Konstruktiv usul. Haqiqiy sonning konstruktiv nazariyalarida, odatda, ratsional sonlar nazaryasi ma’lum deb qaraladiva irratsional sonlarni qurish yoki uni hisoblashning yo’llari ko’rsatiladi. Haqiqiy sonlarning Kantor, Dedekind, Veyershtrass tomonidan kashf qilingan nazaryalari konstruktiv usul bo’lib, bunda natural sonlar yordamida birdaniga-ratsional sonlar to’plamini qurmasdan haqiqiy sonlar to’plamini qurish yo’li ko’rsatilgan.
Aksiomatik usul. Haqiqy sonlar nazariyasini aksiomatik qurish jarayonini natural sonlar nazariyasini aksiomatik qurishdan boshlash mumkin. Bu jarayon sxematik ravishda quyidagicha bo’ladi.
Biror bo’sh bo’lmagan N to’plam olinib, bu to’plam elementlari orasidagi munosabatlar, amallar, amallar bo’ysunadigan qonunlar, bu amal va munosabatlarning bog’lanishi aksiomalar sistemasi orqali beriladi va N to’plam natural sonlar to’plami, uning elementlari esa natural sonlar deb e’lon qilinadi.
Natural sonlar to’plami N ni “asos” qilib olib so’ng N ni Z gacha , Z ni Q gacha, Q ni barcha haqiqiy sonlar to’plami R gacha kengaytiriladi, bunday kengaytirishlarning zarurligi asoslanadi. Har bir kengaytirish ma’lum bir aksiomalar sistemasi bilan ifodalanadi. Kengaytirish shunday bajariladiki, biror to’plamda (masalan Q da ) bajariladigan amallar shu to’plamni kengaytirish natijasida hosil bo’lgan to’plamda (bizning holda R da) ham bajariladi va natija avvalgi to’plamdagi natijaga teng bo’ladi hamda avvalgi to’plamda
(Q da) umuman aytganda bajarilmaydigan amal( masalan ildiz chiqarish) kengaytirilgan to’plamda bajariladigan bo’ladi. Shu bilan birga to’plam bir necha xil usulda kengaytirilgan bo’lsa, bu kengaytmalar izomorf bo’lishi kerak. Bunday ketma-ket kengaytirishlardan foydalanmasdan haqiqiy sonlar to’plamini birdaniga kengaytirish ham mumkin. Buning uchun bo’sh bo’lmagan biror R to’plam olib, bu to’plam elementlari orasidagi munosabatlar,, amallar, bu amallar bo’ysunadigan qonun –qoidalar, amal va munosabatlar orasidagi bog’lanishlar aksiomalar sistemasi orqali beriladi. R to’plam haqiqiy sonlar to’plamini, uning elementlari esa haqiqiy sonlar deb e’lon qilinadi va bu aksiomalar sistemasini qanoatlantiruvchi tayin bir matematik obyekt ( masalan, haqiqiy sonlar to’plamining geometrik tasviri bo’lgan sonlar o’qi) haqiqatdan ham mavjudligi ko’rsatiladi.
|
