Elektrodinamika BSc
CI LaTeX
Elektrodinamika BSc
írta CI LaTeX
Publication date 2015
Szerzői jog © 2015 CI LaTeX
Tartalom
Elektrodinamika BSc 1
1. 1 A Maxwell-egyenletek 1
2. 2 Elektrosztatika 3
3. 3 Dielektrikumok 7
4. 4 Stacionárius áram 9
5. 5 Kvázistacionárius áram 15
6. 6 Energia, impulzus, impulzusmomentum 17
7. 7 Elektromágneses hullámok 19
8. 8 Retardált potenciálok, dipólsugárzás, fényszórás 26
9. 9 Geometriai optika 30
Elektrodinamika BSc
1. 1 A Maxwell-egyenletek
Az elektrodinamika törvényeit a Maxwell-egyenletek foglalják magukban. Felírjuk az egyenleteket két különböző formában. Az egyik:
A másik formában a harmadik és negyedik egyenlet változatlan, az első kettő a következő:
Az ismeretlenek az E elektromos térerősség, a B mágneses indukció vektor, ill. a D elektromos eltolás vektora és a H mágneses térerősség. Ismertnek tételezzük fel a térfogati töltéssűrűséget és a j térfogati áramsűrűséget. A baloldalon tetszőleges zárt görbére vagy zárt felületre vett integrálok, a jobb oldalon a zárt görbe által határolt felületre vagy a zárt felület által határolt térfogatra vett integrálok állnak. és  univerzális állandók. A későbbiekben használni fogjuk a  állandót is.
Az elektrodinamika tankönyvek, jegyzetek egyik része a Maxwell-egyenleteket az első, másik része a második módon vezeti be. Nagyon fontos tudni, hogy a kétféle felírásban és j nem ugyanazt jelenti. Az első felírás első két egyenletében ill. j minden lehetséges töltéssűrűséget ill. áramsűrűséget tartalmaz, a második felírásban az anyagokban megjelenő polarizációs töltéssűrűség, ill. polarizációs és mágneses áramsűrűség nem szerepel -ban ill. j-ben. Ezért utóbbiak pontos jelölése  ill.  , a valódi indexen azt kell érteni, hogy nem polarizációs töltésről, ill. nem polarizációs vagy mágneses áramról van szó. A valódi sűrűségeket általában jobban ismerjük, mint a nem valódiakat. A cél természetesen E ill. B meghatározása, ehhez tudnunk kell, hogy milyen kapcsolatban állnak D-vel ill. H-val. A kapcsolat anyagtól függően lehet egyszerű és nagyon bonyolult is. Mindezek a dielektrikumok, ill. a mágneses anyagok tárgyalásánál részletes kifejtésre kerülnek. Azt a nézőpontot fogadjuk el, hogy az elsődleges fizikai mennyiségek E és B, D-t és H-t abban a reményben vezetjük be, hogy a valódi sűrűségeket tartalmazó egyenleteket könnyebben meg tudjuk oldani.
Az SI-rendszerben az elektrodinamika alapmennyisége az áramerősség, definíciója a következő: két egyenes, egymással párhuzamos, végtelen hosszú, elhanyagolhatóan kis körkeresztmetszetű vákuumban lévő vezetőben, amelyek egymástól 1 méter távolságra vannak, akkor folyik 1A erősségű áram, ha méterenként  N erő hat rájuk. A többi mennyiség egységeit az elektrodinamika törvényeiből származtatjuk, a töltését például a  , az elektromos térerősségét az  egyenlőségből. A mágneses indukció vektor definíciója kissé bonyolultabb. 1 T(tesla) a mágneses indukció, ha 1 m területű, 1 A erősségű áramhurokra gyakorolt maximális forgatónyomaték 1 Nm. A definíció alapjául szolgáló törvény természetesen csak kisméretű áramhurokra érvényes jó közelítéssel, a hivatalos mértékegységek helyett mondhatnánk pl. 10 m területet és 10 Nm forgatónyomatékot. A definíciókhoz felhasznált törvényeket a Maxwell-egyenletekből le lehet vezetni.
Mit fejeznek ki a Maxwell-egyenletek? Az (1) egyenlet szerint az áram és az időben változó elektromos tér mágneses teret kelt,  áram dimenziójú mennyiség. A (2) egyenlet azt állítja, hogy az elektromos tér forrásai a töltések. A (3) egyenlet szerint az időben változó mágneses tér elektromos teret kelt. A (4) egyenlet azt a kísérleti tényt fejezi ki, hogy mágneses töltés (monopólus) nem létezik. (Hasonlítsuk össze (4)-et (2)-vel!)
Az integrális Maxwell-egyenletek a tetszőleges térfogatra és az azt határoló zárt felületre érvényes  Gauss-tétel és a tetszőleges felületre és az azt határoló zárt görbére érvényes  Stokes-tétel segítségével differenciális alakra hozhatóak. Ezek a következőek:
A differenciálegyenletek térrészenként érvényesek, a térrészek határain határfeltételek állnak fenn. Az integrális egyenletekből levezethető határfeltételek a következőek:
1)  , az elektromos térerősség felületre merőleges, normális komponense a két térrészt elválasztó felületen ugrik, az ugrás nagysága az felületi töltéssűrűséggel arányos.
2)  , az elektromos térerősség felülettel párhuzamos, tangenciális komponense (egy kétkomponensű vektor) a két térrészt elválasztó felületen folytonosan megy át.
3)  , a mágneses indukció vektor normális komponense a két térrészt elválasztó felületen folytonosan megy át.
4)  , a mágneses indukció vektor tangenciális komponense (ez ad járulékot a vektoriális szorzáshoz) a két térrészt elválasztó felületen ugrik, az ugrás nagysága az i felületi áramsűrűséggel arányos, n a felület 1-es térrészből 2-es térrészbe mutató normálisa.
Az (5) egyenlet divergenciáját az (6) egyenlet időszerinti parciális deriváltjával összehasonlítva adódik a  kontinuitási egyenlet, ami (a hidrodinamikai anyagmegmaradáshoz hasonlóan) az elektromos töltés megmaradását fejezi ki. Az egyenletet tetszőleges térfogatra integrálva a Gauss-tétel felhasználásával kaphatjuk a
 egyenletet. Eszerint egy tetszőleges térfogatban az elektromos töltés csak azért változhat időben mert a térfogat határfelületén töltés áramolhat ki és be. A Maxwell-egyenletek tehát implicit módon tartalmazzák a töltés megmaradását, és így a világegyetem össztöltése állandó.
A j áramsűrűség két részre osztható,  , az első a vezetőben folyó, vezetési (konduktív) áramsűrűség, a második a szabadon mozgó töltések konvektív áramsűrűsége,  , a töltéssűrűség, v a töltés(ek) sebessége.
Az Ohm-törvényt a Maxwell-egyenletek nem tartalmazzák. Kapcsolatot teremt a vezetőben folyó áram sűrűsége és az elektromos térerősség között. A tapasztalat szerint az áramerősség,  , ahol  a potenciálkülönbség az hosszúságú, (állandó) keresztmetszetű vezetődarab végei között, a vezető anyagi minőségére jellemző arányossági tényező,  a vezetődarab ellenállása. Az áramsűrűség nagysága,  az  0 határátmenetben  -hez tart, és mivel az áram iránya a pozitív töltés mozgásiránya, ezért  a differenciális Ohm-törvény. Itt j mindenhol a vezetési áram sűrűsége.
|
