Chiziq orasidagi burchak. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi. Sirt ustidagi chiziq egriligi. Mene teoremasi

	ayting. Sirtning birinchi kvadratik formasi musbat aniqlanganligini ko'rsating. Sirtning birinchi kvadratik formasi koef- fitsientlari uchun ifodalarni keltirib chiqaring. Sirt ustidagi chiziq yoyining uzunligi formulasini keltirib chiqaring. Aylanma sirtning birinchi kvadratik formasini toping. Funksiya grafigi shaklida berilgan sirtning birinchi kvadratik formasini toping.	savollarga javob beradilar.
3- bosqich Yakuniy	Mavzuga yakun yasaydi va talabalar e’tiborini asosiy masalalarga qaratadi.Faol ishtirok etgan talabalarni rag’batlantiradi. Mustaqil ish uchun vazifa: “ Sirtning birinchi kvadratik formasi ” so’ziga klaster tuzishni vazifa qilib beradi, baholaydi.	Eshitadi aniqlashtiradi. Topshiriqni yozib oladi.

Mavzu 5. Sirtning birinchi kvadratik formasi. Misollar.

S ^tenglamasi
r = r (u, v),
(u, v)  D,
bo'lgan silliq sirt va
r_u  r_v  0
bo'lsin.

Sirtning birinchi kvadratik formasi deb ushbu
I = dr ²

ifodaga aytiladi.
r (u, v)
vektor funksiyaning differentsiali
dr = r_u du  r_v dv

bo'lganligi sababli, uning skalyar kvadrati quyidagiga teng:

u v u u v v
dr ² = (r du  r dv)² = r ²du²  2(r , r )dudv  r ²dv².

^{Bu ifoda} S
sirtning har bir nuqtasida
du ^va
dv ^{differentsiallarning}

kvadratik formasidir. Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangandir. Haqiqatdan,
r ² > 0 va birinchi kvadratik forma determinanti

u v u v u v
r ²r ² (r , r )² = (r  r )² > 0
^{bo'lgani uchun} I ^{musbat aniqlangandir. Odatda, birinchi kvadratik forma}
koeffitsientlari uchun quyidagicha belgilashlar ishlatiladi:
E = r ², F = (r , r ), G = r ².
u u v v
Shu sababli, birinchi kvadratik formani quyidagicha yozish mumkin:
I = Edu²  2Fdudv  Gdv² , EG  F ² > 0.
Endi koeffitsentlarning koordinatalarga nisbatan ifodalarini keltiramiz.

r (u, v) = {x(u, v), y(u, v),z(u, v)},
(u, v)  D,
hamda
r_u = {x_u , y_u ,z_u },
r_v = {x_v , y_v ,z_v },

bo'lgani uchun koeffitsientlarni ushbu

u u u
E = x²  y²  z² ,
F = x_u x_v  y_u y_v  z_u z_v ,

v v v
G = x²  y²  z² ,

formulalarni topish mumkin.

Misollar

1. 
   Sirt differentsiallanuvchi
   

z = f (x, y)

funksiya grafigi shaklida berilgan

bo'lsin. O'zgaruvchi nuqtaning radius vektorini quyidagicha yozamiz:
r = r (u, v) = {x, y, f (x, y)}.

U holda


ekanligidan






r_u = r_x ={1,0, f_x},






r_v = r_y ={1,0, f_y},

E = r ² = 1 f ², F = r r = f f , G = 1 f ²
u x u v x y y
kelib chiqadi va birinchi kavdratik forma ushbu

x x y y
I = (1 f ² )dx²  f f dxdy  (1 f ² )dy²

shaklga ega bo'ladi.

2. 
   Aylanma sirtlar,
   

xOz

tekisligida joylashgan

^{L chiziqning} Oz


o'qi

^{atrofida aylanishdan hosil bo'lgan sirtni qaraylik. Farz qilaylik} L ^chiziq
x = f (u) > 0; z = g(u)

parametrik tenglama bilan berilgan bo'lsin. (
f (u) > 0
shart chiziqning

^{aylanish o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirtni qaraylik.) Sirtdagi biror} P
^{nuqtaning holatini aniqlash uchun} u ^{parametrning qiymatini, ya'ni berilgan} L

chiziqdagi P₀
nuqta va
^{L chziqning} Oz
o'qi atrofida aylanish burchagi
v ni bilish

etarlidir.
P nuqtaning
x, y, z
koordinatalari u
va v
orqali quyidagicha ifodalanadi:

x = f (u) cos v,
y = f (u) sin v,
z = g(u).

Endi aylanma sirtning birinchi kvadratik formasini topomiz. Quyidagilardan

r = {x , y ,z } = { f ^' (u) cos v, f ^'(u) sin v, g ^'(u),}
u u u u
r_v = {x_v , y_v ,z_v } = { f (u) sin v, f (u) cos v, 0,}
ushbuni hosil qilamiz:

Demak
E = f ^'2  g^'2 ,F = 0,G =
_f '2_.

I = ( f ^'2  g^'2 )du²  f ^'2dv².

Sirt ustidagi chiziq yoyining uzunligi

r = r (u, v)
tenglama bilan berilgan
S sirtdagi
L chiziq quyidagicha

berilishi mumkin. Faraz qilaylik,
u = u(t),
v = v(t)
- t [a, b]
parametrning uzluksiz

differetsiallanuvchi funksiyalari bo'lsin. U holda
r (t) = r (u(t), v(t))
^tenglama S ^{sirtda yotuvchi chiziqni aniqlaydi. Bu chiziqning yoy}
uzunligini topaylik. Yoy uzunligi differentsialini topish formulasiga ko'ra




ds =| dr |=| r ^' (u(t), v(t)) | dt = = I ,

b

t t t t
bu yerdan esa ushbuga kelamiz:

b
s = _a
= _a
Eu^'2  2Fdu^'dv^'  Gdv^'2 dt