Elektrodinamika

Az E, H térerősségek komponenseit az F_ik antiszimmetrikus tenzor elemeihez rendeljük a következőképpen:

Ezek után írjuk fel a (68,1) egyenletcsoport négy egyenletét a (68,4) négyes vektorral és a (68,5) tenzorral. Kezdjük a (68,1) első egyenletével.

Ez az egyenlet (68,4) és (68,5) alapján így írható:

Itt figyelembe vettük a korábbi jelölésünket, miszerint x = x₁, y = x₂, z = x₃, ict = x₄. Az egyenlet bal oldalához hozzávehetjük a tagot, amely antiszimmetrikus tenzornál azonosan zérus. Így egyenletünk a következő alakot veszi fel:

A szokásos jelöléssel ez így írható:

A (68,1) egyenletcsoport második és harmadik egyenlete azonos szerkezetű az elsővel, ezért ennek mintájára írható:

Nézzük most (68,1) negyedik egyenletét:

Az egyenlet mindkét oldalát i-vel megszorozva, (68,5) alapján adódik:

A bal oldalhoz hozzávéve a tagot, amely zérus, ez a negyedik egyenlet is az első hárommal teljesen azonos szerkezetű lesz:

A (68,1) első Maxwell-egyenletcsoport tehát a következő négyes vektoregyenletbe foglalható össze:

(66,13) szerint ez valóban négyes vektoregyenlet, és azt jelenti, hogy az F_ik térerősségtenzor divergenciája az s_i négyes áramsűrűség 4π-szeresével egyenlő.

Hasonlóképpen írható át a (68,2) egyenletcsoport is. Ennek első egyenlete:

,

amely (68,5) segítségével a következő alakra hozható:

(–i)-vel szorozva és a második tagban a tenzor indexeit felcserélve, kapjuk, hogy

A (68,2) második egyenletcsoport többi három egyenletének átírása is ilyen szerkezetű egyenletre vezet. A második Maxwell-egyenletcsoport tehát a következő egyenletbe foglalható össze:

ahol i, k, l az 1, 2, 3, 4 számokból kiválasztott számhármas: 234, 341, 412 és 123. A (68,7) egyenletben a második tag úgy keletkezik az elsőből, hogy az i, k, l indexeket ciklikusan felcseréljük. Hasonlóan adódik a harmadik tag a másodikból.

Az elektrodinamika (68,1), (68,2) alapegyenleteit tehát sikerült négyes vektor-, illetve tenzoregyenletek alakjában felírnunk. Az előző pontban mondottak értelmében ez azt jelenti, hogy a Maxwell-egyenletek Lorentz-invariáns egyenletek, tehát egzakt természettörvényt fejeznek ki.

A 45. pontban láttuk, hogy az elektromágneses térerősségek az A vektorpotenciálból és a skalárpotenciálból származtathatók. Nevezetesen:

Mint ismeretes, ezek az összefüggések kielégítik a második Maxwell-egyenletcsoportot. A (68,1) egyenletek pedig az elektromágneses potenciálok meghatározására szolgálnak.

A (68,9) egyenletek a (68,8) összefüggésekkel együtt ekvivalensek a Maxwell-egyenletekkel.

Itt is áttérhetünk a négydimenziós írásmódra minden nehézség nélkül. Az A vektorpotenciált és a skalárpotenciált összefogjuk egy A_i négyes vektorba:

((68,10). egyenlet).

(68,8) első egyenletéből és (68,5)-ből következik:

amely a (68,10) jelöléssel így írható:

Hasonlóképpen adódik:

Továbbá (68,8) második egyenletéből (68,10) és (68,5) alapján adódik:

Hasonlóképpen kapjuk:

Ezek a képletek a következő tenzorösszefüggés alakjában foghatók össze:

Az F_ik elektromágneses térerősségtenzor tehát az A_i elektromágneses potenciál négyes rotációja.

Egyszerű számítással meggyőződhetünk róla, hogy (68,11) automatikusan kielégíti a (68,7) második Maxwell-egyenletcsoportot.

Ha (68,11)-et a (68,6) Maxwell-egyenletekbe helyettesítjük, az elektromágneses potenciálok (68,9) egyenleteinek négydimenziós alakját kapjuk:

Ez az egyenlet egyszerű átalakítással a következő alakot veszi fel:

Az F_ik elektromágneses térnek és az A_i elektromágneses potenciáloknak (68,11) szerinti egymáshoz rendelése nem egyértelmű. Ugyanis, ha az A_i-hez hozzáadjuk egy tetszőleges skalártér gradiensét, az így keletkezett

négyes vektor – mint elektromágneses potenciál – (68,11) alapján ugyanazt az F_ik elektromágneses teret adja, mint az A_i. Ez a körülmény lehetővé teszi, hogy az A_i potenciálra olyan megszorító feltételt írjunk elő, amely a konkrét feladat megoldását egyszerűvé teszi. (68,13)-ból következik, hogy erre a célra különösen alkalmas az ún. Lorentz-feltétel kikötése:

A (68,15) Lorentz-feltétellel a (68,13) alapegyenlet a következő egyszerű alakot veszi fel:

A (68,16) egyenlet és a (68,15) Lorentz-feltétel az elektromágneses potenciálok (68,9) egyenletének négyes vektorokkal felírt Lorentz-invariáns alakja.

A (68,16) egyenlet bal oldalát gyakran más alakban is írjuk. E célból bevezetjük a

ún. d’Alembert-operátort. Ezzel (68,16) így írható:

((68,16'). egyenlet).

Képezzük most a (68,13) egyenlet mindkét oldalának a divergenciáját:

A bal oldal azonosan zérus; ugyanis a és operátorok egymással felcserélhetők, és a második tagban az r index helyett használható az i is. Ennélfogva:

Ez az egyenlet a (68,3) kontinuitási egyenletet fejezi ki négydimenziós alakban. Írjuk ki az összeget részletesen, és vegyük figyelembe a (68,4), valamint az x = x₁, y = x₂, z = x₃, ict = x₄ jelöléseket:

–vel egyszerűsítve:

Ezzel beláttuk, hogy (68,7) valóban a kontinuitási egyenletet fejezi ki.

2. A térerősségek és az áramsűrűség transzformációs képletei

Foglalkozzunk előbb a térerősség-komponensek transzformációs képleteivel.

Az előző pontban láttuk, hogy a térerősség-komponensek (68,5) szerint az F_ik antiszimmetrikus tenzor elemeivel vannak kapcsolatban. Ennélfogva, ha a K inerciarendszerről egy másik K' inerciarendszerre térünk át, a térerősség-komponensek úgy transzformálódnak, mint a megfelelő tenzorkomponensek. (66,1) szerint:

((69,1). egyenlet),

ahol a_ir és a_ks a (64,5) mátrix elemei. Speciális Lorentz-transzformáció esetén a transzformációs mátrix elemeit (64,10) adja.

Nézzük először H_z transzformációját. H_z az F_ik tenzor F₁₂ elemével egyezik meg. (69,1) szerint:

((69,2). egyenlet).

(64,10) figyelembevételével ez a kettős összeg a következő kifejezésre egyszerűsödik:

A tenzorkomponensek helyére a térerősségek megfelelő komponenseit beírva, kapjuk, hogy

Hasonlóképpen határozhatjuk meg (69,1), (64,10) és (68,5) alapján a térerősségek többi komponensének transzformációs képleteit. Az egyszerű számítást mellőzve, csak a végeredményt közöljük:

Ha a K rendszerben ismerjük a térerősségeket, (69,5) alapján egyszerű számítással kapjuk a K' inerciarendszerben érvényes komponenseket. Az egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere például (69,5) szerint egyszerűen adódik a nyugvó töltés elektrosztatikus teréből (lásd a következő pontot).

Határozzuk meg ezután az áramsűrűség komponenseinek és a töltéssűrűségnek a transzformációját.

Mivel (68,4) szerint ezek egy négyes vektort alkotnak, Lorentz-transzformációkor a négyes vektorokra vonatkozó (65,1) képlet szerint transzformálódnak:

(69,6) és (64,10) alapján adódik:

Az áramsűrűség háromdimenziós komponenseit és a töltéssűrűséget (68,4) alapján beírva, kapjuk, hogy

Ezekben a képletekben a K' inerciarendszernek a K rendszerhez viszonyított sebessége.

Tekintsük most azt a speciális esetet, amikor a töltés a K rendszerben nyugszik. Ebben a rendszerben áram tehát nincs. A nyugvó töltés sűrűségét jelöljük -val.

A K' rendszerben a töltésrendszer – sebességgel mozog az x tengely mentén. (69,7) szerint:

A mozgó töltés sűrűsége tehát nagyobb a nyugalmi töltéssűrűségnél; az áramsűrűség pedig a töltésrendszer sebességének és az ún. „mozgási” töltéssűrűségnek a szorzata.

Az elektromos töltés sűrűségének nyugalmi és mozgási (elhagytuk a vesszős jelet) mérőszáma között (69,8) szerint a

((69,9). egyenlet)

összefüggés áll fenn. A 61. pontban megismertük, hogy a térfogat nyugalmi és mozgási mérőszáma sem egyezik meg, hanem közöttük a (61,4) összefüggés érvényes:

((69,10). egyenlet).

A (69,9) és a (69,10) összefüggés alapján könnyen belátható, hogy a V térfogatban sűrűséggel eloszlott e töltés a koordináta-rendszertől független, ún. Lorentz-invariáns mennyiség. E célból tételezzük fel, hogy a nyugvó töltés sűrűséggel tölti ki a V₀ térfogatot. A benne levő töltést az

integrál adja meg. A K' inerciarendszerben a töltésrendszer – sebességgel mozog, és a fentiek értelmében a kisebb V térfogatot sűrűséggel tölti ki. (69,9) és (69,10) alapján látható azonban, hogy a térfogat által bezárt töltés ugyanaz:

A térfogatelem mozgási mérőszáma ugyanolyan mértékben csökken, mint amilyen mértékben nő a töltéssűrűség mozgási mérőszáma a nyugalmihoz képest. Ennek következtében az elektromos töltés invariáns marad, midőn egyik inerciarendszerről egy másikra áttérünk.

3. Egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere

Gondoljunk el pontszerű e töltést, amely állandó sebességgel mozog inerciarendszerünk x tengelye mentén. A mozgó töltés áramot képvisel, ezért maga körül elektromos és mágneses teret kelt. Feladatul tűzzük az elektromos és a mágneses térerősség meghatározását. Mint korábban tanultuk, meg kell oldanunk az ismert mozgásállapotú töltés elektromágneses terét leíró Maxwell-egyenleteket. Sokkal egyszerűbben jutunk azonban a célhoz, ha az előző pontban megismert transzformációs képleteket használjuk. A nyugvó ponttöltés elektromos terét már ismerjük (lásd a 11. pontot), a keresett megoldást ebből egyszerű transzformációval kaphatjuk.

Tegyük fel, hogy az e pontszerű töltés a K' inerciarendszer origójában nyugszik. A K rendszerben ekkor valóban sebességgel mozog az x tengely mentén. A K' rendszerben a nyugvó ponttöltésnek csak elektrosztatikus tere van. A tér erőssége az x', y', z' koordinátájú pontban:

((70,1). egyenlet),

ahol