| 32. Határozzuk meg egyenletesen mozgó elektromos dipólus terét.
Megoldás:
Legyen a nyugvó koordináta-rendszerben a dipolmomentum p. Mozogjon a dipólus az x tengely mentén v sebességgel. A dipólussal együtt mozgó vesszős koordináta-rendszerben a négyes potenciál:
.
A potenciálok transzformációs képlete:
.
Itt
.
Az -ket beírva, adódik:
.
A dipólushoz rögzített vesszős koordinátákról áttérünk laboratóriumi koordináta-rendszerre:
.
Vezessük be a következő hármas vektorokat:
.
Ezzel
.
Ebből a térerősségeket a következő összefüggések segítségével kaphatjuk:
;
a gradienst és rotációt az x, y, z változók szerint kell képezni.
;
;
;
.
A potenciál x és t szerinti deriváltja így foglalható össze:
,
amiből vektor alakban:
.
A mágneses térerősség:
.
Az első tag 0, a második tagban pedig:
,
és miatt írhatjuk:
.
33. A relativisztikus mozgásegyenlet alapján határozzuk meg egy tömegpont mozgását állandó erő hatása alatt. Mutassuk meg, hogy a tömegpont sebessége véges időtartam alatt nem érheti el a vákuumbeli fénysebességet.
Megoldás:
A mozgásegyenlet
.
Ebből integrálással kapjuk:
.
Az A integrációs állandó értéke zérus, ha t = 0-kor . Vegyük ezt az esetet: A = 0. Egyenletünkből adódik:
,
.
Ha , akkor sorba fejtéssel a klasszikus mechanika eredményét kapjuk:
.
A sebesség kifejezése a következőképpen is írható:
.
Ebből látszik, hogy , ha .
34. A tapasztalat szerint egy foton elektron-pozitron párrá alakulhat. Mutassuk meg az energia- és impulzusegyenlet alapján, hogy a párkeltéshez még egy további részecske jelenléte szükséges.
Megoldás:
Ha más részecskét egyelőre nem tételezünk fel, akkor a foton energiája fedezi a keletkezett elektron-pozitron pár nyugalmi és kinetikai energiáját. Az energiaegyenlet:
.
Az impulzusegyenletnek a foton mozgásirányába eső és arra merőleges komponense (89. ábra):
,
.
89. ábra -
Az energiaegyenletet c-vel osztva és az első impulzusegyenlettel összehasonlítva, látható, hogy a két egyenlet egyszerre csak a
feltételek teljesülése esetén állhat fenn. Ezek pedig nem érvényesek a c határjellege miatt. A foton impulzusát az elektron-pozitron pár egyedül nem tudja felvenni; szükség van egy újabb részecskére vagy atommagra, amely felveszi a felesleges impulzust.
35. Határozzuk meg elektromosan töltött pontszerű részecske relativisztikus mozgását
a) homogén elektrosztatikus térben,
b) homogén magnetosztatikus térben.
Megoldás:
a) Az elektromos tér legyen x irányú. A részecske mozgása síkmozgás; a pályasík legyen az xy sík. A relativisztikus mozgásegyenletek ebben az esetben:
.
Ebből
.
Ha t = 0-kor Px = 0, akkor c1 = 0, c2 = p0. A részecske sebessége:
,
ahol E a teljes energiája:
,
ahol a részecske energiája a t = 0 időpillanatban. A sebesség x komponense:
,
amiből integrálással adódik:
.
(Az integrációs állandót zérusnak vettük.) y-t a
egyenletből kapjuk:
.
A pálya egyenletét a t paraméter kiküszöbölésével kapjuk:
.
A töltött részecske homogén elektrosztatikus térben tehát láncgörbén mozog.
A nem relativisztikus határesetben: ; ;
.
Ez parabola egyenlete.
| 