| 2.3-§Laplas operatorining xos qiymatlari
Faraz qilaylik, - chekli bo’g’langan vaznli graf bo’lib, bo’lsin.
orqali da aniqlangan barcha haqiqiy qiymatli funksiyalar to’plamini belgilaymiz.
U holda to’plam o’lchamli haqiqiy chiziqli fazo bo’ladi. Shu sababli Laplas operatori o’lchamli chiziqli fazodagi chiziqli operator bo’ladi. Biz bu operatorning spektral xossalarini o’rganamiz.
Chiziqli algebra kursidan ba’zi ma’lumotlarni ko’rsatib o’tamiz.operator o’lchamli haqiqiy chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli operator bo’lsin. Agar biror soni uchun shunday vektor topilib, tenglik bajarilsa, soniga operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas vektorga ega xos qiymatga mos keluvchi xos vektor deyiladi. Umumiy holda, agar kompleks chiziqli fazo bo’lsa, kompleks xos qiymatlar paydo bo’lishi mumkin. operatorning barcha kompleks xos qiymatlariga bu operatorning spektri deyiladi va kabi belgilanadi.
operatorning barcha xos qiymatlari
Xarakteristik tenglamadan topish mumkin. Bu yerda operator dagi istalgan bazisda matritsa ko’rinishida tasvirlanishi mumkin.
Shuning uchun bu ning – darajali ko’phadi bo’ladi. Bu ko’phad karraliklari bilan hisoblaganda ta kompleks nolga ega. Shunday qilib, umumiy holda operatorning spektori ta kompleks xos qiymatlardan tashkil topgan bo’ladi.
Agar qaralayotgan chiziqli fazo grafda aniqlangan funksiyalar fazasi bo’lgan ga teng bo’lsa, u holda xos vektorlar xos funksiyalar deb ham yuritiladi. Sodda vaznga ega bo’lgan chekli grafda aniqlangan operator xos qiymatlarini aniq hisoblashga doir misollar qaraymiz. Bu holda
tenglikka ega bo’lamiz.
1-misol. to’plam {1,2}ikkita uchdan iborat bo’lsin. U holda
Shu sababli tenglama
kabi yoziladi. Demak uchun ekan.
bo’lganligi uchun tenglamani hosil qilamiz.Bu tenglama va kabi nollarga ega, va bu sonlar operatorning xos qiymatlaridir. Qo’shimcha ravishda funksiyani ustun –vektor sifatida qarab operatorning ta’sir formulasini matritsaga ko’paytirish operatori sifatida tasvirlash mumkin:
Shunday qilib, operatorning xos qiymatlari
Matritsaning xos qiymatlari bilan ustma-ust tushadi. Uning xarekteristik tenglamasi bo’lib,biz yana va xos qiymatlarni hosil qilamiz.
2-misol. vabo’lsin. U holda
Tengliklar o’rinli bo’lib, operatorning matritsasi
ko’rinishda bo’ladi. Uning xarakteristik ko’phadi- ga, xos qiymatlari esa ga tengdir. Xaqiqatan ham
;
Endi umumiy nazariyaga qaytamiz va ni skalyar ko’paytma kritilgan fazo , ya’ni Yevklid fazosi bo’lsin deb faraz qilamiz. Bunda skalyar ko’paytma barcha lar uchun aniqlangan bo’lib, u bichiziqli, simmetrik va musbat aniqlangan dagi funksiyadir. Agar barcha lar uchun tenglik bajarilsa operator bu skalyar ko’paytmaga nisbatan simmetrik (yoki o’z- o’ziga qo’shni) deyiladi. Quyidagi teorema simmetrik operatorlar haqidagi chiziqli algebraning asosiy natijalaridan biridir.
Teorema. faraz qilaylik operator o’lchamli haqiqiy Yevklid fazosi bo’lsin
operatorning barcha xos qiymatlari xaqiqiydir. Shu sababli operatorning barcha xos qiymatlarini karraligini xisobga olgan holda o’sish tartibida kabi nomerlash mumkin.
(Simmetrik operatorni diagonallashtirish) da shunday ortonormal bazis mavjud bo’lib, har bir element operatorning xos qiymatiga mos xos vektor bo’ladi, ya’ni Bu esa operator ba’zisda dioganal matritsa bo’lishiga ekvivalentligini bildiradi;
(Variatsion prinsip). belgilash kiritamiz, bu yerda dagi skalyar ko’paytmani bildiradi. da aniqlangan funksiyaga operatorning Relix bo’linmasi deyiladi. Barcha lar uchun quyidagi ayniyatlar o’rinli:
Bunda deganda va ning ortogonalligi, ya’ni nazarda tutilmoqda. Xususan,
Agar vaktorlar ketma-ketligi uchun
Shart bajarilsa {} ga ortonormal ketma-ketlik deyiladi .
Teoremaning tasdig’ida istalgan xos qiymatning algebraik karraligi, ya’ni xarakteristik ko’phad ildizining karraligi, uning giometrik karraligi , ya’ni xos qiymatga mos keluvchi chiziqli bog’lanmagan xos vektorlarning maksimal soni ustma- ust tushadi. Agar xos qiymat 1 karrali bo’lsa, unga sodda xos qiymat deyiladi. Bir tomondan bu xos qiymat ga bir marta ishtirok etadi, ikkinchi tomondan tenglama o’zgarmas son aniqligida bitta nolmas yechimga ega. Biz bu teoremani ga aniqlanga haqiqiy qiymatli funksiyalarning chiziqli fazosida aniqlangan Laplas operatori uchun qo’llaymiz. ning xos vektorlari xos funksiyalar deb ham yuritiladi. da quyidagi skalyar ko’paytmani qaraymiz: istalgan ikkita funksiyalar uchun
Belgilash olamiz, buni funksiyaning dagi o’lchov bo’yicha integrali deb qarash mumkin. Skalyar ko’paytmaning barcha shartlari bajarilishini osongina tekshirish mumkin: bichiziqli , simmetrik va musbat aniqlangandir, ya’ni barcha larda o’rinlidir.
Lemma 2.2 operator yuqorida kiritilgan skalyar ko’paytmaga nisbattan simmetrik operator bo’ladi, ya’ni barcha lar uchun
tenglik o’rinli.
Isboti. Haqiqatan ham (2.2) Grin formulasiga muvofiq
ga ega bo’lamiz va oxirgi ifoda ga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun ga teng bo’ladi.
Navbatdagi teoremada operatorning spektori haqida yanada batafsilroq ma’lumot beramiz. Musbat aniqlangan Laplasion deb ataluvchi operator bilan ishlash qulaydir. Ta’rifga ko’ra
tenglik o’rinlidir va Grin formulasiga ko’ra operatorning Rilex bo’linma funksiyasi uchun
formula o’rinlidir.
Agar to’plam ikkita bo’sh bo’lmagan kesishmaydigan bo’laklarga bo’lingan bo’lib, va ga tegishli bo’lmaganda bo’lsa, graf ikkita qismdan iborat deyiladi. Ranglar tilida buni quyidagicha aytish mumkin: Agar ning uchlari ikkita rang bilan berilgan bo’lsa, masalan oq va qora rangda, holda ga ikki qismdan iborat deyiladi. Bunga bir xil rangdagi uchlar bog’lanmagan (tutashtirilmagan ) bo’ladi.
Misollar: Quyidagi ikki qismdan iborat graflarga bir nechta misollar keltirilgan.
butun sonlar to’plamini – barcha toq butun sonlar va barcha juft butun sonlar to’plamiga ajratsak, ikki qismdan iborat graf bo’ladi.
ning quyidagi bo’linishini qaraymiz: to’plam shunday lardan tashkil topganki, toq sondir. juft son bo’ladigan lar to’plamini deb belgilaymiz. U holda garf ikki qismdan iborat bo’ladi.
Agar juft bo’lsa sikl ikki qismdan iborat bo’ladi.
To’la ikki qismdan iborat graf yana ikki qismdan iboratdir.
binarkub quyidagi bo’linishga nisbatan ikki qismdan iborat bo’ladi: toq son bo’lgan barcha nuqtalar to’plamini bilan yig’indi juft son bo’ladigan barcha nuqtalar to’plamini bilan belgilaymiz.
2.3 – teorema. #>1 bo’lgan istalgan chekli, bog’langan, vaznli graf uchun quyidagi tasdiqlar o’rinlidir:
a) Nol soni operatorning soda xos qiymati bo’ladi;
b) operatorning barcha xos qiymatlari kesmada yotadi;
c) Agar ikki qismdan iborat bo’lmasa, u holda operatorning barcha xos qiymatlari [0,2) da yotadi.
Isboti. a) bo’lganligi uchun o’zgarmas funksiya 0 xos qiymatga mos xos funksiya bo’ladi. 0 ga mos xos funksiyani deb olib, ekanligini isbotlaymiz. Bu esa o’z navbatida 0 soni operator uchun sodda xos qiymat bo’lishini ta’minlaydi.
Agar bo’lsa u holda (2.3) formulada deb olib
ni hosil qilamiz. Xususiy holda ixtiyoriy ikkita qo’shni uchlar uchun tanglik o’rinlidir. Agar istalgan ikki uchlar bu yerda o’tish orqali bog’langan bo’lib va bo’lsa graf bog’langan deyiladi. Bu barcha lar uchun o’rinli ekanligidan ni hosil qilamiz.
Buni maksimum prinsipidan foydalanib ham isbotlash mumkin. Haqiqatan ham ,nuqtani tanlab , to’plamni qaraymiz. Bu to’plam chekli va funksiya garmonik bo’lgani uchun
tengsizliklar o’rinlidir. Shu sababli
bo’ladi. Bundan esa bo’lishi kelib chiqadi.
b ) soni L operator uchun xos qiymat , esa unga mos xos funksiya bo’lsin. va (2.3) dan foydalanib
ni hosil qilamiz.(2.4) ga ko’ra .Mazkur
Elementar tengsizlikdan foydalansak,
ekanliga kelib chiqadi. (2.5) ga ko’ra bo’ladi.
c) endisoni xos qiymat bo’la olmasligini isbotlaymiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni soni xos qiymat bo’lib, unga unga mos xos funksiya bo’lsin. ning ikki qismdan iborat ekanligini isbotlaymiz. bo’lganligi uchun (2.5) dagi barcha tengsizliklar tanglikka aylanadi. Xususiy holda barcha larda
tengliko’rinli bo’lib ekanligiga ekvivalentdir.
Agar biror uchun bo’lsa ,u holda ga qo’shni barcha larda bo’ladi. Graf bog’langan bo’lganligi uchun ekanligini hosil qilamiz, bu esa ning xos funksiya ekanligiga ziddir. Demak, barcha lar uchun ekan. U holda ni ikkita o’zaro kesishmadigan to’plamlar birlashmasi kabi yozish mumkin.
Yuqorida keltirilgan muloxazalarga ko’ra, agar bo’lsa u holda ga qo’shni nuqtalarning barchasiga yotadi. Xuddi shuningdek, matritsa tasdiqi ham o’rinlidir. Demak, ikkiqismdan iborat ekan. Bu esa teorema isbotini yakunlaydi.
Shu sababli, operatorning barcha xos qiymatlarini o’sish tartibida quyidagicha tasvirlash mumkin.
Ta’kidlab o’tamizki eng kichik xos qiymat bilan belgilangan. Bundan tashqari, tengsizlik hamisha o’rinlidir. Graf ikki qismdan iborat bo’lmasa, u holda tengsizlik o’rinli.
|
