|
Előismeretek az Algebra 3 tárgyhoz alk mat szakirányon
|
| bet | 5/5 | | Sana | 07.04.2017 | | Hajmi | 12.51 Kb. | | #3291 |
Lineáris algebra
A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza.
Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
Vektor koordinátái adott bázisban. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója. Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Alterek összege, ennek dimenziója.
A skaláris szorzat fogalma R^n-ben, vektorok hossza. Ortonormált bázis.
Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak.
Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, a megfeleltetés mátrix és leképezés között kölcsönösen egyértelmű és művelettartó. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója.
A bázistranszformáció képlete. Hasonló mátrixok. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata.
Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. Összeg és szorzat rangjának felső becslése. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
Bilineáris függvény, szimmetrikus bilineáris függvény. Bilineáris függvény mátrixa, felírás mátrixszorzás és skaláris szorzat segítségével.
Alterek összegénél az elemek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg. Direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Ortogonális kiegészítő altér.
|
| |
