Elektrodinamika

Publication date 1977

Szerzői jog © 2002 Dr. Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt.

Szerző:

Bírálók:

DR. GÁSPÁR REZSŐ - egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja

DR. NAGY KÁZMÉR - egyetemi tanár, a fizikai tudományok doktora

A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos!

© Dr. Nagy Károly, Budapest, 1977; Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002

Tartalom

1. A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI 1

1. A Michelson-féle kísérlet 3

2. A relativitás elve 6

3. A Lorentz-transzformáció 9

4. Távolságok és időtartamok relativitása 11

5. Sebesség-összetevés 16

2. A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR 19

1. A Minkowski-féle négydimenziós tér szerkezete 19

2. Általános Lorentz-transzformáció 23

3. Négyes vektorok 25

4. Négyes tenzorok. Tenzoranalízis 27

5. A speciális relativitáselmélet programja 30

3. RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA 32

1. A Maxwell-egyenletek tenzor alakban 32

2. A térerősségek és az áramsűrűség transzformációs képletei 36

3. Egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere 38

4. Doppler-effektus és aberráció 40

5. Az erősűrűség relativisztikus kifejezése 43

6. Az elektromágneses tér energia-impulzus tenzora 44

4. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA 48

1. Négyes impulzus. Relativisztikus mozgásegyenletek 48

2. A tömeg és az energia közötti kapcsolat 52

3. Variációs elv. A mozgásegyenletek kanonikus alakja 55

A. FÜGGELÉK 58

1. Mértékrendszerek 58

2. A könyvben alkalmazott vektoralgebrai és vektoranalitikai összefüggések 62

B. FELADATGYŰJTEMÉNY 64

Az ábrák listája

65. 2

67. 4

69. 10

71. 21

73. 68

75. 70

77. 74

79. 76

81. 80

83. 82

85. 83

87. 89

89. 97

1. Elektromos és mágneses mértékegységek táblázata 60

1. fejezet - A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI

Könyvünk előző fejezeteiben már hangsúlyoztuk, hogy a Maxwell-féle elektrodinamika az elektromágneses erőtér fizikai szerepének a felismerésén alapszik. Nevezetesen azon, hogy az elektromágneses hatásokat az erőtér közvetíti. A tér állapot- változásai a fénysebességgel terjednek. Ez a felismerés a mechanikai világkép több mint kétszáz éves egyeduralmát döntötte meg. Az objektív anyagi világ mozgásformái nemcsak a mechanikai mozgásra korlátozottak, hanem annál sokkal gazdagabbak. Az elektromágneses erőtérnek – mint objektív fizikai realitásnak – a makroszkopikus testekétől teljesen eltérő mozgástörvényei vannak. Faraday és Maxwell elévülhetetlen érdemei éppen abban állnak, hogy az erőtérnek a szerepét és az annak állapotváltozásait leíró törvényeket felismerték. Érdekes azonban, hogy Faraday és Maxwell az erőtér új mozgástörvényeit mechanikai alapon próbálták értelmezni. Az elektromágneses hatások terjedését a rugalmas hullámokhoz hasonlóan magyarázták. Felfogásuk szerint az egész világmindenséget kitölti egy rugalmas sajátságokkal rendelkező közeg, az ún. világ-éter,¹ amelynek állapotváltozásai terjednek véges sebességgel tova mint elektromágneses hullámok. Az éter tehát ugyanolyan közvetítő közeg szerepét játszotta, mint a rugalmas testek a hanghullámok esetén. Csak a későbbi vizsgálatok derítették ki, hogy ez a hipotetikus közvetítő közeg nem létezik, és az elektromágneses hatások (elektromágneses hullámok) minden közeg nélkül a vákuumban is terjednek, ellentétben a hanghullámokkal. Tulajdonképpen ekkor vált teljessé a térelméleti felfogás diadala, amikor bebizonyosodott, hogy az elektrodinamika az elektromos és mágneses jelenségeknek a mechanikától teljesen eltérő, új dinamikáját adja. Ezek az éterre vonatkozó vizsgálatok ezen túlmenően olyan felismerésekhez vezettek, amelyek az eddigi fizikai világképünk alapjainak teljes revízióját eredményezték. Többek között a térre és az időre vonatkozó több évszázados ismereteink helytelennek bizonyultak; a newtoni mechanika törvényeiről kiderült, hogy csak közelítő jellegűek stb. Ezek az új felismerések vezettek századunk egyik legnagyobb fizikai elméletéhez, az ún. relativitáselmélethez. Könyvünk hátralevő részében ezzel az elmélettel foglalkozunk.

Az éterhipotézis szerint az elektromágneses jelenségek a nyugvó éterben játszódnak le, az elektromágneses hatásoknak az éter a hordozójuk. Következésképpen a Maxwell-egyenletek is a nyugvó éterben érvényesek. Az éter tehát kitüntet egy koordináta-rendszert, amelyre vonatkoznak az elektrodinamika alapegyenletei. Az éterhez rögzített koordináta-rendszer a Newton-féle abszolút vonatkoztatási rendszer szerepét veszi át.

A mechanikai tanulmányainkban megismertük, hogy mechanikai kísérlettel az abszolút vonatkoztatási rendszer nem található meg, mert az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek egyenértékűek a mechanikai jelenségek leírása szempontjából. Ez a felismerés Galilei nevéhez fűződik, és Galilei-féle relativitási elv néven ismeretes. Egyszerűen arról van szó, hogy a mozgásegyenletek az egymáshoz képest egyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerekben azonos alakúak, és ennélfogva a belőlük származó valamennyi eredmény ugyanaz ezekben a rendszerekben. A mechanikai jelenségek tehát bennük egyformán mennek végbe, és ezért az abszolút vonatkoztatási rendszer a mechanikában fikció maradt.

Az éterhipotézis bevezetésével úgy tűnt, hogy elektrodinamikai kísérlettel mégiscsak megtalálható az abszolút vonatkoztatási rendszer. Ugyanis ha a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek, akkor csak ebben a vonatkoztatási rendszerben izotrop a fény terjedése. Az éterhez képest mozgó koordináta-rendszerben a fénysebesség függ a vonatkoztatási rendszer sebességétől is. Tételezzük fel, hogy az elektromágneses síkhullám az x tengely irányában halad. Ekkor a térerősség-komponensek

alakúak, c a hullám terjedési sebessége az éterben. Milyen sajátságú hullámot észlel az a megfigyelő, aki a nyugvó éterhez képest állandó sebességgel mozog az x tengely mentén? Az éterben nyugvó és a hozzá képest az x tengely mentén sebességgel mozgó koordináta-rendszerben valamely P pont koordinátái között az ábrából leolvasható

összefüggés áll fenn, ha a két vonatkoztatási rendszer tengelyeinek irányát azonosnak választjuk, és t = 0-kor a két vonatkoztatási rendszer origója egybeesik, s akkor kezdi mozgását a vesszős koordináta-rendszer. A koordináták ilyen transzformációját elvégezve (65. ábra), kapjuk:

65. ábra -

Az éterhez képest sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerben tehát

frekvenciájú és sebességgel haladó hullámot észlelünk. Ha a hullám a vesszős koordináta-rendszer mozgásirányával szemben halad, akkor a frekvencia -re változik, sebessége pedig lesz.

Az

frekvenciaváltozás Doppler-effektus néven ismeretes a hullámelméletben. A mi szempontunkból azonban most érdekesebb a hullám terjedési sebességének a megváltozása. Eszerint a fény csak a nyugvó éterben terjed minden irányban ugyanazzal a c sebességgel. Az éterhez képest mozgó vonatkoztatási rendszerben a fénysebesség iránytól függő: az x tengely mentén aszerint, hogy a mozgásiránnyal szemben vagy vele párhuzamosan terjed. A mozgásirányra merőlegesen haladó hullám sebessége változatlan. Az éterhez képest való mozgás tehát sajátos anizotrópiát eredményez az elektromágneses hullám terjedésében. Valóban úgy tűnik tehát, hogy a nyugvó éter valósítja meg a klasszikus fizika abszolút koordináta- rendszerét, és ezt a kitüntetett vonatkoztatási rendszert fénysebességméréssel meg lehet határozni. A kísérlet alapgondolata Maxwelltől származik, de csak később (1881-ben) sikerült azt A. A.Michelsonnak elvégeznie. Ez a híres Michelson-kísérlet, amely fizikai világképünkben radikális változást eredményezett.

1. A Michelson-féle kísérlet

A kísérleti berendezés a Michelson-féle interferométer volt (66. ábra). Az F fényforrásból jövő fénysugár a 45° alatt hajló félig ezüstözött T üveglemezre esett, amely egy részét áteresztette, egy másik részét merőlegesen visszaverte. Mind az áthaladt, mind a visszavert fénysugár az l₁, illetve az l₂ út befutása után a T₁, illetve a T₂ tükrön teljesen visszaverődött, majd a T félig ezüstözött üveglemezen való visszaverődés, illetve áthaladás után az M távcsőbe jutott. A mérésnél az l₁ és l₂ távolságokat pontosan egyformának választották.

Ha a berendezés nyugszik az éterben, akkor a fénysugarak az l₁ és l₂ utakat ugyanazzal a c sebességgel futják be és időkésés nélkül egymást erősítve találkoznak T-ben, és jutnak a távcsőbe. Ha a készülék sebességgel mozog az éterhez képest az l₁ irányban, akkor a fentiek szerint a két fénysugár más sebességgel haladva időkéséssel találkozik, és ezért fáziskülönbség lép fel közöttük. Számítsuk ki a két út megtételekor fellépő időkülönbséget.

A T-től T₁ felé haladó fénysugár sebességgel terjed, ezért a távolság befutásához szükséges idő:

((58,1). egyenlet).

A visszafelé haladó fénysugár sebessége , ezért a T₁ tükörtől T-hez

((58,2). egyenlet)

idő alatt érkezik. A fénysugár a TT₁T utat

((58,3). egyenlet)

idő alatt futja be.

Most számítsuk ki a mozgásirányra merőleges l₂ út kétszeres befutásához szükséges időt. Itt figyelembe kell vennünk, hogy a T₂ tükör sebességgel mozog a fénysugárra merőlegesen. Ezért az éterben megtett fényút a derékszögű háromszög átfogójának kétszerese. A 67. ábrából leolvasható:

,

amiből

67. ábra -

A út megtételéhez szükséges idő:

(58,3)-ból és (58,4)-ből látszik, hogy a két fénysugár nem egy időben érkezik az M távcsőbe, a köztük fellépett időkülönbség:

Ha az interferométert 90°-kal elforgatjuk úgy, hogy utána az l₂ kar mutat a mozgás irányába, l₁ pedig arra merőleges, akkor a két fénysugár a

időkülönbséggel találkozik. Mivel a két időkülönbség nem egyenlő, az elforgatás során az interferenciaképnek meg kell változnia. Az interferenciacsíkok eltolódását az (58,5) és (58,6) különbsége határozza meg:

Mivel a berendezés a Földdel együtt mozgott az éterben, helyére a Föld Nap körüli keringési sebessége írandó. Ez az érték = 30 km/s. Ezért

.

Minthogy rendkívül kicsi az 1-hez képest, (58,7)-ben sorfejtést végezve, a -ben az elsőrendű tagnál megállhatunk:

Becsüljük meg, hogy milyen mértékű lesz az interferenciacsíkok eltolódása. Ehhez az (58,8) időkülönbséget össze kell hasonlítani az alkalmazott fény rezgésidejével. Ha az (58,8) időkülönbség éppen a rezgésidővel egyezik meg, akkor az interferenciakép egy teljes csíkszélességgel tolódik el. Az interferencia-eltolódás tehát annyiad része a teljes csíkszélességnek, ahányad része a τ rezgésidőnek. Sárga fény esetén cm, és ezért

Ebből következik, hogy m fényútnál

,

vagyis éppen egy csíkszélesség az eltolódás. Ilyen nagy fényút a fénysugarak többszöri visszaverődésével érhető el.

Következtetéseinket azon az alapon végeztük el, hogy a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek, és a hozzá képest mozgó vonatkoztatási rendszerben anizotrop a fény terjedése. Eszerint a Michelson-féle kísérletben a berendezés 90°-os elforgatásakor az interferenciaképnek meg kellene változnia. A gondosan elvégzett kísérletek negatív eredménnyel jártak, csíkeltolódás nem tapasztalható. Mi lehet az ellentmondás magyarázata? A múlt század végén több próbálkozás történt a kísérlet negatív eredményének az értelmezésére. Ezek közül itt csak egyet említünk meg, nevezetesen a Lorentz–Fritzgerald-féle kontrakciós hipotézist. Eszerint az éterhez képest sebességgel mozgó test mozgásirányába eső mérete mértékben megrövidül. A kísérlet első részében az l₁ kar mutat a mozgásirányba, ezért (58,5)-ben l₁ helyére írandó. A 90°-os elforgatás után az l₂ kar rövidül meg, és ezért (58,6)-ban l₂ helyére írandó. Ennek alapján a két időkülönbség megegyezik, következésképpen , tehát nem várható változás az interferenciaképben.

Érdemes megjegyezni, hogy a feltételezett hosszúságrövidülés kicsi. Ugyanis

,

és így a megrövidülés az eredeti hosszúság százmilliomod részének a fele. Közvetlen méréssel ez egyébként sem állapítható meg, hiszen a feltevés szerint a testhez illesztett mérőrúd is ugyanilyen arányban megrövidül. A Lorentz–Fritzgerald-féle értelmezés tehát közvetlen méréssel nem ellenőrizhető hipotézisen alapszik. A többi próbálkozásnál is hasonló nehézségek lépnek fel. Végeredményben tehát elektrodinamikai (vagy optikai) kísérlettel sem sikerült a kitüntetett vonatkozási rendszert megállapítani. Az éterhipotézis továbbra is hipotézis maradt.

2. A relativitás elve

A Michelson-kísérlet negatív eredményéből Albert Einstein 1905-ben azt a következtetést vonta le, hogy nem igaz az a feltevés, miszerint a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek, és csak ebben a kitüntetett vonatkoztatási rendszerben c a fénysebesség minden irányban. A tapasztalat azt mutatja, hogy a fény sebessége a Földdel együtt mozgó koordináta-rendszerben is c, és terjedése itt is izotrop. Éter nem létezik, következésképpen kitüntetett vonatkoztatási rendszer sem. A fény terjedése minden inerciarendszerben izotrop. Az inerciarendszerek teljesen egyenértékűek a természeti jelenségek leírása szempontjából. Semmilyen jelenség (sem mechanikai, sem elektrodinamikai) nem tüntet ki közülük egyet sem; nincs abszolút vonatkoztatási rendszer. Az inerciarendszerek egyenértékűségében egy általános természeti elv, az ún. speciális relativitás elve mutatkozik meg. A speciális jelző arra utal, hogy egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerekre vonatkozik az egyenértékűség. A gyorsuló vonatkoztatási rendszerekre ez nem igaz, hiszen azokban tehetetlenségi erők lépnek fel, amelyek már megrontják a fény terjedésének izotrópiáját.

Einstein elévülhetetlen érdeme abban van, hogy az inerciarendszerek egyenértékűségét, a relativitási elvet felismerte. Az éterhipotézist a mechanikai világképhez való görcsös ragaszkodás szülte. Einstein nagyságát mutatja, hogy tekintélyes elődeivel szemben bátran szakított a több évszázados felfogással, és nem újabb hipotézissel próbálta az éterhipotézist menteni, hanem elfogadta az objektív anyagi világot olyannak, amilyennek azt a tapasztalat mutatja. A tapasztalat pedig sohasem ismerte el az éter létjogosultságát.

Einstein azt is világosan látta, hogy a probléma mélyebb gyökerei a térre és az időre vonatkozó felfogásunkkal vannak kapcsolatban. A térnek és az időnek a fogalmát a klasszikus fizikában abszolútnak tekintették. Különösen áll ez az időre. A tér két különböző helyén egy időben lejátszódó eseményt minden vonatkoztatási rendszerben egyidejűnek tekintettek. Tehát az egyidejűség fogalmának is abszolút jelentése volt. Az Einstein által elvégzett elemzésből kiderül, hogy ez a felfogás téves.

Valamely eseményről a fizikus akkor tud egyértelműen beszélni, ha tudja, hogy az a tér melyik helyén, melyik időpontban játszódott le. Minden eseményt tehát négy adattal, a három helykoordinátával és az esemény időpontjával jellemzünk. Az esemény helyére és idejére vonatkozó kijelentésnek csak akkor van értelme, ha a hely és idő mértékszámai jól definiált és elvileg akárhányszor megismételhető mérés eredményeiként adódnak. A hely mérésére a méterrudak, az idő mérésére az órák szolgálnak. A helymérés eredményeként a tér minden pontjához egy számhármas rendelhető, amely az illető pont helykoordinátáit adja meg. Az időt az esemény helyén elhelyezett órával mérjük. Egyértelmű időmeghatározást akkor kapunk, ha a tér minden pontjába egyformán járó, ún. helyi órákat helyezünk, és azokat valamilyen eljárással szinkronizáljuk. Elképzelhető olyan szinkronizálási eljárás, hogy a koordináta-rendszerünk origójában elhelyezett, ún. normálórához igazítjuk a helyi órákat, és azután visszük őket a helyükre. Az ilyen módon történő szinkronizálás azonban nem tekinthető kielégítőnek, mert nincs kizárva, hogy amíg az órákat helyükre szállítjuk, mozgásuk befolyásolhatja járásukat. Az órákat tehát előbb a helyükre kell szállítanunk, és csak azután hozzáigazítani az origóban elhelyezett órához. Ehhez a következő eljárás mutatkozik kielégítőnek. A koordináta-rendszer kezdőpontjából fényjelet bocsátunk ki abban a pillanatban, amikor az ott elhelyezett óra mutatója t = 0-t mutat. A tér pontjaiban sűrűn elhelyezett megfigyelőknek olyan utasítást adunk, hogy amikor a fényjelet felvillanni látják, állítsák be óráikat a időre, ahol r az origótól mért távolságukat jelenti. Ugyanis ennyi idő alatt futja be a fény az r távolságot. Így a vonatkoztatási rendszerünk különböző helyein sűrűn elhelyezett órák egyformán járnak, és a szinkronizálás módja fizikai szempontból teljesen kielégítő. Két eseményt most már akkor mondunk egyidejűnek, ha az események helyén elhelyezett órák ugyanazon mutatóállásnál következtek be.

Ezek után képzeljünk el két inerciarendszert, amelyek egymáshoz képest sebességgel mozognak pl. az x tengely mentén. Az egyiket K-val, a másikat K'-vel jelöljük. Az Einstein-féle relativitási elv szerint a fény mindkét inerciarendszerben ugyanazzal a c sebességgel terjed minden irányban. A két vonatkoztatási rendszer órái fényjelekkel szinkronizálhatók. Tételezzük fel, hogy t = 0 időpillanatban a két koordináta-rendszer tengelyei és origójuk egybeesik. A közös origóból t = 0-kor fényjelet bocsátunk ki a tér minden irányába, és mindkét rendszer megfigyelőinek azt az utasítást adjuk, hogy amikor a fényjelet felvillanni látják, állítsák óráikat az , illetve időre. A K' koordináta-rendszer ugyancsak a t = 0 pillanatban kezd el mozogni sebességgel a K-hoz képest az x tengely mentén. A 68. ábrából világosan látszik, hogy a K és K' rendszer olyan két óráját, amely a fényjel megérkezésekor helyileg egybeesik, nem ugyanarra az időre fogják beállítani, mert a K-beli órát -re, a K'-belit pedig -re állítják be, és mivel , ezért , ugyanis közben K' origója távolsággal elmozdult a K origójához képest. A P pontban történő rövid esemény idejét a két óra nem egyazon időpontban jelzi, hiszen az egyik t időt jelez, a másik pedig t'-t és . A fénysebesség állandóságából tehát következik, hogy egységes időről csak egy vonatkoztatási rendszeren belül lehet szó, a különböző inerciarendszerek ideje nem egyezik meg. Majd látni fogjuk, hogy az egyidejűség is általában csak egy vonatkoztatási rendszeren belül érvényes, tehát nem abszolút, hanem relatív fogalom.

Az órák egyértelmű szinkronizálása után most már megbeszélhetjük azt a kérdést is, hogy hogyan mérjük meg pl. olyan tárgyak hosszát, amelyek inerciarendszerünkhöz képest mozognak. A szokásos hosszúságmérésnél a mérendő hosszúság és a mérőrúd egymáshoz képest nyugalomban vannak, így a hosszúságmérés a hosszegység megválasztása után egyszerű feladat: a méterrudat a mérendő hossz mellé fektetjük, és a mérőszámokat leolvassuk. Ez az eljárás azonban nem alkalmazható mozgó tárgyak esetén. Ilyenkor a megmérendő mozgó léc elejének és végének egyidejű lenyomata közötti szakaszt tekintjük a léc hosszának. A mérés a következőképpen történik. A mozgó rúd mentén megfigyelőket helyezünk el sűrűn, és számukra olyan utasítást adunk, hogy közülük egy jegyezze fel azt az időpillanatot, amikor a rúd eleje éppen hozzá ér, a többi pedig azt az időpontot jegyzi fel, amikor a rúd vége érkezik hozzájuk. Természetesen az eljárás rendkívül éles kontaktusok regisztrálásával végzendő, ez azonban nem okoz különösebb elvi nehézséget. A rúd hosszán azt a távolságot értjük, amely azon két megfigyelő között van, akik közül egyik a rúd elejét, másik a végét észlelte ugyanabban a t időpillanatban. Lényegében hasonlóképpen történik valamely mozgó testen lejátszódó folyamat időtartamának a mérése is. Erre természetesen azon két óra időadatai a mérvadók, amelyek közvetlen közelében kezdődik, illetve végződik az esemény.

Ez a mérési eljárás elvileg minden korlátozás nélkül elvégezhető bármely inerciarendszerben. A különböző inerciarendszerekben elvégzett mérések eredményeit a K, illetve K' vonatkoztatási rendszer megfigyelői egymással közölhetik, és az összevetésből érdekes következtetések vonhatók. Ehhez azonban az szükséges, hogy az egyes események K-ban, illetve K'-ben mért hely- és időadatai között egyértelmű kapcsolat álljon fenn. A következő pontban ezt a kapcsolatot határozzuk meg olyan két inerciarendszer között, amelyek egymáshoz képest állandó sebességgel mozognak az x tengely mentén.

Két inerciarendszer hely- és időkoordinátái közti kapcsolat ismeretének a már említett gyakorlati hasznán túlmenően elvi jelentősége is van. Ugyanis a relativitás elve szerint az inerciarendszerek a természetleírás szempontjából egyenértékűek. Ez viszont azt jelenti, hogy az egzakt természettörvényeknek minden inerciarendszerben azonos alakúnak kell lenniük, mert bármilyen alaki különbség arra mutatna, hogy az inerciarendszerek nem teljesen egyenértékűek. Az egzakt természettörvényeknek tehát invariánsnak kell lenniük azon transzformációval szemben, amely két inercarendszer hely- és időkoordinátái között állapít meg kapcsolatot. A keresett transzformáció fontossága tehát abban van, hogy az egzakt természettörvények vele szemben invariánsak. Ez a transzformáció az ún. Lorentz-transzformáció.

3. A Lorentz-transzformáció

Gondoljunk el két inerciarendszert, amelyek az x tengely mentén egyenletesen mozognak egymáshoz képest. Jelöljük őket K-val, illetve K'-vel. Tételezzük fel, hogy óráikat az előző pont előírásainak megfelelően fényjelekkel szinkronizáltuk. A tér valamely pontjában lejátszódó eseményt a K rendszerben az x, y, z, t, a K'-ben az x', y', z', t' négy adattal jellemezzük. Ez azt jelenti, hogy az esemény a K rendszer x, y, z koordinátájú pontjában t időpillanatban, a K' rendszerben pedig az x', y', z' pontban t' időpillanatban történik. Keressük azt a transzformációt, amely kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták és időadatok között.

A keresett összefüggésnek ki kell elégítenie a következő feltételeket:

1. A transzformációnak lineárisnak kell lennie. Ez a feltétel a tér homogenitását biztosítja. Vagyis azt, hogy a koordináta-rendszer egyik pontja sincs kitüntetve a többihez képest; történetesen a kezdőpont sem.

2. A két inerciarendszer egymáshoz képest állandó transzlációs sebességgel mozog. Ha a K' koordináta-rendszer valamely x', y', z' koordinátájú pontja K-hoz képest v sebességgel mozog, akkor a K rendszer valamely x, y, z koordinátájú pontja –v sebességgel mozog K'-höz képest. E feltevésben rejlő korlátozás a speciális relativitáselméletre jellemző. Az ún. általános relativitáselmélet – amelynek tárgyalása kívül esik könyvünk keretein – az egymáshoz képest gyorsuló vonatkoztatási rendszereket is figyelembe veszi.

3. A fénysebesség mindkét inerciarendszerben minden irányban ugyanaz a c érték. Ezt a tényt Michelson kísérletéből tudjuk, és már az órák szinkronizálásánál is figyelembe vettük.

4. Semmilyen fizikai méréssel nem lehet a két vonatkoztatási rendszer között valamilyen elvi különbséget találni. Az inerciarendszerek a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékűek. Ezt fejezi ki a speciális relativitás elve.

A transzformációs képleteket arra a speciális esetre határozzuk meg, amikor a két rendszer x, illetve x' tengelye tartósan egybeesik, és a relatív mozgás az x tengely mentén történik: v(, 0, 0), továbbá a t = 0, ill. t' = 0 időpontban a két koordináta-rendszer kezdőpontja egybeesik. Az x és x' tengelyek akkor esnek egybe, ha y = 0, z = 0-ból következik, hogy y' = 0, z' = 0. Ezért az y-ra és z-re vonatkozó transzformációs képlet a következő alakú:

A koordináta-rendszer térbeli forgásától eltekintünk, ezért megköveteljük, hogy pl. az (x, y) sík az (x', y') síkba menjen át. Így (60,1)-ből az y és z irány egyenértékűségének figyelembevételével adódik:

((60,2). egyenlet).

Az α tényező azt jelenti, hogy az y vagy a z irányban fekvő egységnyi hosszúságot a K' rendszerben elvégzett mérés nem egységnyinek, hanem α-nak találja. (60,2)-ből a transzformáció megfordításával következik, hogy a K'-ben y', illetve z' irányban nyugvó léc hosszát a K rendszerbeli megfigyelő -szorosnak méri. Ha ez a kölcsönösen megállapított hosszúságváltozás különböző volna, ez objektív különbséget jelentene a két inerciarendszer között, ami a 4. feltételben megfogalmazott relativitási elv miatt kizárt dolog. Ezért fenn kell állnia az összefüggésnek, amiből következik, hogy , és ezáltal

((60,3). egyenlet).

Most foglalkozzunk az x-re és t-re vonatkozó transzformációs képletekkel. Feltevésünk értelmében az x' = 0 pont a pozitív x tengely mentén sebességgel halad. Ez azt jelenti, hogy x' = 0 esetén . A 2. feltevés szerint a K rendszer origója sebességgel halad a K' rendszerhez képest. Tehát az x = 0-nak az felel meg. E meggondolásokból következik, hogy a keresett transzformáció ilyen alakú:

Látni fogjuk, hogy a 4. feltevés alapján a ϰ és ϰ' – egyelőre határozatlan – számoknak meg kell egyezniük. Tekintsünk e célból egy l hosszúságú lécet, amely a K rendszerben az x tengely mentén nyugszik, és végpontjai az x = 0 és x = l. Mérjük meg a léc hosszát a hozzá képest mozgó K' rendszerben. Az előző pontban megbeszélt mérési eljárás szerint a léc két végpontjának egyidejű lenyomatát kell vennünk. A t' = 0 időpontban a léc két végpontjának koordinátái (60,4) szerint x' = 0, illetve . Vegyünk most egy l hosszúságú lécet, amely a K' rendszer x' tengelye mentén nyugszik, és végpontjai , ill. x' = l. Mérjük meg a hosszát a K rendszerben. A két végpont egyidejű lenyomata a t = 0 időpillanatban az x = 0, illetve az koordinátájú pontok. Az első mérésnél a lécet mértékben megrövidültnek, a másodiknál -ször rövidebbnek találtuk. A 4. pontban megfogalmazott relativitási elv miatt -nak egyenlőnek kell lennie -vel, mert különben objektív különbség lenne a két inerciarendszer között. Tehát

((60,5). egyenlet).

Hátra van még értékének a meghatározása. Ehhez felhasználjuk a Michelson-kísérletből leszűrt megállapítást, miszerint a fény sebessége mindkét vonatkoztatási rendszerben c-vel egyenlő minden irányban. Gondoljuk el, hogy a t = t' = 0 időpontban fényjelet adunk le a közös origóból, amelyet a P pontban levő két megfigyelő (lásd a 69. ábrát) , illetve időpillanatban lát felvillanni. Ezeket az értékeket (60,4)-be behelyettesítve, kapjuk:

69. ábra -

E két kifejezés egybevetéséből adódik:

amiből következik:

A t'-re vonatkozó transzformációs képletet (60,4)-ből kapjuk:

A (60,6) összefüggés figyelembevételével adódik, hogy

Ezzel tulajdonképpen meghatároztuk a keresett transzformációt. Foglaljuk össze képleteinket:

Az inverz transzformáció ezekből egyszerűen adódik:

Érdemes megjegyezni, hogy az inverz transzformáció képletei (60,7)-ből egyszerűen a helyettesítéssel és a vesszős és vesszőtlen mennyiségek felcserélésével adódnak.

A pontszerű esemény K-ban, illetve K'-ben mért koordinátái és ideje közötti kapcsolatot megadó (60,7), illetve (60,8) transzformációs képleteket hívjuk Lorentz-transzformációnak. Lorentz volt az első, aki ezeket az összefüggéseket levezette, amikor azokat a lineáris transzformációkat kereste, amelyek az elektrodinamika alapegyenleteit invariánsul hagyják.

Hasonlítsuk össze e képleteket a mechanikából ismert Galilei-féle transzformációval:

Mint tudjuk, e transzformáció a mechanika alapegyenleteit invariánsul hagyja.

Látjuk, hogy a Lorentz-transzformáció a határesetben átmegy a Galilei-félébe. Ebben az esetben t = t', vagyis érvényes az abszolút egyidejűség. Az abszolút egyidejűség tehát abban az esetben állna fenn, ha végtelen sebességgel terjedő jelekkel lehetne szinkronizálni az órákat. A relativitáselmélet szerint a c fénysebesség határsebesség szerepét játssza; ennél nagyobb sebességgel terjedő jelek nem léteznek a természetben. A következő pontban látni fogjuk, hogy ha létezne olyan hatás, amely sebességgel terjedne, akkor meg lehetne adni olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben a hatás visszafelé terjedne a múltba, vagyis felcserélődne az ok és okozat természetes sorrendje.

A (60,8) transzformációból közvetlenül is látszik, hogy a fénysebességnek határsebesség szerepe van. Ugyanis esetben képzetessé válik. Két inerciarendszer tehát legfeljebb fénysebességgel mozoghat egymáshoz képest.

4. Távolságok és időtartamok relativitása

Már az előző pontban láttuk, hogy a mozgó léc hossza rövidebb, mint nyugalmi állapotban mért hosszúsága. Ezt a problémát a Lorentz-transzformáció alapján még egyszer megvizsgáljuk.

Tekintsünk egy lécet, amely a K' rendszer x' tengelye mentén helyezkedik el, és azzal együtt mozog sebességgel a K-hoz képest. Végpontjai a K'-ben legyenek és . A K'-ben elvégzett hosszúságméréskor a mérőrúd és a léc egymáshoz képest nyugalomban vannak, ezért az hosszúságot a léc nyugalmi mérőszámának nevezzük. Mérjük meg a léc hosszát a hozzá képest mozgó K rendszerben. Mozgó tágyak hosszát az 59. pontban megbeszélt eljárással mérjük meg. Nevezetesen, a kezdő- és végpont ugyanazon t időpontban mért koordinátáinak különbségét tekintjük a léc hosszának. A Lorentz-transzformáció szerint a végpontok egy időben mért koordinátáinak transzformációs képlete a következő:

.

A kettő különbsége:

Az távolság a K rendszerben mért ún. mozgási mérőszám. E képletből látszik, hogy l rövidebb az l₀ nyugalmi mérőszámnál:

A tárgyak hossza tehát nem abszolút fogalom, hanem a koordináta-rendszertől függő. A léc hosszának csak akkor van értelme, ha azt is megmondjuk, hogy melyik koordináta-rendszerben mért hosszúságról van szó. A hosszúság mérőszámának relatív volta az egyidejűség relativitásával van igen szoros kapcsolatban, hisz – mint láttuk – a mérésnél az egyidejűséget felhasználjuk.

Természetesen ugyancsak a (61,2) képletet kapjuk akkor is, ha a léc nem a K', hanem a K rendszer x tengelye mentén nyugszik, és hosszát a K' rendszerben mérjük meg. Most a két végpontnak az ugyanazon t' időpontban vett koordinátáit mérjük. A Lorentz-transzformáció szerint:

.

A kettő különbsége:

Mivel a léc most a K rendszerben nyugszik, ezért a hosszúság nyugalmi mérőszáma és a mozgási. Látjuk, hogy a mozgási és a nyugalmi mérőszám viszonyára ugyanazt kaptuk, mint előbb, vagyis a (61,2) összefüggést.

A Lorentz-transzformáció (60,7), (60,8) képleteiből az is látszik, hogy a mozgásirányra merőleges koordináták nem transzformálódnak. Ebből viszont következik, hogy a tárgyak mozgásirányra merőleges méretei sem változnak, vagyis ezek mozgási és nyugalmi mérőszámai megegyeznek:

((61,3). egyenlet).

Ennek természetes következménye, hogy a testek térfogatának nyugalmi és mozgási mérőszáma sem egyezik meg. Tekintsünk példaként egy hasábot, amely nyugszik a K' rendszerben, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és hosszúságuk: , , . A K'-ben mért nyugalmi térfogat:

a K-ban mért mozgási mérőszám pedig:

A két mérőszám közötti összefüggés (61,1) és (61,3) alapján:

A testek térfogatának mozgási mérőszáma tehát ugyanolyan mértékben kisebb a nyugalminál, mint a mozgásirányba eső hosszúságé.

A Lorentz-transzformáció alapján megnyugtatóan értelmezhetjük a Michelson-kísérlet negatív eredményét is. Az első esetben az l₁ kar esik a mozgás irányába, tehát hossza , a 90°-os elforgatás után pedig az l₂ kar lesz rövidebb: . Így az elforgatáskor nem lép fel különbség a fényutakban, és ezért az interferenciacsíkok rendszere sem változik meg. Formálisan hasonlóképpen magyarázza a kísérletet a Lorentz-kontrakciós hipotézis is, de azzal az elvi különbséggel, hogy ott az egyidejűség problémája fel sem merül. Amint láttuk, ez pedig igen lényeges a relativitáselméleten alapuló helyes magyarázatnál.

Foglalkozzunk most a két inerciarendszerben mért időpontok és időtartamok összehasonlításával, és vizsgáljuk meg annak néhány következményét, hogy az idő is transzformálódik.

Tekintsünk két olyan pontszerű eseményt, amelyek a K' rendszerben az x' tengely két különböző pontjában egy időben (a t' időpontban) játszódnak le. A K rendszerben a két esemény nem egy időben történik! Jelölje egyik helyét x, idejét t, a másikét x₂, illetve t₂. A Lorentz-transzformáció szerint:

.

A K-ban mért t₂ – t₁ időkülönbség ebből a következő:

E képletből látszik, hogy ha a két esemény mozgásirányba eső koordinátái nem egyeznek meg, akkor a K rendszerbeli megfigyelő a két eseményt nem ugyanabban az időpontban észleli. Az egyidejűség tehát – amint erről már volt is szó – nem abszolút jelentésű fogalom, értelme csak egy inerciarendszeren belül van. Lényegében ezzel függ össze a távolságok mérőszámának relativitása is, mint azt előbb említettük.

Tételezzük fel, hogy a K rendszer x₁ pontjából t₁ időpontban valamilyen hatás indul ki, amely C sebességgel terjedve, az x₂ pontban t₂ időben eseményt vált ki. A hatás kiindulása és az esemény kiváltása között eltelt idő:

((61,6). egyenlet).

Felmerülhet az a furcsa kérdés, hogy a K'-beli megfigyelő nem észlelheti-e előbb az eseményt, és csak később a hatás kiindulását. Más szóval: a K' megfigyelői számára nem fordulhat-e meg az ok és okozat természetes sorrendje? Ehhez az kellene, hogy a K' rendszerben a időkülönbség negatív legyen. Képezzük (60,7)-ből a ídőkülönbséget:

Helyettesítsük be ide (61,6) értékét:

Mivel a jobb oldal első és harmadik tényezője pozitív, akkor lenne negatív, ha

,

vagyis

Az ok és okozat időbeli sorrendje tehát akkor fordulna meg, ha létezne olyan hatás, amely a c fénysebességnél nagyobb sebességgel terjedne. A tapasztalat szerint a fénysebességnél nagyobb sebességgel terjedő hatás nem létezik a természetben, ezért fennáll az a filozófiai szempontból is megnyugtató tény, hogy az ok és okozat természetes időbeli sorrendje semmilyen megfigyelő számára nem fordul meg.

Gondoljunk el két eseményt, amelyek a K' rendszerben, az x' tengely ugyanazon pontjában játszódnak le , illetve időpontban. A két esemény között eltelt időt az pontban nyugvó helyi órán mérjük, ezért a különbséget az időtartam nyugalmi mérőszámának nevezzük. Az ponthoz (K'-höz) képest mozgó K rendszerben az első eseményt t₁ időpontban észleli az esemény helyén levő megfigyelő, a másodikat t₂-ben egy másik megfigyelő, aki éppen az esemény helyén van. (Azért másik órán történik a második esemény idejének a mérése, mert K mozog K'-höz képest.) A két esemény között eltelt időtartam ún. mozgási mérőszáma: . A Lorentz-transzformáció alapján összehasonlíthatjuk a két mérőszámot. (60,8) negyedik képletéből kapjuk, hogy

((61,9). egyenlet),

amiből következik:

Az időtartam mozgási mérőszáma tehát nagyobb a nyugalminál. Ezt szemléletesen úgy fejezhetjük ki, hogy a mozgó óra késik a nyugvóhoz képest.

A relativitás elve szerint ugyancsak a (61,10) összefüggést kapjuk, ha a K rendszer x₀ pontjában lejátszódó két esemény időtartamát (most ez a nyugalmi mérőszám) a K'-ben mért időtartammal hasonlítjuk össze. A (60,7) utolsó képlete alapján írható:

,

amiből következik:

Mivel most az időtartam nyugalmi, pedig a mozgási mérőszáma, a (61,11)-ből szintén a

összefüggés adódik. A K rendszer megfigyelője azt tapasztalja, hogy a K' rendszer órái késnek.

A (61,10) és a (61,12) összefüggés tehát ugyanazt a tényt fejezi ki; nevezetesen azt, hogy az időtartam is a vonatkoztatási rendszertől függő fogalom: a mozgási mérőszám a sebességtől függően nagyobb a nyugalmi mérőszámnál.

Az alkalmazásokban gyakran előfordul egy fontos mennyiség: a mozgó test ún. sajátideje. Ezt az időt a testtel együtt mozgó óra méri. Az inerciarendszerek t rendszeridejétől való megkülönböztetés céljából τ-val jelöljük. A test pillanatnyi sebessége legyen . Tekintsünk két pontszerű eseményt, amelyek időben egymáshoz végtelen közel játszódnak le. A testtel együtt mozgó óra a két esemény idejét τ-nak és -nak méri. A K inderciarendszerben mért megfelelő időpontok t, illetve . Mivel végtelen rövid időtartamról van szó, ezalatt a test mozgása egyenesvonalú egyenletes mozgásnak tekinthető, és így a dτ és dt időtartamokra érvényes a (61,12) összefüggés:

A dτ sajátidőtartam invariáns mennyiség, bármely inerciarendszerre vonatkoztatjuk is a test sebességét, mert dτ-t mindig a testtel együtt mozgó óra méri. Erről egyébként közvetlenül meggyőződhetünk, ha (61,13)-at négyzetre emeljük, és a következő alakba írjuk:

A test sebességének négyzete:

Ezt (61,14)-be beírva, kapjuk:

A jobb oldalon levő zárójeles kifejezés pedig invariáns a (60,7), (60,8) Lorentz-transzformációval szemben, amiről egyszerű számítással könnyen meggyőződhetünk.

Az időtartam relativitását kifejező (61,12) összefüggés helyességét szépen igazolja a müon élettartamára vonatkozó kísérleti érték. A müon jól ismert elemi részecske, amely a pí-mezon bomlásakor keletkezik:

.

(π a pí-mezont, μ a müont, pedig a mű-neutrinót jelzi.) A müon – mint általában az elemi részek legtöbbje – nem stabil részecske, hanem s idő elteltével elbomlik elektronra, anti-el-neutrinóra és mű-neutrinóra:²

A tapasztalat szerint a müon ezen rövid élettartama alatt 20–30 km utat megtesz. A kozmikus sugárzásból eredő müonok a sztratoszférában keletkeznek a Föld felett 20–30 km magasságban, és eljutnak a Föld felszínére, mielőtt elbomlanának. Egyszerű szorzással meggyőződhetünk arról, hogy ennyi idő alatt még akkor sem tudnák megtenni ezt a távolságot, ha fénysebességgel mozognának, valójában pedig ennél valamivel kisebb sebességgel mozognak. Ugyanis

A látszólagos ellentmondás magyarázata kézenfekvő: a s élettartam a müon nyugalmi élettartama. A laboratóriumi koordináta-rendszerhez képest a müon nagy sebességgel mozog, ezért (61,12) alapján élettartama ebben a rendszerben nem s, hanem

ahol a müon sebessége. Így az általa megtett út:

Mivel megközelíti a fénysebességet, a megtett l út valójában 20–30 km.

A jelenség értelmezhető a müonnal együtt mozgó koordináta-rendszerben is. Ekkor az l út rövidül meg -szeresére.

5. Sebesség-összetevés

Tekintsük ismét a K és K' két inerciarendszert, amelyek a közös x, x' tengely mentén mozognak egymáshoz képest sebességgel (70. ábra). Tegyük fel, hogy a K' rendszerben mozog egy tömegpont sebességgel. A pálya paraméteres egyenletrendszere:

((62,1). egyenlet)

70. ábra -

A sebességkomponensek:

A tömegpont mozgását a K rendszerben az

egyenletrendszer írja le. A K rendszerben mért sebességkomponensek:

A klasszikus mechanika szerint a tömegpont K-beli V sebessége a K'-ben mért V' sebességnek és a K' vonatkoztatási rendszer sebességének az összege:

((62,5). egyenlet),

amely komponensekkel felírva:

A relativitáselmélet szerint nem ilyen egyszerű a sebességek összeadása, mert a (62,5), illetve (62,6) képletek abban az esetben lennének érvényesek, ha az idő nem transzformálódna, amikor az egyik inerciarendszerről egy másikra áttérünk. Mivel a Lorentz-transzformáció szerint az idő is transzformálódik, a valóságban nem a (62,5), (62,6) képletek adják helyesen a sebesség-összetevés szabályát. Az érvényes képleteket a Lorentz-transzformáció felhasználásával kapjuk.

E célból képezzük a (60,8) transzformációs képletek differenciáljait:

((62,7). egyenlet)

Ezek, valamint (62,2) segítségével (62,4) a következőképpen írható:

((62,8). egyenlet)

Ezeket a képleteket Einstein-féle sebesség-összetevési képleteknek nevezzük. Látható, hogy (62,8) akkor egyezik meg a klasszikus (62,6) képletekkel, ha és kicsi a c fénysebességhez képest. Ebben a határesetben a , és a nevezők második tagja elhagyható az 1 mellett.

Az itt levezetett relativisztikus képletek helyességét bizonyítja a Fizeau-kísérlet. Fizeau megmérte a fénysebességet áramló vízben, és azt találta, hogy a fénysebesség az áramlás irányában:

,

ha u a fény sebessége a nyugvó vízben, a víz áramlási sebessége, a víz törésmutatója. Később Zeeman megismételte a kísérletet, és a Fizeau-féle eredményt kapta.

Mivel igen kicsi szám, kifejezése így írható jó közelítéssel:

Ez pedig megegyezik a Fizeau-kísérlet eredményével. A Fizeau-kísérlet tehát a relativisztikus sebesség-összetevés képletét igazolja.

A sebesség-összetevés (62,8) képletéből érdekes következmény adódik. Tegyük fel, hogy a K'-ben mért sebesség megegyezik a c fénysebességgel. Mivel ehhez hozzájárul a K' rendszer sebessége, logikusan azt várnánk, hogy a K-ban mért sebesség túllépi a fénysebességet. Ez ellentmondana annak a korábbi megállapításunknak, hogy a c fénysebesség határsebesség, és azt semmilyen sebesség nem lépi túl. A (62,8) első képletébe történő helyettesítés azonban meggyőz bennünket arról, hogy nem lép fel ilyen ellentmondás:

.

Az Einstein-féle sebesség-összetevési szabály tehát megegyezésben van azzal a kiindulásul szolgált feismeréssel, hogy a fény sebessége minden inerciarendszerben ugyanaz a c érték; az semmilyen sebesség-összetevéssel nem növelhető.

2. fejezet - A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR

1. A Minkowski-féle négydimenziós tér szerkezete

A relativitáselmélet további kifejtése szempontjából igen nagy jelentősége van a Minkowski által bevezetett négydimenziós térnek, az ún. négyes világnak.

Ha az x, y, z három koordinátához hozzávesszük a t időt mint negyedik változót, ezáltal egy négydimenziós sokaság keletkezik. A sokaságnak egy pontját négy szám – az x, y, z és t értékeinek – megadása határozza meg. Fizikai szempontból a sokaság pontjai események hely- és időadatait jellemzik. Egy tömegpont mozgását (62,3) szerint ilyen pontok egydimenziós egymásutánja, vagyis a négydimenziós sokaság egy vonala ábrázolja. E vonal a tömegpont világvonala. Az idővel kibővített négydimenziós sokaságot négydimenziós világnakvagy Minkowski-féle négydimenziós térnek nevezzük. Mivel a természetben végbemenő mozgások mindig a háromdimenziós térben és időben mennek végbe, a fizikai események színtere nem a háromdimenziós tér, hanem az idővel mint negyedik dimenzióval kibővített négyes világ.

A klasszikus fizikában az időnek kitüntetett szerepe van, nem transzformálódik, midőn egyik inerciarendszerről a másikra áttérünk. Ezért a klasszikus fizika a teret és az időt egymástól különválasztva tekintette. A relativitáselmélet az egyidejűség relativitásának felismerésével megszüntette az idő abszolút jelentését, és megállapította, hogy a háromdimenziós tér és az idő a fizikai események számára nem tekinthető külön, hanem együtt; hiszen mindegyik transzformálódik, egyik sem abszolút. A kettő egyesítésével létrejött négydimenziós világnak van abszolút jelentése.

A speciális relativitáselméletben az inerciarendszereknek alapvető szerepük van: a természettörvények az inerciarendszerekben érvényesek, és azok között egy sincs kitüntetve, a természetleírás szempontjából valamennyi egyenértékű. Az inerciarendszerek egymáshoz képest egyenes pályán és állandó sebességgel mozognak. Fizikai jellemzésükhöz a tér önmagában nem elegendő, azok térben és időben egyenletesen mozognak. A tér és az idő tehát már az alapvetésnél egybekapcsolva jelenik meg. A térnek és az időnek egybekapcsolása a fizika dinamikus, a mozgást természetes állapotnak tekintő jellegével függ össze, és merőben szemben áll a sztatikus ókori fizikával.

Az időnek mint negyedik dimenziónak a háromdimenziós térhez kapcsolása tehát nem formális, hanem mély fizikai tartalommal rendelkezik. A későbbiekben látni fogjuk, hogy éppen ez teszi lehetővé a tér és az idő közötti fizikai összefüggések pontos matematikai leírását.

A Minkowski-féle négyes világ geometriai szerkezetének a megismeréséhez első lépésként értelmeznünk kell a négydimenziós térre jellemző metrikát. Ezen olyan összefüggést értünk, amely meghatározza a tér két pontja: (x₁, y₁, z₁, t₁) és (x₂, y₂, z₂, t₂) közötti távolságot. A keresett összefüggés a háromdimenziós tér megfelelő képletének a relativitáselvből adódó általánosításával nyerhető. A klasszikus fizika háromdimenziós tere euklideszi, két pont távolságát a

képlet határozza meg. A d₁₂ hosszúságnak legfontosabb sajátsága az, hogy invariáns a koordináta-rendszer elforgatásával szemben.

A négydimenziós tér (x₁, y₁, z₁, t₁) és (x₂, y₂, z₂, t₂) pontjai közötti távolságot jelöljük s₁₂-vel. Kézenfekvő megkövetelnünk, hogy az képlete tartalmazza a (63,l)-ben fellépő tagokat és ezenkívül még egy tagot a negyedik dimenzióra vonatkozóan. Alapvető követelmény, hogy s₁₂ legyen invariáns a Lorentz-transzformációval szemben. E követelményeknek (60,7) szerint eleget tesz az

((63,2). egyenlet)

kifejezés. (63,2) helyett szokás az (x, y, z, t) és az (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) végtelen szomszédos pontok közötti távolságra vonatkozó

képletet használni, A (63,2), illetve (63,3) által definiált metrika jellemzi a speciális relativitáselmélet Minkowski-féle négyes terét.

A háromdimenziós euklideszi tér távolságnégyzetét előállító (63,1) kifejezéssel összehasonlítva, szembetűnő az utolsó tag előtti negatív előjel. A Minkowski-féle négydimenziós tér tehát nem euklideszi, hanem ún. pszeudo-euklideszi.

Az időkoordináta négyzete előtti negatív előjel miatt , illetve ds² nem pozitív definit, hanem lehet pozitív, negatív vagy zérus. Ennek megfelelően a Minkowski-féle négyes tér vektorait vagy elmozdulásait három csoportba lehet sorolni. A következőkben ezek tulajdonságait vizsgáljuk meg az infinitezimális négyes elmozdulás példáján.