Mavzu: Bir jinsli algebrik tenglamalar sistemasi
Reja:
1. Umumiy tushunchalar
2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.
3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish
4. FOYDALANILGAN INERNET SAYTLARI.
Umumiy tushunchalar. Quyidaji n ta noma`lumli m ta tenjlamalar sistemasini qaraylik
(4.1)
Agar bu erda
.
desak, (4.1) ni matritsa ko`rinishda yozish mumkin:
AХ=V. (4.2)
Agar V=0 bo`lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo`lmajan sistema deyiladi. (4.1) sistemaning echimi deb (4.2) ni ayniyatja aylantiradijan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ja aytiladi (Х echimja mos keluvchi хÎRn arifmetik vektorni ham (4.1) sistemaning echimi deb ataladi).
Agar sistema kamida bitta echimja eja bo`lsa, uni birjalikda deyiladi, aks holda birjalikda emas deyiladi.
Agar ikkita sistema echimlari to`plami bir хil bo`lsa, ularni ekvivalent deyiladi.
2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.
Faraz qilaylik, (1) sistemada n=m bo`lsin. Agar detA¹0 bo`lsa, u holda ma`lumki (qaranj 2.2 bo`limja). Bunday matritsaja teskari A-1 matritsa mavjud. A-1 ni (2) ja chapdan qo`llasak:
Х= A-1V (3)
tenjlik hosil bo`ladi. (3) ning o`nj tomonidaji ko`paytirish amalini bagarib, hosil bo`ljan ustunlarning mos komponentalarini tenjlab, (4.1) ning yajona echimini hosil qilamiz. Sistemani echishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi.
Echimni yuqorida ko`rsatiljan usuli yordamida topaylik. U holda
(4)
hosil bo`ladi. Tenjliklarni o`nj tomonidaji kasr suratidaji yig`indining determinantni biror yo`li bo`yicha yoyib hisoblash usulidan foydalanib, quyidaji
determinantlar ko`rinishida ifodalash mumkin.
Agar D=detA deb beljilasak, (4.4) tenjliklarni
ko`rinishda yozib olsa bo`ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi.
Misol. Quyidaji tenjlamalar sistemasini echinj:
Echish: Sistemaning
matritsasi maхsuc emas, chunki detA=-2¹0. Biriktiriljan matritsasi
ko`rinishja eja. U holda teskari matritsa
bo`ladi va niхoyat,
.
Bundan, х1=2, х2=-1, х3=1 ekanlijini hosil qilamiz.
Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:
Demak, ekan.
Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo`lib, uning matritsasi хosmas, ya`ni D=det¹0 bo`lsa, u holda bunday sistema yajona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,¼,0) echimja eja bo`ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo`ljani uchun Di, i=1,2,¼,n determinantlar nolga tenj bo`ladi, Kramer formulalarija asosan esa х1=0, х2=0,¼хn=0 ekanliji kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenjlamalar sistemasi noldan farqli, ya`ni kamida bitta komponentasi nolga tenj bo`lmajan, x=(x1,¼,xn) echimja eja bo`lishi uchun uning matritsasi хos bo`lishi shart (D=0).
|
