Misol. Uzunligi L va radiusi R bo‘lgan doiraviy quvurdan o‘zgarmas tezlik bilan oqayotgan suyuqlikning harakat tenglamasi, uning oqim bo‘ylab temperaturasi e’tiborga olmaslik darajasida juda ham kam o‘zgaradi va devor bilan konvektiv issiqlik almashinishi kuzatiladi deb, o‘lchamsiz holda quyidagicha chiqarilgan
y''+ y'–2y=0.
Quvurning kirish va chiqish chegaralarida o‘zgarmas temperaturalar berilgan, ya’ni chegaraviy shartlar quyidagicha:
y(0)=0, y(4)=1.
Ushbu chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yeching.
Yechish. Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi quyidagicha:
Bu chegaraviy masalaning bazi analitik usullar bilan olingan yechimlari quydagicha
Bu yerda
-eng kichik kvadratlar usuli: e1 = 0,1941; e2 = –1,204;
- Galyorkin usuli: e1 = 1,2994; e2 = –1,8783;
- kollokatsiya usuli: e1 = 2/3; e2 = –4/3;
Endi bu chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yechamiz.
Dastlabki ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani z=y' almashtirishni olib, ikkita birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasiga keltiramiz:
Bu yerdan Koshi masalasiga kelish uchun yuqoridagi 3-misol algoritmidan foydalanamiz va quyidagi jadvaldagi va 12-rasmdagi natijalarga kelamiz.
x
|
yanal
|
yekk
|
ygal
|
ykol
|
yuqotish
|
0
|
0,0000
|
0,0000
|
0,0000
|
0,0000
|
0,0000
|
0,2
|
0,0101
|
-0,0008
|
0,0180
|
0,0152
|
0,0151
|
0,4
|
0,0191
|
-0,0017
|
0,0310
|
0,0280
|
0,0281
|
0,6
|
0,0279
|
-0,0018
|
0,0403
|
0,0395
|
0,0396
|
0,8
|
0,0371
|
-0,0001
|
0,0473
|
0,0507
|
0,0508
|
1,0
|
0,0473
|
0,0042
|
0,0534
|
0,0625
|
0,0626
|
1,2
|
0,0591
|
0,0121
|
0,0601
|
0,0760
|
0,0761
|
1,4
|
0,0732
|
0,0244
|
0,0687
|
0,0922
|
0,0923
|
1,6
|
0,0900
|
0,0420
|
0,0807
|
0,1120
|
0,1121
|
1,8
|
0,1103
|
0,0660
|
0,0975
|
0,1365
|
0,1366
|
2,0
|
0,1350
|
0,0970
|
0,1205
|
0,1667
|
0,1668
|
2,2
|
0,1651
|
0,1362
|
0,1510
|
0,2035
|
0,2036
|
2,4
|
0,2017
|
0,1842
|
0,1906
|
0,2480
|
0,2481
|
2,6
|
0,2465
|
0,2422
|
0,2405
|
0,3012
|
0,3013
|
2,8
|
0,3011
|
0,3109
|
0,3023
|
0,3640
|
0,3641
|
3,0
|
0,3678
|
0,3913
|
0,3773
|
0,4375
|
0,4376
|
3,2
|
0,4493
|
0,4843
|
0,4670
|
0,5227
|
0,5228
|
3,4
|
0,5488
|
0,5908
|
0,5726
|
0,6205
|
0,6206
|
3,6
|
0,6703
|
0,7116
|
0,6958
|
0,7320
|
0,7321
|
3,8
|
0,8187
|
0,8477
|
0,8377
|
0,8582
|
0,8583
|
4,0
|
1,0000
|
1,0000
|
1,0000
|
1,0000
|
1,0000
|
|
|
1-jadval
|
|
|
2-rasm
Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir.
Hozirgi kunda ko‘plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega Buning uchun esa oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab. 3-издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом
«Вильямс», 2001.-720 с.
2. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 320 с.
3. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. - 288 с.
4. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с.
|
