2-asosiy savol bayoni:
Ulchovi E to’plamda aniqlangan o’lchovli va chegaralangan funktsiyalar ketma-ketligi berilgan bo’lib, bu ketma-ketlik o’lchovli F(x) funktsiyaga E to’plamning xar bir nuqtasida E deyarli yoki o’lchov bo’yicha yaqinlashuvi bo’lsin. U xolda (1)
munosabat doimo o’rinlimi degan savol tugiladi. Bu munosabatning umuman aytganda, doimo o’rinli emasligini quyidagi misoldan ko’rish mumkin . Masalan funktsiya segmentda quyidagicha aniqlangan bo’lsin:
u xolda xar qanday uchun ushbu tenglik
o’rinlidir. Lekin ya’ni(1) munosabat bajarilmas ekan.
Endi, funktsiyalar ketma-ketligi qanday shartlarni qanoatlantirganda (1) munosabat o’rinli bo’ladi degan savol tugiladi. Bu savolga Lebegning quyidagi teoremasi javob beradi:
Teorema: (A.Lebeg)o’lchovli E to’plamda o’lchovli va chegaralangan funktsiya ketma-ketlik berilgan bo’lib, bu ketma-ketlik o’lchovli F(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashuvchi bo’lsin. Agar E to’plamning barcha elementlari uchun va xar qanday n natural son uchun ushbu tengsizlikni qanoatlantiradigan Kson mmavjud bo’lsa u xolda bunday funktsiyalar ketma-ketligi uchun (1) munosabat o’rinli .
Isbot. Dastlabki E to’plamda ushbu tengsizlik deyarli bajarilishini ko’rsatamiz. Darxaqiqat, ketma-ketlikdan Ris teoremasiga ko’ra shunday qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin, u funktsiyaga deyarli yaqinlashadi .
Endi
Tengsizlikdan limitga o’tilsa (2) munosabat kelib chiqadi. Ixtiyoriy son uchun
To’plamlarni tuzamiz. U xolda,
Muxokama uchun savollar:
2.1. Nima uchun inegral ostidan xama vaqt limitga o’tib bo’lmaydi?
2.2. Qanday shartda integral osti limitga o’tish mumkin.?
3-savol bo’yicha dars maqsadi:
Riman va Lebeg integrallarini solishtirishni tushuntirish
Identiv o’quv maqsadi:
1. Riman va Lebeg integrallarining mavjudlik shartini aniqlay oladi.
2. Riman va Lebeg integrallarini bir-biri bilan solishtira oladi.
3- savol bayoni
TA’RIF. Agar bir o’lchovli E to’plamda berilgan funktsiyaning uzilish nuqtalaridan iborat to’plamning nuqtalari nol bo’lsa, u holda funktsiya E to’plamda deyarli uzluksiz funktsiya deyiladi.
TEOREMA. (A.Lebeg). segmentda funktsiyaning Riman integrali mavjud bo’lishi uchun uning bu segmentda chegaralangan va deyarli uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.
ISBOT. Zarurligi. Funktsiya segmentda integrallanuvchi bo’lishi uchun avvalo chegaralangan bo’lishi kerakligi Riman integralining ta’rifidan bevosita ko’rinadi.
Chegaralangan funktsiyaning segmentdagi uzilish nuqtalaridan iborat bo’lgan to’plamni+bilan belgilaymiz. Endi bilan funktsiyaning x nuqtada tebranishini belgilab, to’plamni ko’ramiz. Har bir uzilish nuqta to’plamlarning biriga albatta kiradi va, aksincha, shuning uchun
(1)
Endi to’plamning yopiqligini ko’rsatamiz. Darhaqiqat, agar nuqta to’plam uchun limit nuqta bo’lsa, u holda ni o’z ichiga olgan har qanday oraliq to’plamning kamida bitta nuqtasini o’z ichiga oladi, demak, bu oraliqda funktsiyaning tebranishi dan kichik bo’lmaydi. Demak, yopiq to’plam va shuning uchun u o’lchovli. (1) tenglikdan o’lchovli to’plamlar haqidagi teoremaga asosan to’plamning ham o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. deb faraz qilamiz, u holda to’plamlar orasida shunday to’plam topiladiki, uning uchun ushbu munosabat bajariladi: (2)
Darhaqiqat, agar bo’lganda edi, u holda
(3) bo’lar edi, chunki (3) munosabat farazimizga zid, shuning uchun (2) munosabat o’rinli.
Endi segmentni n ta segmentga bo’lib, ushbu (4)
yig’indini tuzamiz, bu erda oraliqni funktsiyaning segmentidagi tebranishi belgilandi. Bu yig’indi to’plamning birorta ham nuqtasini o’z ichiga olmagan. segmentlarga mos hadlarni chiqarib tashlaymiz. to’plam bo’sh bo’lmaganligi uchun (chunki ), (4) yig’indining hamma hadlari chiqib ketmaydi. Demak, ushbu
(5)
tengsizlik o’rinli bo’ladi, bu erda oraliq chiqarilib tashlash natijasida qolgan segmentlarga tegishli hadlar yig’indisi belgilanadi. Ammo
chunki ga kirgan hadlarga tegishli segmentlar sistemasi to’plamni butunlay o’z ichiga oladi. Shuning uchun (5) tengsizlikdan ushbu
tengsizlik kelib chiqadi, bundan esa
munosabat, ya’ni funktsiyaning segmentda Riman integrali mavjud ekanligi kelib chiqadi.
Demak, agar segmentda chegaralangan funktsiya bo’lsa, u holda Ushbu funktsiya Riman ma’nosida integrallanuvchi emas ekan. Shunday qilib, funktsiya integrallanuvchi bo’lishi uchun uning segmentda chegaralangan va deyarli uzluksiz bo’lishi zarur ekan.
Muxokama uchun savollar.
3.1. Riman va Lebeg integrallari farqi nima?
3.2. Biridan ikkinchisini keltirib chiqarish mumkinmi? Aniqlashtiring.
3.3 Xamma haqiqiy o’q bo’ylab olingan Riman va Lebeg integrallarini solishtiring.
4 - savol bo’yicha dars maqsadi:
1. Lp- sinfda Gelder va Minkovskiy tengsizliklarini o’rganish.
Identiv o’quv maqsadi:
1. Gelder tengsizligini tushintira oladi.
2. Minkovskiy tengsizligini tushintira oladi.
4 - savol bayoni
Tarif. Funnktsiyalarning Lp(X, ) ( 0) sinfi deb ,ushbu
integrali mavjud bulgan barcha ulchov li funktsiyalar tuplamiga aytiladi.
Aytaylik, X tuplamning ulchovi chekli bulsin, u xolda X tuplamda ulchovli bulgan xar kanday funktsiya uchun
tenksizlik urinli bulgani uchun munosabat kelib chikadi. Ammo buning aksinchasi urinli emas. bunga misol keltirish uchun X tuplamni segmentdan iborat deb, ulchovni esa segmentdan iborat deb, ulchovni esa bu segmentdagi Lebeg ulchovi deb olamiz. Agar bulsa, u xolda , ammo . Sunggi munosabat munosabat urinli emas. Xakikatan, agar Xni barcha xakikiy sonlar tuplami deb (yani oralik.) ulchovni esa Lebeg ulchovi deb olsak, u xolda funktsiya sinfining elementi bulmaydt. Chunki bu funktsiya orlikda jamlanuvchi emas.
Teorema (Gelder tengsizligi). Agar bulib, bulsa u xolda va munosabatlari urinli buladi.
Teorema. (Minkovskiy va Koshi tenksizliklari). Agar va funktsiyalari sinfga kirsa, u xolda va tenksizlik urinli buladi.
Muxokama uchun savollar:
4.1. Funktsiyani Lp- sinifi nimalardan iborat?
4.2. Gelder tengsizligining mohiyati nimada?
4.3. Minkovskiy tengsizligining moxiyati nimada?
Mavzuga oid ilmiy muammo:
Agar funktsiya fazoda yotsa, u holda bunday funktsiya fazoda ham yotadi. Lekin buning teskarisi o’rinli emas. Shu nuqtai nazardan fazoda yotuvchi funktsiyalar qanday holatlarda fazoda yotish masalasi muammodan iboratdir. Bu muammoni yanada kengaytirib funktsiyalarni n o’lchamli fazoda qarash nazarda tutiladi.
Bu muammolar fanda hali to’la echilmagan.
|
