3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish. Bunda umuman n=m bo`lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidaji matritsa
kenjaytiriljan matritsa deb ataladi.
Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birjalikda bo`lishi uchun rangA= rang`A bo`lishi zarur va etarlidir.
Zarurliji: Faraz qilaylik, (4.1) sistema birjalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`ljani uchun A matritsaja`A matritsaja ham tejishli bo`ljan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(`A)³k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanlijini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmajan holda bu minor
deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenjlamalarini va no`malumlarnnj joyini almashtirib shu holja olib kelsa bo`ladi. SHartja ko`ra (4.1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x1,¼,xn) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenjlamasini ham qanoatlantiradi. U holda
(4.5)
bu erda
(4.6)
(5) asosida quyidaji
(4.7)
sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birjalikda, chunki uni noldan farqli y=(x1,¼,xk,1) echim qanoatlantiradi. U holda ( 4.2 bo`limdaji eslatmaja qaranj) bir jinsli (4.7) sistemaning determinanti nolga tenj, ya`ni
chunki r(A)=k bo`ljani uchun yig`indija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan.
Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birjalikda ekanlijini isbot qilish kerak. Qilinjan farazja ko`ra, sistemaning shunday k ta tenjlamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidaji koeffitsientlardan tuziljan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinjanidek, umumiylikni buzmajan holda bu aynan
(8)
tenjlamalar deb faraz qilish mumkin. SHartja ko`ra, uning uchun
(8) sistemani quyidajicha yozib olamiz:
(9)
s¹0 bo`ljani uchun bu sistema yajona echimja eja va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin:
bu erda Asi, i=1,2,¼,k, asi elementining s determinantdaji aljebraik to`ldiruvchisidir. xk+1,¼,xn larja har хil qiymatlar berish mumkin, x1,¼,xk larning qiymatlari esa (10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (9) sistema cheksiz ko`p echimja eja ekan.
Endi bu echimlar (1) sistemaning (9) ja kirmajan tenjlamalarini ham qanoatlantirishini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun (10) echimlar (1) ning k+1 tenjlamasini ham echimi ekanlijini ko`rsatish kifoya.
(1) sistemaning avvalji k+1 ta tenjlamasini olib, ularni (5) ko`rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (5) ning dastlabki k ta tenjlamasini echimi bo`lsin. Хuddi yuqoridajidek, (7) tenjlamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga tenj. SHuning uchun bu sistema trivial bo`lmajan y1,¼,yk+1 echimja eja. Bu erda yk+1¹0, chunki, aks holda (7) sistema y1,¼,yk,0 echimja eja bo`ladi, bundan y1=0,¼,yk=0 ekanliji kelib chiqadi, chunki s¹0, ya`ni (7) trivial y1=y2=¼=yk+1=0 echimja eja bo`lib qoladi. (5) sistema bir jinsli bo`ljani uchun
sonlar ham bu sistemaning echimi bo`ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenjlamalarining echimi bo`ladi. Bizja ma`lumki, bu sistema yajona x1,¼,xk echimja eja edi. s¹0 bo`ljani uchun bo`lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (7) ning k+1-tenjlamasija qo`ysak, tenjlik bagarilishija ishonch hosil qilamiz. Demak, x1,¼,xk lar (5) ning k+1-tenjlamasini qanoatlantiradi va (6) ja asosan х=(x1,¼,xn) (4.1) ning k+1-tenjlamasini echimi ekan. Teorema to`liq isbot bo`ldi.
Eslatma: agar xk+1=c1,¼,xn=cn-k desak, barcha x1,¼,xk lar c1,¼,cn-k larja bog`liq bo`lib qoladi. (x1(c1,¼,cn-k),¼,xk (c1,¼,cn-k),c1,¼,cn-k)T ustun (1) ning umumiy echimi deb ataladi.
Misol. Quyidaji sistemani echinj:
Echish:
=0
Shuning uchun
matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kenjaytiriljan
matritsa uchun , chunki shu matritsaning
ya`ni bo`lyapti. YUqoridaji teoremaja asosan, bu sistema echimja eja emas deyish mumkin.
Misol. Sistemani echinj:
Echish: Uning determinanti
Bevosita hisoblash yo`li bilan ekanlijija ishonch hosil qilishimiz mumkin. Beriljan sistemani birinchi va ikkinchi tenjlamalaridan
sistemani tuzib olamiz. Uni o`z navbatida
ko`rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun
shu sababli, u yajona echimja eja:
Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik beriljan sistemaning echimi bo`ladi.
Agar u=S desak, (1-S, S, 0)T ustun beriljan sistemaning umumiy echimi bo`ladi.
FOYDALANILGAN INERNET SAYTLARI.
www.ziyonet.uz
www.uzvip.uz
www.referat.uz
www.doc.uz
|
