2.2-§ Grin formulasi.
Faraz qilaylik yakkalangan uchlarga ega bo’lmagan lokal finit vaznli graf, esa dagi vazinli Laplas operatori bo’lsin.
ni ga akslantiruvchi va ixtiyoriy ikkita uchlarga
kabi aniqlangan ayirmali operatorni qaraymiz.
Laplas operatoriva ayirmali operator o’zaro quyidagi
munosabat bilan bog'langan.
Haqiqtan ham, bu yerda tenglikningo’ng tomoni quyidagiga teng.
Laplas operatorini o’rganishda quyidagi teorema muhim o’rin egallaydi. ning ixtiyoriy qisim to’plami uchun orqali ning to’ldirmasi belgilaymiz, ya’ni
2.1 – teorema . (Grin formulasi )Faraz qilaylik, - yakkalangan nuqtalarga ega bo’lmagan lokal finit vaznli graf, esa ning bo’sh bo’lmagan chekli qism to’plami bo’lsin. U holda dagi ixtiyoriy ikkita funksiyalar uchun
formula o’rinlidir.
(2.3) formula quyidagi
Bo’laklab integrallash formulasining analogidir, bu yerda va lar da aniqlangan yetarlicha silliq funksiyalar. Xuddi shunga o’xshash formula dagi chegaralangan soxadagi differensial Laplas operatori uchun ham o’rinlidir.
Agar chekli va bo’lsa u holda bo’sh to’plam bo’lib, (2.3) dagi oxirgi had nolga teng bo’lib,
ni hosil qilamiz.
Isboti. Quyidagi munosabatlar o’rinli:
bu yerda oxirgi qatordagi yig’indida va o’zgaruvchilarni o’rnini almashtirdik. Oxirgi ikki qatorni qo’shib, so’ngra ikkiga bo’lish hisobiga quyidagini hosil qilamiz:
Shuni isbot qilish talab qilingan edi.
|
