| 2.2. Elektromagnit maydon tenzorlari
Bizga ma’lumki har qanday fizikaviy sistemani harakatini bir qiymatli harakterlash uchun uning Lagranj funksiyasini bilish lozim. Hozirga qadar biz erkin zarrachaning Lagranj funksiyasini quyidagi ko’rinishga ega ekanligini keltirib chiqargan edik.
(2.2.1)
v - zarrachaning tezlik vektori.
Agar x<<1 bulsa tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu munosabatni keltirib chiqarishda quyidagi muhim ikkita xususiyatni e’tiborga oldik.
1. Lagranj funksiyasi invariant xususiyatga ega bo’lgan skalyar kattalik.
2. Moslik prinsipi, ya’ni, har qanday relyativistik ifoda yorug’lik tezligi cheksizga teng chegarada o’zining klassik ifodasiga o’tishi kerak. Huddi shu nuqtai nazarni elektromagnit maydondagi zaryad uchun umumlashtirishga harakat qilamiz. Buning uchun quyidagicha muloxaza yuritish mumkin: har qanday zaryadlangan zarracha E elektr va H magnit maydon kuchlanganliklari bilan xarakterlanuvchi elektromagnit maydonda harakatlansa quyidagicha kuch ta’sir qiladi.
(2.2.2)
(2.2.3)
Buni e’tiborga olib elektromagnit maydondagi zaryad uchun ta’sir funksiyasini quyidagicha yozamiz.
(2.2.4)
Bu yerda Su.t – o’zaro ta’sir Lagranjyaniga mos keluvchi ta’sir funksiyasi, Se – erkin zarraning harakatiga mos keluvchi ta’sir funksiyasi, St – to’la ta’sir funksiyasi.
(2.2.5)
-moslik prinsipi.
dS –invariant interval
(2.2.6)
Endi muammo elektromagnit maydon bilan zaryadning o’zaro ta’sirini ifodalovchi hadni keltirib chiqarishdan iborat. Oldingi darslarimizda biz har qanday zarrachani xarakterlovchi to’rt o’lchovli radius-vektorni kiritgan edik.
Zaryadning elektromagnit maydonidagi harakatini xarakterlovchi Logranj funksiyasini keltirib chiqarishda avvalgidek, ta’sir funksiyasi Lorens almashtirishiga nisbatan invariant bo’lishligidan foydalanamiz. Biz oldingi darslarimizda bunday xususiyatga har qanday 4 vektorlarning skalyar ko’paytmasi ega ekanligini ko’rgandik. Demak elektromagnit maydon bilan zarrachaning o’zaro ta’sirini ifodalovchi hadni quyidagicha yozamiz.
Bu yerda xi relyativistik zarraning to’rt radius vektori bo’lib, u avvalgi natijalarimizga ko’ra quyidagi ko’rinishga ega edi.
esa elektromagnit maydonning to’rt o’lchovli potensiali bo’lib, uni har doimdagidek quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
Demak to’rt o’lchovli elektromagnit maydon potensialini skalyar va vektor potensiallar bilan bir qiymatli aniqlash mumkin. Bizning vazifamiz elektromagnit maydonda zarrachaga ta’sir qiluvchi kuchni bilgan holda uning skalyar va vektor potensiallari orqali qanday aniqlanishini topishdan iborat. Buning uchun huddi avvalgidek dastlab o’zaro ta’sirga mos keluvchi Lagranj funksiyasini topish lozim.
Endi to’rt o’lchovli ikkita vektorni skalyar ko’paytmasini topamiz.
Shunday kilib Sut kuyidagi kurinishga ega:
Demak, elektromagnit maydondagi zaryadlangan zarrachaga elektromagnit maydon o’zaro ta’sirini ifodalovchi Lagranj funksiyasi quyidagicha:
(2.2.7)
Demak, elektromagnit maydondagi zaryad uchun Lagranj funksiyasi quyidagicha bo’ladi
(2.2.8)
Hozircha bizga ni aniqlash muammosi turibdi. Prinsip nuqtai nazaridan u birliklar sistemasining tanlanishigagina bog’liq. Uni aniqlash uchun relyativistik dinamikaning asosiy tenglamasiga murojaat qilamiz.
Elektromagnit maydonda harakatlanayotgan zarrachaning impulsi ikki haddan iborat bo’lib, birinchi had erkin zarraning impulsi va ikkinchi had esa uning elektromagnit maydon bilan ta’sirini aks ettiruvchi impuls yig’indisidan iborat bo’ladi.
Endi zarrachaga ta’sir qiluvchi kuch uning impulsini vaqt bo’yicha o’zgarish tezligiga tengligidan foydalanib quyidagi natijani hosil qilamiz.
Oxirgi haddan ni aniqlaymiz E va H ni va A potensiallar orqali ifodalaymiz.
doimiyni aniqlash uchun quyidagi sodda muloxazadan foydalanish yetarli, ya’ni bo’lsa o’zaro ta’sir lagranj funksiyasi quyidagicha bo’ladi.
Natija:
Elementar zarra elektron bo’lsa.
Endi elektromagnit maydonda zaryadning harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(2.2.9)
Bu tenglamaning o’ng tomonidagi ifoda Lorentz kuchi deyiladi. Zaryadga elektr maydon tomonidan ta‘sir etuvchi kuch maydon kuchlanganligi bo’ylab yo’nalgan. Magnit maydon tomonidan ta‘sir etuvchi kuch esa, magnit maydon kuchlanganligi va tezlikga perpendikulyar yo’nalgan.
Magnit maydonda zaryadga ta‘sir etuvchi kuch uning harakat yo’lashiga perpendikulyar bo’lganligi uchun zaryadni ko’chirishda magnit maydon bajargan ish nolga teng bo’ladi. Demak zaryadni ko’chirishda bajarilgan ish faqat elektr maydon bilan aniqlanadi. Vaqt birligida bajarilgan (kinetik energiyaning vaqt birligida o’zgarishi) tezlikni Lorentz kuchiga skalyar ko’paytmasi bilan aniqlanishidan foydalanamiz va (v[vH]) = 0 ekanligini hisobga olib, (3.21) dan quyidagini hosil qilamiz:
(2.2.10)
Klassik mexanikada harakat tenglamalari vaqt inversiyasiga t ^ —t nisbatan invariantdir. Ya‘ni, kelajak bilan o’tmish farqlanmaydi. Mexanika qonunlarini klassik nuqtau nazaridan o’rganamizmi yoki nisbiylik nazariyasi yordamida o’rganamizmi farqi yo’q. Eng muhimi u tabiat qonunlarini aks ettirishi kerak. Shu sababli nisbiylik nazariyasida ham zaryadning harakat tenglamasi vaqt inversiyasiga nisbatan invariant bo’lishi kerak. Bu holat qanday hulosalarga olib kelishini ko’rib chiqamiz. Haqiqatdan ham, t ^ —t almashtirish natijasida elektromagnit maydonda zaryadning harakat tenglamasi (3.21) o’zgarmas qolishi uchun
(2.2.11)
almashtirishlar o’rinli bo’lishi kerakli kelib chiqadi. Shunday qilib elektr maydonda qandaydir harakat o’rinli bo’lsa, unga teskari harakat ham o’rinli bo’ladi. Magnit maydonda esa, teskari harakat mumkin emas. Teskari harakat bo’lishi uchun magnit maydonning yo’nalishini teskariga almashtirish kerak bo’ladi.
Zaryadning harakat tenglamasini klassik hol uchun yozamiz. Bunda
da p ni mv bilan almashtirish etarlidir.
(2.2.12)
Endi zaryadning harakat tenglamasining to’rt o’lchovli ko’rinishini hosil qilamiz. Buning uchun ta‘sir integralining to’rt o’lchovli ko’rinishi (3.1) ni variatsiyalaymiz:
(2.2.13)
Bu yerda ds = \/dxidxi ni hisobga olib, uning variatsiyasini
| 