalarni qaraylik va uning almashish qonuniga e’tibor beraylik
.
30 va 31 lardan Shuning uchun,
Ya’ni ikkinchi rang tenzordan radius vector kordinatasi bo’yicha hosila olinganda uchinchi rang tenzorning almashish qonuni bo’yicha o’zgarishini ko’rsatadi. Xususan nolinchi rang tenzor –skalyar maydonning koordinatalar bo’yicha xususiy hosilasini ko’raylik.
1-misol. maydonning gradiyentini tenzor qoidalari bo’yicha topaylik.
Bundan kelib chiqadi.
Tenzor belgisi yordamida vector maydonning divergensiyasi
,
Va rotorini
Ko’rinishda yozish mumkin.
2-misol. maydonning divergensiya va rotorni hisoblaylik.
I Bobning xulosasi.
Tenzorning xos sonlari (xarakteristik tenglama ildizlari )kordinatalar sistemasiga bog’liq emas, ya’ni skalyar miqdorlardir. Bu esa xarakteristik tenglamaning koeffitsiyentlari kordinatalar sistemasini burishda o’zgarmasligi, ya’ni invariantligini bildiradi.
Ikkinchi rang antisimmetrik tenzor koordinatalari bosh dioganaldan va bu dioganaldan pastda joylashgan koordinatalari ishoralari bilan farq qiladi. Bosh dioganalda joylashgan elementlar nolga teng bo’ladi. Shuning uchun o’lchovli fazoda antisimmetrik tenzorning bog’liq bo’lmagan elementlari uchga teng bo’ladi.
| 