Educational Research in Universal Sciences issn

ko‘rinishdagi Rikkati tenglamasi deyiladi.
Agar kanonik ko‘rinishdagi Rikkati tenglamasida


r(x ) =


bx ^w

bo‘lsa, bunday

tenglama maxsus Rikkati tenglamasi deb ataladi. Demak, maxsus Rikkati tenglamasi

ushbu y ' =
ay ² +
cx^w
ko‘rinishga ega.

Bu tenglamaning kvadraturalarda yechilishi yoki yechilmasligi to‘la

o‘rganilgan. (4) tenglamada
w = 0
bo‘lganda o‘zgaruvchilar ajraladi,
w = - 2

bo‘lganda esa
y = ^u x
almashtirish bajarilib, o‘zgaruvchilari ajratiladi va demak,

kvadraturalarda yechiladi. (4) tenglamani kvadraturalarda yechiladigan boshqa hollarini topish maqsadida quyi dagicha ish tutaylik.

Tenglamada y =
1 _- 1

almashtirish bajaraylik: bunda y
= y (x ) ,

_x ²_y1 ax
1 1 1

x₁ =
_x w+ 3
( w +
3 № 0 ), yangi noma’lum funksiya. U holda (4) tenglama quyidagi

ko‘rinishga keladi:


dy_{1 =}



a y ² + c x ^w1 , ( 4 ) ,

dx₁
1 1 1 1 1

bunda a₁ = -
c


w + 3
, c₁ = -
a


w + 3
va w₁ = -
w + 4 _.
w + 3

Oxirgi (5) tenglikni
¹ = 1 +
w₁ + 2
1



w + 2
(6₁) kabi yozish mumkin. Bu yerda

shuni e’tirof etaylikki, almashtirish formulalari tanlash usuli yordamida topiladi. Almashtirish formulalaridan ravshanki, agar yangi ( 4₁ ) tenglama kvadraturalarda
yechilsa, eski (4) tenglamaning yechimi ham kvadraturalarda ifodalanadi. (4) dan ( 4₁

) ga o‘tish jarayonini k (k
О N )
marta takrorlasak, ushbu

dy_k

= a y ² +

c x ^wk

(4 )

dx_k
k k k k k

tenglamaga kelamiz; bu yerda a_k ,c_k
o‘zgarmas sonlar va

bo‘ladi.
¹ = k +

w_k + 2
1



w + 2
(6_k )

^Agar w ^{daraja ko‘rsatkichidan boshlab yuqoridagi almashtirishlarni teskari}

tartibda bajarsak,
w_{- 1}, w_{- 2},...
daraja ko‘rsatkichli maxsus Rikkati tenglamalariga

kelamiz; bunda ¹

= - k +

¹ , k =
1, 2,...

w_{- k} + 2
w + 2

Agar biror natural k uchun
w_k = 0
yoki
w_{- k} = 0
bo‘lsa, mos Rikkati

tenglamasi kvadraturalarda yechiladi. Bunaqa w lar ⁽⁶_k ⁾ va ⁽⁶_{- k} ⁾ formulalarga ko‘ra

_{w =} 4k
, k = ± 1, ± 2,...

ko‘rinishda bo‘lishi kerak.

1 - 2k
Shunday qilib, (4) maxsus Rikkati tenglamasidagi daraja ko‘rsatkichi w (7) ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tenglama kvadraturalarda yechilar ekan. Boshqa ko‘rinishdagi w lar uchun maxsus Rikkati tenglamasining yechimlari kvadraturalarda ifodalanmasligini Liuvill isbotlagan.
Ba’zi hollarda Rikkati tenglamasining yechimlari maxsus funksiyalar orqali

ifodalanishi mumkin. Misol sifatida, ushbu
y ' =
y ² + x ²
(8) maxsus Rikkati

tenglamasini qaraylik. Kerakli almashtirishlarni bajarib ko‘rsatish mumkinki, (8) tenglamaning umumiy yechimi Bessel funksiyalari orqali quyidagicha ifodalanadi:
^ж ж_x ² ц ж_x ² ц^ц_ч

3
x ^зcJ _з
з ^{- з 2
ч}+ Y _з ^чч

3
^ч - ^з 2 ^чч

y = ^и
₄ и ш ₄ и ш_ш^ч
(c -ixtiyoriy o‘zgarmas).

ж_x ² _чц ж_x ² ц_ч

cJ _{1 з}
ч^{+ Y} 1 ^з ч

^зи ^{2 ч}ш и^{з 2} ш^ч

Bu yerda J _n (x )
4 4
va ^Y _n ^{(x )} - n indeksli (tartibli) mos ravishda birinchi va ikkinchi

tur Bessel funksiyalari [4]

y^  a y²
 b x^
( a, ^b,  ^{–o’zgarmas sonlar) (2)}

tenglama esa maxsus ko’rinishdagi Rikkati tenglamasi deyiladi.
Rikkati tenglamalari, umuman aytganda, kvadraturalarda integrallanmaydi. Xattoki, maxsus ko’rinishdagi Rikkati tenglamasi

4k
^{ } 1 2k
( k – butun son yoki ) bo’lgandagina kvadraturalarga

4k
keltiriladi.

Agar
^{ } 1 2k
tenglik


k  0
da bajarilsa, u holda (2) tenglamada

y  ^u  ¹
x² ax

o’rniga qo’yishni bajarsak, (2) tenglama

du _ au²
dx x²

 bx

 2

ko’rinishga keladi. So’ngra

u  ¹

v

deb olib,

^dv _{ bx} 2_v2

dx

 a x^2

tenglamani olamiz. Shundan keyin
_x 3 _{ z}
belgilash kiritib,

dv _

dz

1. 
   ₂
   

  3 ^v
_ a
  3


_z( 4)/( 3)

4k
tenglamaga kelamiz. Bunday almashtirishlarni o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama hosil bo’lguncha davom ettiramiz.

Agar
^{ } 1 2k


tenglik


k  0

da bajarilsa, u holda ko’rsatilgan

almashtirishlarni teskari tartibda bajarish kerak.
Ushbu
u^  u²  w(x) (3)
tenglama Rikkatining kanonik tenglamasi deyiladi. Agar (1) tenglamada
^b(x) funksiya ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa, u holda

^{y   (x)z} ,
z  u   (x)
almashtirishlar yordamida (1) tenglama (3)

kanonik ko’rinishga keltiriladi. Ba’zan (3) yordamida (1) tenglamaning xususiy yechimini topish qiyinchilik tug’dirmaydi.

Agar
y₁(x)  (1) tenglamaning xususiy yechimi bo’lsa, u holda

y  y₁  z
yoki
y  y₁

• 
  _z1
  

(qaysi biri qulay bo’lsa) deb olib, Rikkati

tenglamasini chiziqli tenglamaga keltirish mumkin.
Xususiy yechimni tanlash usuli bilan topib, tenglamalarni yeching(41- 46).

25. 
    

xy^  (2x 1) y  y^{2
 x2} .

◄Xususiy yechimni
y₁(x)  ax  b
( ^{a, b  const} ) ko’rinishda

izlaymiz. Uni berilgan tenglamaga qo’yib, x ga nisbatan ayniyatni hosil qilamiz:

ax  (2x  1)(ax  b)  (ax  b)²
bundan o’z navbatida
^{ x2} ,

2ab  2b  0,
a 1,
b  b²  0

tenglamalar sistemasini olamiz. Bu yerda ikkita yechim bo’lishi mumkin:
a  b  1 yoki ^{a 1,} b  0.

Masalan,
^{a 1,} b  0
bo’lsin. Shunga binoan,
y₁(x)  x
xususiy

yechimdan foydalanib,

y  x  ¹

z

o’rniga qo’yishni bajaramiz:


x^1
^{z }  (2x 1)^ x 
^{1 }  ^ x 
_{1 }2
_

 x² _.

 

 
 ^z   ^z   ^z 

Soddalashtirishlardan keyin
xz^  z 1  0
ko’rinishdagi o’zgaruv-

chilari ajraladigan tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamani integrallab,

topamiz:
^{z  1 Cx1}. Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy

yechimini
y  x 
x
x  C
ko’rinishda yoza olamiz.
y₁(x)  x
xususiy

yechimni bu umumiy yechimdan ^{C } da ham hosil qilish mumkin.►

25. 
    

_{y } 2  3x
y  ^1 ^{1 } y² 
1 _ 3 _.

_x2  _x 


_x3 _x2

a
 

◄Xususiy yechimni
y₁ (x)  _x
( a  const ) ko’rinishda izlaymiz. Uni

berilgan tenglamaga qo’yib,
a²  4a  3,


2a  a²  1

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Sistemaning
a  1
yechimi

yordamida
y (x)  ¹
xususiy yechimni yozamiz. Endi berilgan

1 _x

tenglamada
y  z  ¹

x

deb olsak, u holda

z^  ^z  ^{ 1} 1^ z²


(4)

_x  _x 
 
ko’rinishdagi Bernulli tenglamasi ( n  2 ) hosil bo’ladi. (4) tenglamaning umumiy yechimini (40-misolga qarang) bilgan holda natijani yozamiz:

_{y } 2x
_ 1 _,

y (x)  1 /


^x .►

x²  2x  C x ¹

◄Tenglamaning ikkala tomonini

y² 1  0

ifodaga bo’lamiz:

x^ 
2 y _{x }
y² 1
1 _x2
y² 1
^{  1} .
y² 1

Bu Rikkati tenglamasining xususiy yechimini x₁( y)  ay  b
( ^{a, b }

const) ko’rinishda topamiz: ^{x1  y} . Endi ^{x  y  z}
deb olib,

_ dz _ dy

z² y² 1
ko’rinishdagi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani olamiz. Bu tenglamani integrallab va eski o’zgaruvchilarga qaytib, topamiz:

(x  y) ln ^{C( y 1)}
y 1

 2;

^{y  x.}►

25. 
    

y^  y^{2
 2x4} .

◄Bu maxsus Rikkati tenglamasi (  4 ) bo’lganligi uchun ^{k  1 }
butun son bo’ladi. Shunga binoan, uni kvadraturalarga keltirish mumkin.

Berilgan tenglamada
y  ^u  ¹
x² x
( a  1) deb olib,
u^x²  u²  2

tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamani o’zgaruvchilarga ajratib integrallaymiz:

¹ ln
 ¹  ln C ^.
x

So’ngra eski o’zgaruvchilarga qaytamiz:
 x(xy 1)


_e2 2 / x
^{ C} .►

25. 
    Tenglamani yeching: ^{y  y2}
    

_{ x}4/3 _.

◄Bu yerda
  4 / 3,
k  1. Demak, qaralayotgan tenglama

yuqoridagi tenglamalarda bajarilgan almashtirishlar kabi

^b  1;

a _{ 1;}   4 _ 4 _.

  3
  3   3 3

Bu tengliklardan ko’rinadiki,
tenglamada
  0,


y^  3y²
a  b  3

 3

kelib chiqadi. Bundan
(5)

y  ^u _x2
 ¹ , 3x
u  ¹ _,

v

x³  z

formulalar bo’yicha almashtirishlar bajarilishi natijasida

dv _{ v2}

dz

_{ z}4/3

tenglama, ya’ni bizga berilgan dastlabki tenglama hosil bo’ladi.
(5) tenglamani yechib, topamiz:

^ 1 y ^
 1 y ^_{e6 x}
 
v_3z^2/3  z^1/3 _  3
^{ C} ,

ya’ni
v_z^1/3  3z^2/3 _  3
exp_6 ^3
x _ ^{ C} .

^{Dastlabki tenglamada} y ^{bilan funksiya, x bilan argument} belgilanganligi uchun mazkur tenglamaning umumiy integrali
y _x^1/3  3x^2/3 _  3

y _x^1/3  3x^2/3 _  3
ko’rinishda topiladi.►
Xulosa
Rikkati differensial tenglamalari

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI: (REFERENCES)

1. 
   Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том II. - М.: Физматлит, 1974. - 262 с.
   
2. 
   Егоров А. И. Уравнения Риккати. - М.: Физматлит, 2001. - 342 с.
   
3. 
   Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати вариационном исчислении. - М.: Факториал, 1998. - 284 с
   

https://t.me/Erus_uz

Multidisciplinary Scientific Journal

September, 2023