Educational Research in Universal Sciences issn

Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515

VOLUME 2 | SPECIAL ISSUE 10 | 2023

Mavzu:Rikkati Tenglamalari Va Ularning Tatbiqlari

Reja:

1. Rikkati tenglamalari haqida

2. Rikkati Tenglamalari Va Ularning Tatbiqlari

3. Rikkati tenglamalarining ko’rinishlari

4. Xulosa

5. Foydalanilgan adabiyotlar

Quyida Rikkati tenglamalari to‘g‘risida ba’zi mulohazalarni keltiramiz.

Ushbu,
y ' =
a(x )y ² +
b(x )y +
c(x ),
a(x ) № 0,c(x ) № 0

1. 
   ko‘rinishdagi
   

differensial tenglama Rikkati tenglamasi deyiladi; bu yerda a(x ),b(x ),c(x ) МC (I ;R )
– berilgan funksiyalar ( I - biror sonli oraliq), y = y(x ) -noma’lum funksiya.
Rikkati tenglamalari optimal boshqaruvni sintezlash, variatsion hisob, differensial tenglamalar yechimlarini tekshirish masalalarida ko‘p uchraydi [2-5].
Ma’lumki [2], (1) tenglama yechimi ba’zi hollardagina a(x ),b(x ),c(x ) va
elementar funksiyalar orqali chekli sondagi qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, funksiyalarning kompozitsiyalarini olish va integrallash amallari yordamida ifodalanadi, ya’ni kvadraturalarda yechiladi. Umumiy holda, bu tenglamaning yechimi kvadraturalarda ifodalanmaydi.


Teorema 1. Agar Rikkati tenglamasining biror xususiy yechimi ma’lum bo‘lsa, uning umumiy yechimi kvadraturalarda topiladi.

Isboti. y =
j (x )
qaralayotgan tenglamaning biror xususiy yechimi, ya’ni

j '(x ) =
a(x )j
²(x ) +
b(x )j (x ) +
c(x )
bo‘lsin. (1) tenglamada
y = j (x ) + z

almashtirish bajaramiz (z =
tenglamasiga kelamiz:
z(x ) -yangi noma’lum funksiya) va quyidagi Bernulli

z ' =
a(x )z ² +
(2a(x )j (x ) +
b(x ))z .

Bu tenglamani z =

¹ almashtirish yordamida chiziqli differensial tenglamaga
n

keltiramiz, ( n =
n(x )
yangi noma’lum funksiya). Chiziqli differensial tenglamalar esa

umumiy holda kvadraturalarda yechiladi. Teorema isbot bo‘ldi.

kasr-chiziqli funksiyasidan iborat: y =
cf (x ) +
cw(x ) +
g(x ) _.
u(x )

Isboti. Yuqoridagiga o‘xshash Rikkati tenglamasining biror yechimini j (x )

bilan belgilab, tenglamada

y = j (x ) + ¹
n

almashtirishni bajarsak,

n = n(x )

noma’lum funksiyaga nisbatan bo‘ladi.
n '+
(2a(x )j (x ) +
b(x ))n
= - a(x )
tenglama hosil

Demak, Rikkati tenglamasining ixtiyoriy yechimi
y = j (x ) +
1
cw(x ) +
,
u(x )

ya’ni
_{y =} cj (x )w(x ) +

cw(x ) +
j (x )u(x )
u(x )

ixtiyoriy o‘zgarmasning kasr-chiziqli funksiyasi

ko‘rinishida bo‘ladi. Aksincha, faraz qilaylik, y =
y(x )
funksiya o‘zgarmas c ning

kasr-chiziqli funksiyasidan iborat bo‘lsin:

_{y =} cf (x ) +
cw(x ) +
g(x )
u(x )

( f , g, w, u

О C ¹ ). Bu

^{tenglikdan o‘zgarmas} c ^{ni topaylik: c =}
g(x ) -
w(x )y -
u(x )y _.
f (x )

Oxirgi tenglikni hadma-had differensiallab, y ga nisbatan Rikkati tenglamasini hosil qilamiz. Jumla isbot bo‘ldi.
Dastlab, Rikkati tenglamasining kvadraturalarda yechiladigan quyidagi sodda
hollarini qayd etaylik:
1. y ' = f (x )(ay ² + by + c)
ж_y ц² _y

2. 
   ^{y ' = a} _з ч ^{+ b + c}
   

^зиx ^чш x

2. 
   y ' = ay ² + ^b y + ^c
   

_{x x} 2

ye-
^y = u x
almashtirish yordamida o‘zgaruvchilari ajratiladi. 3-tenglamada xususiy

chim
y = ^k x
ko‘rinishda izlanadi (k =
const ). 4-tenglama

y ' =
a '(x )y ² +
f (x )(a(x )y + 1)
ko‘rinishga keltirilgandan so‘ng tenglamada

a(x )y + 1 =
u(x )
almashtirish bajarish lozim. 5-tenglama (y +
h(x ))^ў =
(y +
p(x )) Ч

Ч(y +
q(x ))
ko‘rinishga keltirilib, y +
h(x ) =
u(x )
almashtirish .yordamida Bernulli

tenglamasi hosil qilinadi. 6-tenglamani
xy ^ў-
ny =
f (x )(y ² +
ax ²ⁿ )
ko‘rinishda

yozib,
_{m = x} - (n + 1)
integrallovchi ko‘paytuvchi yordamida tenglamaning chap

tomonini to‘la hosilaga keltiramiz va ^y = u
_xn

almashtirish yordamida o‘zgaruvchili

ajratiladi. 7-tenglamani
xy '+ ny =
((xⁿy)² +
b)f (x ) +
af (x )x ⁿy
ko‘rinishda yozib,

_{m = x}n - 1
integrallovchi ko‘paytuvchi yordamida chap tomoni to‘la hosilaga

keltiriladi va xⁿy =
u almashtirish yordamida o‘zgaruvchilari ajratiladi. 8-tenglamani

y '-
l y =
f (x )(y ² +
_ae2l x ₎
ko‘rinishda yozib, uni
_{m = e}- l x
integrallovchi

ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, chap tomonini to‘la hosilaga keltirgach, almashtirish yordamida o‘zgaruvchilari ajratiladi.
e^{- l x}y = u

Kerakli almashtirish yordamida har qanday Rikkati tenglamasidagi noma’lum
funksiya oldidagi koeffitsentni nolga aylantirish mumkin. Buning uchun (1)

tenglamada y =
a (x )z +
b(x )

2. 
   almashtirishni bajarish lozim, bu yerda
   

a (x ), b(x )

noldan farqli tanlanishi kerak bo‘lgan funksiyalar,
z = z(x )
esa yangi noma’lum

funksiya. (2) ni (1) ga qo‘yib quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

z ' =


a(x )a (x )z ² +

(2a(x )b(x ) +

b(x ) -
a '(x )_{)z +}
a (x )
a (x )b ²(x ) +


b(x )bx +
a (x )


c(x ) -


b '(x )

Bu tenglamada

a (x ) = ^a , b(x ) =
a '(x ) - a (x )b(x )





deb tanlasak, u

z ' = az ² + r(x )
a(x )

3. 
   ko‘rinishga keladi.
   

2a(x )a (x )

Bu yerda r(x ) =

a (x )b ²(x ) +
b(x )b(x ) +
a (x )
c(x ) -
^{b '(x )} . (3) tenglama kanonik