Qoldiqli bo’lish.
Ta’rif. Butun nomanfiy a sonni в natural songa qoldiqli bo’lish deb, a=bq+r va 0
Teorema: Ixtiyoriy butun nomanfiy a soni va b natural son uchun a=b·q+r, bunda 0Qoldiqli bo’lishning nazariy to’plam ma’nosi qanday ekanini aniqlaymiz.
а=n(A) va A to’plam А1, А2…Аq , X to’plamlarga ajratilgan bo’lib, bunda А1, А2…Аq , to’plamlar teng quvvatli va b tadan elementni olgan, X to’plam esa А1, А2…Аq to’plamlarning har biridagi elementlaridan kam elementlarga ega bo’lsin Masalan, n(X)=r. U holda a=bq+r bo’ladi, bunda 09:2=4(1 qoldiq).
Agar bo’lishda qoldiq qolsa, u holda qoldiq bo’luvchidan har doim kichik bo’lishi ta’kidlab o’tiladi.
Natural sonning ma’nosi va sonlar-kattaliklarni o’lchash natijalari ustida amallar ma’nosi.
а va в kesmalar berilgan bo’lsin. Bu kesmalarga teng kesmalarni boshi 0 nuqtada bo’lgan biror nurga qo’yamiz. OA=a va OВ=b kesmalarni hosil qilamiz. Uchta hol bo’lishi mumkin.
1. A va В nuqtalar ustma-ust tushadi. (1-rasm) U holda OA va OВ- bitta kesma, a va в kesmalar esa unga teng, demak, a=в.
2.В nuqta OA kesma ichida yotadi (2-rasm) U holda OВ kesma OA kesmadan kichik (yoki OA kesma OВ kesmadan katta) deyiladi va bunday yoziladi: OВOВ) yoki вв).
3. A nuqta OВ kesma ichida yotadi.(3-rasm) U holda OA kesma OВ kesmadan kichik deyiladi va bunday yoziladi:
OAa).
Kesmalar ustida turli amallar bajariladi.
Ta’rif: Agar a kesma а1,а2…..,аn kesmalarning birlashmasi bo’lib, kesmalarning birortasi ham ichki umumiy nuqtaga ega bo’lmasa(bir-biri bilan ustma-ust tushmasa) va bir kesma ikkinchi kesmaning oxiriga birin-ketin tutashsa, a kesma bu kesmalarning yigindisi deyiladi.
Bunday yoziladi: а=а1+а2+…..+аn .
Masalan, 4-rasmda tasvirlangan a kesmani а1,а2, а3,а4 kesmalarning yigindisi deyish mumkin.
Ta’rif: a va в kesmalarning a-в ayirmasi deb, shunday с kesmaga aytiladiki, uning uchun в+с=a tenglik o’rinli bo’ladi.
а va в kesmalarning ayirmasi bunday topiladi. а kesmaga teng AВ kesma yasaladi va unda в kesmaga teng AС kesma ajratiladi.
U holda СВ kesma a va в kesmalarning a-в ayirmasi bo’ladi.(5-rasm)
Ravshanki, a va в kesmalarning ayirmasi mavjud bo’lishi uchun в kesma a kesmadan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir.
Kesmalar ustida amallar qator xossalarga ega. Ulardan ba’zilarini isbotsiz keltiramiz.
1. Har qanday a va в kesmalar uchun a+в=в+a tenglik o’rinli, ya’ni kesmalarni qo’shish o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadi.
2. Har qanday a,в,с kesmalar uchun
(a+в)+с=a+(в+с)
tenglik o’rinli, ya’ni kesmalarni qo’shish guruhlash qonuniga buysunadi.
3. Har qanday a va в kesmalar uchun
a+в a.
4. Har qanday a,в va с kesmalar uchun a<в bo’lsa, u holda a+с<в+с bo’ladi.
So’ngra berilgan a kesma birlik e kesma bilan taqqoslanadi. Agar a kesma e birlik kesmaga teng n ta kesma yig’indisi bo’lsa, bunday yoziladi:
а=e+e+…..+e=ne
Shuni eslatib o’tish muhimki, har qanday natural son n uchun uzunligi shu son bilan ifodalanadigan kesma mavjud bo’ladi. Bunday kesma yasash uchun e uzunlik birligini birin-ketin n marta qo’shish yetarlidir.
1.Qo’shish. Masalan, 3 va 8 sonlari b va c kesmalar uzunliklarini e birlik yordamida o’lchash natijalari bo’lsin, ya’ni в=3e, с=8e. Ma’lumki 3+8=11. Ammo 11 soni qaysi kesma uzunligini o’lchash natijasi bo’ladi? Ravshanki, bu a=в+с kesma uzunligining qiymatidir.(7-rasm)
Mulohazani umumiy ko'rinishda yuritamiz. a kesma в va с kesmalar yig'indisi hamda в=me, с=ne bo’lsin, bunda m va n –natural sonlar. U holda в kesma m ta bo’lakka, с kesma n ta shunday bo’lakka bo’linadi, bu bo’laklarning har biri birlik kesma e ga teng. Shunday qilib, butun a kesma m+n ta shunday bo’lakka bo’linadi. Demak, a=(m+n)e.
Shunday qilib, m va n natural sonlar yigindisini uzunliklari m va n natural sonlar bilan ifodalanadigan в va с kesmalardan tuzilgan a kesma uzunligining qiymati sifatida qarash mumkin ekan.
|
