| 6. Határozzuk meg gömb alakú homogén dipoleloszlás potenciálterét a gömbön kívüli térben. (P = áll. a gömbön belül, azon kívül pedig zérus.)
Megoldás:
A potenciált egy Q pontban a következő összefüggés adja (21,3):
.
A gömb belsejében P állandó vektor, tehát div P = 0, és így az első integrál eltűnik. A második integrálban Pn a P polarizációs vektor és a sugárirányú nr egységvektor skaláris szorzata: Pn = (P, nr). Tegyük koordináta-rendszerünk kezdőpontját a gömb középpontjába; z és x tengelyét pedig úgy, hogy a potenciálpont a z tengelyre essen, P pedig feküdjön az (xz) síkban (73. ábra). Ekkor
73. ábra -
A gömbfelületen futó Q' pont koordinátái:
és az nr egységvektor koordinátái a Q' pontban:
A QQ' távolság , ahol a a potenciálpont távolsága a gömb középpontjától. Ezzel:
A kialakult tér tehát olyan, mintha az összes dipólus a gömb középpontjában volna egyesítve.
7. Gondoljunk el R sugarú gömböt, amelyet polarizált anyag tölt ki. Feltételezzük, hogy a polarizáció sugárirányú és a rádiuszvektorral arányos, tehát , . Határozzuk meg az általa keltett elektrosztatikus teret a gömbön kívül.
Megoldás:
A potenciál a Q pontban:
,
.
A második integrál a gömb felületére terjesztendő ki. Ott pedig Pr = AR állandó, és a 74. ábra szerint:
.
74. ábra -
A térfogati integrálban
.
Így
,
.
A gömbön kívül tehát zérus a sztatikus tér potenciálja, és ennek megfelelően az elektromos térerősség is.
8. Kondenzátorlapok közötti teret az ábrán látható módon elválasztott és dielektromos állandójú szigetelők töltik ki. Határozzuk meg a kondenzátor kapacitását a szokásos elhanyagolásokkal (75. ábra).
75. ábra -
Megoldás:
Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját a 75. ábrán 1-gyel és 2-vel jelölt felületekre. Ha az F1 felületen levő töltésmennyiség e1, az F2-n levő e2, akkor a következő összefüggések adódnak:
.
.
Az I. Maxwell-egyenlet szerint azonban , így (belátható, ha a körintegrált a 3 jelű görbére képezzük). Ebből adódik, hogy
.
Így
;
.
A kondenzátor kapacitása tehát:
.
A két különböző dielektromos állandójú rész kapacitása tehát összegeződik.
9. Egy gömbkondenzátor fegyverzeteinek sugara R1, ill. R2. A gömbfelületek közti térrészt egy, a középponton áthaladó sík két félre osztja. Az egyik felét ε1, a másik felét ε2 dielektromos állandójú homogén közeg tölti ki (76. ábra). Határozzuk meg a kondenzátor kapacitását.
76. ábra -
Megoldás:
A belső gömb felületének egyik felén legyen e1, a másikon e2 töltés. A kettő összege az R1 sugarú gömbfelület töltését adja. A D vonalak a belső gömbfelületből sugárirányban indulnak ki. A II. Maxwell-egyenlet alapján:
;
továbbá
.
A két szigetelő határán Er1 = Er2, ezért
.
Ebből
,
.
A potenciálkülönbség:
A kondenzátor kapacitása:
,
ahol a kapacitás, ha a fegyverzetek között vákuum van.
10. Mutassuk meg, hogy egy töltött kondenzátor energiája . Számítsuk ki az energiaváltozást, ha a fegyverzetek közé homogén szigetelőt helyezünk úgy, hogy közben a) a töltés változatlan marad, b) a feszültség nem változik.
Megoldás:
A fegyverzetek felületi töltéssűrűsége:
.
A kondenzátor energiája:
.
|
