|
Előismeretek az Algebra 3 tárgyhoz alk mat szakirányon
|
| bet | 1/5 | | Sana | 07.04.2017 | | Hajmi | 12,51 Kb. | | #3291 |
Előismeretek az Algebra 3 tárgyhoz alk.mat. szakirányon
A hivatkozások a
Freud Róbert: Lineáris Algebra
Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába
könyvekre utalnak.
Komplex számok
A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. K1.3.
A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. Komplex számok hatványozása.K1.4.
Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete.K1.5. Az algebra alaptétele.
Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív egységgyök fogalma és felismerése a trigonometrikus alakból. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis. K1.5,3.7.
Gyűrűk, testek
Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Egy műveletnek csak egy nulleleme lehet. Az inverz egyértelmű. Gyűrű, test, példák. K2.2.
Nullosztómentesség, minden test nullosztómentes. A Z_n gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám. K1.1,2.2,3.3.
Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Z_p-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni, ha p prím. Következmény: a kis Fermat-tétel.
Test fölötti polinomok
A polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. K2.1,2.3. A szumma és produktum jelölés. Behelyettesítés polinomba, polinomfüggvény. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. K2.4.
A gyöktényező kiemelése. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. A k-szoros gyök fogalma. Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározása: a racionális gyökteszt. K2.4,2.5,3.3. A binomiális tétel.
Az irreducibilis polinom fogalma test fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében.
Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: a racionális test fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. K3.3-3.5.
Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű
Fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem.K2.4.
A számelmélet alapjai általános gyűrűben. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Ha elvégezhető a maradékos osztás, akkor van kitüntetett közös osztó, minden irreducibilis elem prím, ezért a gyűrű alaptételes. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén.K3.1,3.3.
A gyökök és együtthatók közötti összefüggések.K2.4,K2.5 A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Nullosztómentesség, fok, homogén polinomok. Az elemi szimmetrikus polinomok.K2.6
Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani.K3.2.
Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Csak a nem nulla konstans polinomoknak van reciproka. Egységek. A kitüntetett közös osztó definíciója és meghatározása euklideszi algoritmussal. K3.1.
Vektorok, mátrixok
Az n magas oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, nulla, ellentett, skalárral szorzás, transzponált, szorzás, egységmátrix, inverz, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata.F2.1.
Oszlopvektorok lineáris függetlensége, összefüggősége. Vektorrendszer rangja. Mátrix sor- és oszloprangja, ezek egyenlősége. A rang és az inverz kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. Szorzat rangja.F3.2-3.5.
Permutációk, determinánsok
Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata. Inverziók, permutáció előjele. Kompozíció, a permutációk szorzástétele. Csere előjele, a páros permutációk száma.K4.2, F1.1
A determináns definíciója. Tulajdonságai (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. F1.1,1.2,1.3.
Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A determináns eltűnésének jellemzése. Vandermonde-determináns.F1.4,1.5,2.2.
Lineáris algebra
A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza.
Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
Vektor koordinátái adott bázisban. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója. Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Alterek összege, ennek dimenziója.
A skaláris szorzat fogalma R^n-ben, vektorok hossza. Ortonormált bázis.
Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak.
Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, a megfeleltetés mátrix és leképezés között kölcsönösen egyértelmű és művelettartó. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója.
A bázistranszformáció képlete. Hasonló mátrixok. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata.
Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. Összeg és szorzat rangjának felső becslése. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
Bilineáris függvény, szimmetrikus bilineáris függvény. Bilineáris függvény mátrixa, felírás mátrixszorzás és skaláris szorzat segítségével.
Alterek összegénél az elemek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg. Direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Ortogonális kiegészítő altér.
|
| |
