Teorema. Simmetrik tenzorning xos sonlari haqiqiy bo’lib, ularga mos xos vektorlari ortogonal bo’ladi.
Isbot. simmetrik bo’lib, , , uning xos sonlari , , lar ularga mos kelgan xos vektorlar bo’lsin. Xos sonlarni kompleks deb faraz qilaylik. U holda xos vektorlar ham kompleks bo’ladi. U holda (20) biln birga unga kompleks qo’shma tenglamani ham qaraymiz:
.
Birinchi tenglamani ga, ikkinchisini ko’paytirib so’ng birinchisidan ikkinchisi ayrilsak
Kelib chiqadi (chap tomonning nolga tengligi tenglikka ko’ra hosil boladi). Bundan bo’lishi kelib chiqadi va xos sonlarning haqiqiy ekanligi ko’rinadi.
ga mos kelgan , vektorlarni ko’raylik. bo’lsin. Bu miqdorlar qo’ydagi tenglamalarni qanoatlantiradi :
Sistemani birinchisini ga, ikkinchisini ga ko’paytirib so’ngra ayirsak
),
bundan ga asosan (, kelib chiqadi, ya’ni xos vektorlar orthogonal bo’ladi.
Agar ikki yoki uchchala xos sonlar o’zaro teng bo’lsa,ulaega mos vektorlarni bir-biriga ortoganal sifatida tanlab olish mumkin.
Ortoganal xos vektorlar asosida qurilgansistemada tenzor soda ko’rinishda,uning matritsasi dioganal matritsadan iborat bo’lib,dioganal elementlari xos sonlardan iborat bo’ladi.Yana shu narsani nazarda tutish kerakki, xos vektorlar o’ng sistemani tashkil qilishi kerak.Bu holda tenzorning xos sistemaga o’tish jarayonini eski sistemani burish yordamida hosil qilish mumkin bo’ladi
Tenzorning xarakteristik sirti. Simmetrik tenzori geometrik tasvirlash uchun tenzorning xarakteristik sirti tushunchasi kiritiladi. Bu sirt ikkinchi tartibli sirt bo’lib, uning tenglamasi
ko’rinishda bo’ladi.
Tenzorning bosh o’qlari tenzor xarakteristik tenglamasining bosh o’qlaridan iborat. Agar tenzorning xos sonlari teng bo’lsa , (λ 1λ2 λ3) bunday tenzorga sharli tenzor deyiladi. Sharli tenzorning xarakteristik sirti iborat bo’ladi. Agar
λ 1= λ2 λ3 bo’lsa, bunday tenzorga simmetrik tenzor deyiladi va uning xarakteristik sirti aylanma sirtdan iborat bo’ladi. Agar λ1 λ2 λ3 bo’lsa, bunday tenzorga assimmetrik tenzor deyiladi. Agar tenzorning barcha sonlari musbat bo’lsa, tenzor musbat aniqlangan deyiladi. Agar barcha xos sonlari manfiy bo’ls, tenzor manfiy aniqlangan deyiladi. Agar tenzorning ba’zi xos musbat, ba’zilari manfiy bo’lsa, bunday tenzorga ishorasi aniqlanmagan tenzor deyiladi.
Tenzorning bosh o’qlari bo’yicha olingan X 1X 2X3 sistemada tenzorning xarakteristik tenglamasi
λ 1 X 12+ λ 2 X 22+ λ 3 X 32 = 1 =>+=1
ko’rinishida bo’ladi.
|
