O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH
VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
SAMARQAND FILIALI
“KIS” FAKULTETI
4-KURS KIS 20-04 GURUH TALABASINING
“Tizimlar va signallarni qayta”
FANIDAN TAYYORLAGAN
1,2,3-Amaliy ish
Bajardi: ABSODIQOV SHERALI
Qabul qildi: JUMABOYEV T. A.
SAMARQAND-2024
SIGNALLARNI RAQAMLI FILTRLASH
3.1. Signallarni shovqinlardan tozalash vazifalari
Filtrlash – bu statsionar xalaqitlar (shovqin) fonida foydali signalni ajratib olish jarayonidir. Raqamli filtr – bu kompyuter ilovasi yoki alohida hisoblash qurilmasi bo‘lishi mumkin. Matematik nuqtai nazaridan, filtrlash – bu asosan, impuls xususiyatiga ega signalning svyortkalash jarayonidir, bu yerda impuls xususiyati rolini filtr koeffitsiyentlari h(k) bajaradi (3.1-rasm). X(n) signalining qiymatlari raqamli filtrning kirish qismiga ketma-ket kirib keladi, filtrlangandan so‘ng silliqlangan signal Y(n) filtr chiqishida paydo bo‘ladi [2, 3, 9].
Ха) Raqamli "Ум filtr
19 Xa)
3.1-rasm. Raqamli filtr elementlari
Eng oddiy filtr turi – bu sirpanuvchi o‘rtacha filtr hisoblanadi. Sirpanuvchi o‘rtacha filtrda amalga oshiriladigan hisob-kitoblarni ko‘rib chiqamiz.
Raqamli filtrning kirish signali – bu kiruvchi analog signalni diskretlash va kvantlash natijasida hosil bo‘ladigan raqamli qiymatlar ketma-ketligidir (3.2-rasm).
43
Ха) Хат) Ха); Хаз)
10) 540). Ee o 53)
"Уб)
3.2 – rasm. 4 nuqtali harakatlanuvchi o‘rtacha filtr diagrammasi
Kechikish elementi Z-1 diskretlashning bir davriga to‘g‘ri keladigan (birlik kechikishi) vaqtinchalik kechiktirish. Shuning uchun har bir kechiktirish elementi Z-1 qiymatlarni diskretlashning bir davri bilan kechiktiradi. Hisoblash formulasi quyidagicha (3.1):
𝑌(𝑛) = ∑[ℎ(𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘)] (3.1)
Bu holda filtr koeffitsiyentlari h(k) doimiy (bular filtr og‘irliklari) va ¼ ga
teng. Har bir kechikish elementining chiqishi burilish deb nomlanadi. Burilishlardan olingan qiymatlar ko‘paytirish sxemalariga beriladi, ular kechiktirilgan qiymatlarning miqdorini kerakliqiymatlargaqadaro‘lchaydilar, ya’niqiymatlarning kechiktirilgan miqdori og‘irlik koeffitsiyentlariga ko‘paytiriladi. Ko‘paytirgichlarning chiqishi umumiy yig‘uvchiga ulangan.
Raqamli filtrdan chiquvchi signal tegishli miqdordagi kechiktirilgan va vaznli qiymatlar majmuasini ifodalaydi:
Y(n) = h(0)*x(n) + h(1)*x(n-1) + h(2)*x(n-2) + h(3)*x(n-3) = ¼ [x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3)]
Raqamli filtrning ishlash algoritmi. Hisoblashlar birinchi x(n) qiymatning filtr kirish qismiga kirishidan boshlanadi. Kiruvchi qiymat h(0) ga ko‘paytiriladi, ya’ni ¼ ga va kechiktirish (z) orqali filtrning ikkinchi bosqichiga uzatiladi va uning x(n)1/4 hosilasi yig‘uvchining kirish qismiga uzatiladi. Xuddi shu tarzda, x(n),
44
x(n-1), x(n-2) vakeyingix(n-3) danolingankirishsignalining ketma-ket4 taqiymati
qayta ishlanadi (3.3-rasm).
3.3-rasm. 4 nuqtali sirpanuvchi o‘rtacha filtrning kiruvchi signalga ta’siriga
Ikkinchi bosqichda tartib bilan navbatdagi signal qiymati filtr kirishiga
beriladi. Oldin olingan qiymat h(1) ga ko‘paytiriladi va yangi olingan qiymat esa h(0) ga ko‘paytiriladi, so‘ngra ikkalasi ham bir vaqtning o‘zida yig‘uvchining kirishiga beriladi. Ushbu kirib kelish tartibi barcha filtr kaskadlari to‘liq to‘lguncha davom etadi. Bundan tashqari, jarayon filtrning barcha bosqichlarida qiymatlarning to‘liq ishtiroki bilan davom etadi. Shuning uchun, har qanday vaqtda, chiqish signalining qiymati tegishli va oldingi uchta qiymatning vaznli yig‘indisi sifatida hisoblanishi mumkin.
4 nuqtali filtr dasturini amalga oshirishga misol (topshiriq).
Quyidagi raqamli filtr koeffitsiyentlarini tanlaymiz (impuls xususiyatlari qiymatlari): h(0) = 0,25 , h(1) = 0,5, h(2) = 0,5, h(3) = 0,25 (ushbu impuls xususiyatlarining grafigini bering).
Raqamli filtr ishlashi: 1. 1,0*0,25=0,25
2. 1,0*0,5 +2,0*0,25=1,0 1,0 3. 1,0*0,25+2,0*0,5+2,0*0,25=1,75 2,0 4. 2,0*0,25+2,0*0,5+2,4*0,25=2,1 2,0 5. 2,0*0,25+2,4*0,5+1,2*0,25=2,0 2,4 6. 2,4*0,25+1,2*0,5+2,0*0,25=1,4 1,2
45
7. 1,2*0,25+2,0*0,5+2,0*0,25=1,8 2,0
8. 2,0*0,25+2,0*0,5+1,0*0,25=1,75 2,0 9. 2,0*0,25+1,0*0,5=1,0 1,0 10. 1,0*0,5=0,25
Yuqorida muhokama qilingan raqamli filtr turi shovqin darajasi past bo‘lgan oddiy mikrosxemalarda qo‘llaniladi. Ko‘p tomonlama raqamli filtrlar ularni ishlab chiqishda ko‘proq parametrlardan foydalanadi.
3.2. Chekli impuls xususiyatli raqamli filtr qurish
Filtr koeffitsiyentlarini hisoblash uchun bir nechta parametrlarni aniqlash kerak: o‘tkazish oralig‘i (buzilmasdan filtrdan o‘tadigan chastotalar), o‘tish diapazonining kengligi (kechiktirilgan va o‘tgan chastotalarni ajratuvchi diapazon), o‘tish diapazonidagi so‘nish tezligi (amplituda-chastota xususiyatiga moyilligi). Raqamli filtrlarning barcha parametrlarini aniqlash uchun tenglamalarni yechish kerak, shuning uchun filtr koeffitsiyentlariga hisoblab chiqilgan maxsus dastur paketlari ishlab chiqilgan.
Raqamli filtrlarning ishlash sifatini baholash – bu tegishli kesimning aniq chastotalar uchun amplituda-chastotali xususiyatining (AChX) moyilligi hisoblanadi. Filtr kaskadlari qancha ko‘p bo‘lsa, AChX ning pasayishi tezroq bo‘ladi. Kaskadlarsoniningko‘payishi bilanimpulsxususiyati qiymatlarimutanosib ravishda ko‘payadi, ammo bu raqam doimiy, cheklangan bo‘lib qoladi. Shuning uchunbuturdagifiltr chekli impulsxususiyatli (FIR -finite impulse response) filtrlar deb ataladi [10, 11]. Ular musiqa, video ma’lumotlarini qayta ishlashda keng qo‘llaniladi, ularning faza-chastotali xususiyatlari qat’iy ravishda chiziqli hisoblanadi.
Cheksiz impuls xususiyatli (IIR - infinite impulse response) filtrlari oddiyroq filtrlarga asoslangan to‘g‘ri va teskari aloqali kaskadga ega bo‘lgan yanada murakkab qurilmadir.
46
Shuningdek, filtr apparati tomonidan amalga oshiriladigan asosiy hisoblash
funksiyasi – bu yig‘ish asosida ko‘paytirish operatsiyalari (MAC - Multiply– Accumulate operatsiyalari) ketma-ketligidan tashkil topadi.
Raqamli filtrlarning afzalliklari shundaki, ular dasturlashtiriladigan qurilmalar bo‘lib, ularning asosiy xususiyatlari (uzilish chastotasi, so‘nish tezligi, amplituda-chastotali xususiyati) kerakli miqdordagi koeffitsiyentlarni kiritish orqali dasturiy ravishda o‘zgartirilishi mumkin.
Raqamli filtrlarda bir nechta asosiy xatolik manbalari mavjud [4, 6]. 1. Signallarni kvantlash. ARO‘ kvantlash xatolikni keltirib chiqaradi.
2. Koeffitsiyentlarni kvantlash (odatda koeffitsiyentlar 16 yoki 32 razryadli ega bo‘ladi).
3. Filtrning cheklangan razryadi tufayli ko‘paytirish amalini bajarishda yaxlitlash.
4. Ko‘paytirish amallari mavjudligi sababli hisoblash paytida razryad katakchasining to‘lib qolishi.
5. Filtr yoki protsessorning so‘z uzunligining cheklangan razryadi.
3.3. Chekli impuls xususiyatli filtr koyfisentlarini hisoblash
Raqamli filtrlarni loyihalash masalasini signalning quyi chastotalarini o‘tkazadigan va yuqori chastotalarni bostiradigan chekli impuls xususiyatli filtr sxemasini tanlash misolida ko‘rib chiqamiz.
3.4-rasmda past chastotali AChX filtriga misol ko‘rsatilgan. Rasmda ko‘rib turganingizdek, bu filtr past chastotalarni o‘tkazadi, va boshqa barcha chastotalarni olib tashlaydi yoki ularni zaiflashtiradi.
O‘tkazish va bostirish oralig‘lardagi og‘ishlar qabul qilinayotgan signalga qarab tanlanadi, lekin turli og‘irlik funksiyalaridan foydalanilganda ular cheklanishlarga duch kelishi mumkin.
Ushbu filtr analitik ifodaga muvofiq ishlaydi (3.2):
𝑁−1
𝑦(𝑛) = ∑𝑘=0(ℎ𝑘(𝑛) × 𝑥(𝑛 − 𝑘)) (3.2)
47
Filtr parametrlarini aniqlash.
Tabiyki, turli xil filtrlar uchun turli xil
koeffitsiyentlar kerak bo‘ladi va buning uchun filtr parametrlari aniqlashtirish kerak bo‘ladi. Bu odatda nazariy jihatdan amalga oshiriladi (signalimizning chastotasi qanday ekanligini, keyin filtrlanishi kerak bo‘lgan chastotalarni aniqlaymiz), keyin esa AChX ning haqiqiy o‘lchovlarni o‘rganamiz [8].
3.4-rasm. Past chastotali AChX filtri
Ushbu AChX ni ideal chastota xususiyati bilan aniqlaymiz (qaysi chastotalar erkin o‘tadi, qaysilarini va qanchalik darajada olib tashlaymiz), endi bizga ideal
impuls xususiyati kerak bo‘ladi (3.3):
ℎ𝐷(𝑛) = 1 ∫𝜋 𝐻𝐷(𝑤) × 𝑒𝑖𝑤𝑛𝑑𝑤 (3.3) −𝜋
bu yerda 𝐻𝐷(𝑤) – ideal impuls xususiyati.
Ammo oddiyroq yo‘ldan ham borish mumkin – oldindan hisoblangan ideal impuls xususiyatlari mavjud, masalan, past chastotali filtr uchun formulalar quyidagicha:
𝑐
𝑐
𝑛 ≠ 0 uchun ℎ𝐷(𝑛) = 2𝑓 × sin(𝑛𝑤𝑐 𝑐) (3.4) 𝑛 = 0 uchun ℎ𝐷(𝑛) = 2𝑓 (3.5)
𝑐
bu yerda 𝑓 va 𝑤𝑐 – kesim chastotasi.
48
Endi ideal impuls xususiyatdan “real” impuls xususiyatiga o‘tishimiz kerak.
Uni hisoblash uchun 𝑤(𝑛) vazn funksiyasi kerak bo‘ladi, filtrga qo‘yiladigan talablarga qarab (Hamming, Henning, Blekman, Kaiyzer funksiyalari) ularning bir nechta turlari mavjud [15, 16].
Bizning holatda, biz Blekman funksiyasidan foydalanamiz (3.6):
2𝜋𝑛 4𝜋𝑛
𝑤(𝑛) = 0,42 − 0,5 ∗ cos(𝑁−1) + 0,08 ∗ cos(𝑁−1) (3.6)
bu yerda 𝑁 – filtr uzunligi, ya’ni koeffitsiyentlar soni.
Endi esa ideal impuls xususiyatini va vazn funksiyasini ko‘paytrish kerak bo‘ladi (3.7):
ℎ(𝑛) = ℎ𝐷(𝑛) ∗ 𝑤(𝑛) (3.7)
Filtr xarakteristikalarini loyihalash.
Hozirgi vaqtda raqamli filtrlar dasturiy paketlar yordamida loyihalashtiriladi. Turli murakkablikdagi va funksional maqsaddagi raqamli filtrlarni sintezlash uchun ko‘plab paketlar mavjud. Raqamli filtr xususiyatlarini yuqori sifatli loyihalash uchun MATLAB amaliy dasturlar paketi keng tarqalgan bo‘lib, unda filtr strukturasini loyihalash, filtr koeffitsiyentlarini aniqlash va xatolarni hisoblash uchun ko‘plab dasturlar mavjud.
Filtrni qurish sxemasini loyihalash uchun quyidagi ko‘rsatkichlar aniqlanishi kerak:
– o‘tkazish oraliq kengligi;
– o‘tish oralig‘ining so‘nish tezligi; – kechikish oralig‘ining kengligi;
– o‘tish oralig‘ining kengligi.
Ushbu ma’lumotlar yordamida dasturiy loyihalash quyidagilarni aniqlaydi: – elektron qismlar soni (filtr kaskadlar soni);
– impuls xususiyatlar koeffitsiyentlari; – impuls xususiyatlar grafigi;
– AChX va FChX grafikalari.
49
Raqamli filtrlarning afzalliklari: ishlov berishning aniqligi va kaskadlarni,
masshtablash koeffitsiyentlarini o‘zgartirish orqali qayta ishlash rejimlarini qayta dasturlash qobiliyatining mavjudligi. Ko‘p kaskadli va murakkab arxitekturaga ega bo‘lgan juda murakkab filtrlarni qurish zarur bo‘lganda, SRIB protsessorlari (signal protsessorlari) ishlatiladi.
Signal protsessorlaridan foydalanish filtrlash vazifasini soddalashtiradi, chunki ishlov berish rejimlarini o‘zgartirish, qo‘shimcha siqishni protseduralarini yoqish, signallarning foydali qismlarini ajratib olish, approksimatsiya interpolyatsiyaning maxsus usullarini qo‘llash mumkin bo‘ladi.
3.4. Signallarni interpolyatsiya va detsimatsiyalash Diskretlash chastotasini o‘zgartirish. Turli xil signallarga raqamli ishlov
berish vazifalarini hal qilishda signallarni diskretlash chastotasini oshirish yoki kamaytirish kerak bo‘ladi. Ushbu jarayon ko‘pincha ma’lumotlarni saqlash yoki uzatishda talab qilinadi. Saqlashda bu muammo kompakt disklar formatlari (diskretlash chastotasi 44,1 kGs) va R-DAT (Rotating-head Digital Audio Tape) raqamli yozuvlari (diskretlash chastotasi 48 kGs) o‘rtasida farqlar mavjud bo‘lganda paydo bo‘ladi. Ma’lumotlarni uzatishda Naykvist chastotasidan jiddiy og‘ishlar (u yokibutomonga) ma’lumotlarbuzilishigayokialoqakanalining to‘libqolishigaolib kelishi mumkin [2, 3, 6, 8].
Ko‘pincha diskretlash chastotasining koeffitsiyentlari butun son emas. Ushbu koeffitsiyentning qiymatiga qarab, diskretlash chastotasini o‘zgartirishning quyidagi usullari mavjud.
1. Interpolyatsiya – diskretlash chastotasini butun songa oshirish.
2. Detsimatsiya (qisqartirish) – diskretlash chastotasini butun songa kamaytirish.
3. Qayta diskretlash – diskretlash chastotasini ixtiyoriy (ko‘pincha kasrli) marta o‘zgartirish.
Diskretlash chastotasini o‘zgartirishda signalni dastlabki interpolyatsiya detsimatsiyalash talabqiladi. Diskretlash chastotasini oshirish va pasaytirish mavjud
50
ketma-ket tartibdagi signal qiymatlariga o‘zgartirish bilan bog‘liq. Diskretlash
chastotasini
chastotasini
oshirish orqali signal tarkibiga yangi qiymatlar qo‘shiladi, diskretlash
pasaytirganda esa qiymatlar soni kamayadi.
Detsimatsiya (qisqartirish). Diskretlash chastotasini N marta kamaytirish uchun har bir N-chi qiymatni dastlabki signal ketma-ketlikdan olish kifoya. Ammo, agar dastlabki signal spektri tarkibida yangi diskretlash chastotasining yarmidan kattaroq chastotalarni qamrab olsa (yangi Naykvist chastotasi), bu chiqish signali spektri tarkibida soxta chastota komponentlarining paydo bo‘lishiga olib keladi. Signaldagi soxta tarkibiy qismlarning paydo bo‘lish holatini oldini olish uchun haqiqiy signallarning spektrini cheklashning dastlabki protsedurasi talab qilinadi, ya’ni cheklash chastotasi Naykvist chastotasiga teng bo‘lgan past chastotali filtrdan foydalanish [9].
Buning uchun rekursiv bo‘lmagan (FIR-filtr) past chastotali filmtridan foydalanish samaraliroqdir. Shundan so‘ng, har bir kerakli N-chi qiymatni chiqarib tashlash orqali diskretlash chastotasini pasaytrish mumkin. Agar N butun son bo‘lsa qiymatni olib tashlash jarayoni qiyinchilik tug‘dirmaydi. Ammo, agar N kasr son bo‘lsa, ya’ni diskretlash chastotasi 1,5 baravar kamaytirish kerak bo‘lsa, vazifa ancha murakkablashadi.
Interpolyatsiya. Interpolyatsiyalashda diskretlash chastotasi N martaga oshirish kerak, ya’ni mavjud qiymatlar orasidagi bo‘shliqlarni yangilari bilan to‘ldiriladi. N butun son bilan vazifa qiyin bo‘lmaydi, kasr son bilan vazifa ancha murakkablashadi. Ushbu muammoning har qanday yechimida interpolyatsiya matematik yaqinlashuv usullari yordamida amalga oshirilishi kerak. Sonli usullar va interpolyatsiya formulalari yordamida hal qilingan interpolyatsiya masalalari algebraik polinomlar ko‘rinishida signallarni yoki ularning segmentlarini approksimatsiya va aks ettirishda yanada murakkab matematik protseduralarni talab qiladi [9, 10].
Interpolyatsiyalashda diskretlash chastotasi N martaga oshirish kerak, ya’ni mavjud qiymatlar orasidagi bo‘shliqlarni yangilari bilan to‘ldiriladi. N butun son bilan vazifa qiyin bo‘lmaydi, kasr son bilan vazifa ancha murakkablashadi. Ushbu
51
muammoning har qanday yechimida interpolyatsiya matematik yaqinlashuv usullari
yordamida amalga oshirilishi kerak. Sonli usullar va interpolyatsiya formulalari yordamida hal qilingan interpolyatsiya masalalari algebraik polinomlar ko‘rinishida signallarni yoki ularning segmentlarini approksimatsiya va aks ettirishda yanada murakkab matematik protseduralarni talab qiladi.
To‘liq bo‘lmagan N qiymati uchun diskretlash chastotasini o‘zgartirishning umumiy tartibi qayta diskretlashdir.
Qayta diskretlash – bu interpolyatsiya va detsimatsiya kombinatsiyasidir. Dastlabki diskretlash chastotasini P/Q ga ko‘paytirilishi kerak bo‘lgan
variantni ko‘rib chiqamiz, bu holda P ning qiymati Q dan kichik, ya’ni kasr koeffitsiyenti bilan detsimatsiyaning umumiy vazifasi qo‘yiladi. Bunday holda, avval P-koeffitsiyent interpolyatsiya qilinadi, so‘ngra Q-koeffitsiyent detsimatsiya amalga oshiriladi. Yuqorida aytib o‘tilganidek, Naykvist qoidasi bilan bog‘liq buzilishlarning oldini olish uchun raqamli signal avval RAO‘ orqali, so‘ngra past chastotali silliqlash filtri qo‘llanilishi kerak va keyin Q-koeffitsiyent bilan miqdori aniqlanadi [16].
Ushbu harakatlar raqamli filtrlar yoki signal protsessor dasturlari yordamida amalga oshirilishi mumkin. Real vaqt rejimidagi ba’zi bir tizimlarda, kasrli koeffitsiyentli asosida diskretlash chastotasini o‘zgartirish zarur bo‘lsa, raqamli signal analogshaklgao‘tkaziladi, agarkerak bo‘lsafiltrlanadi, keyin ema diskretlash va kvantlash protsedurasi belgilangan chastotada amalga oshiriladi.
Shuni ta’kidlash kerakki, diskretlash chastotasini o‘zgartirish tartibi ko‘pincha signallarni yuqori tezkorlikdagi qayta ishlash asosidagi aloqa va ma’lumotlarni uzatish tizimlarida qo‘llaniladi, ya’ni turli xil diskretlash chastotasi asosida signallarga ko‘p kanalli ishlov berish.
Nazorat uchun savollar 1. Filtrlash jarayonini qanday amalga oshiriladi? 2.Sirpanuvchi o‘rtacha filtr qanday amalga oshiriladi?
3. Raqamli filtrlarning ishlash sifatini baholash qanday amalga oshiriladi? 52
4. MAC operatsiyalari ahamiyatini bayon qiling.
5. Raqamli filtrlarda qanday xatolik manbalari mavjud? 6. KIX filtrlarining koyfisentlarini qanday hisoblanadi?
7. Filtrni sxemasini loyihalash uchun qanday ko‘rsatkichlarni aniqlanishi kerak? 8. Signallarni interpolyatsiyalashni bayon qiling.
9. Signallarni detsimatsiyalashni bayon qiling. 10. Qayta diskretlash qanday amalga oshiriladi?
53
4-MA’RUZA. SIGNALLARNI CHASTOTA SOHASIDA IFODALASH,
SPEKTRAL TAHLIL
4.1. Signallarni spektral sohasida ifodalash
Signallarni vaqt sohasi bo‘yicha ifodalashdan tashqari, chastota sohasida ham
signallar akslantiriladi, ya’ni signalda mavjud bo‘lgan chastotalar (garmonikalar) to‘plami sifatida. Ushbu ifodalash usuli raqamli signallarni qayta ishlash tizimlarida juda muhim rol o‘ynaydi. Masalan, nutqni tahlil qilishda tovushlarni alohida fragmentlarini tanib olish uchun chastotali tarkibiy qismlarga ajratiladi. Aloqa kanallari orqali yuborilayotgan nutq signali kanalning chastotaviy xususiyatiga mos kelishi uchun signallarning chastotaviy tarkibini bilish kerak bo‘ladi [2, 4, 8].
Signalni vaqt sohasidan spektral sohasiga o‘tkazish uchun asosiy algoritm -Fure o‘zgartirish hisoblanadi. Matematik jihatdan bu signalning garmonik tashkil etuvchilar yig‘indisidan tashkil topgan Fure qatorlari deb ataladi. Fure qatoridan foydalangan holda har qanday davriy signalni tavsiflash mumkin. Ushbu o‘zgartirishning muhim xususiyati shundaki, signalni vaqt sohasidan spektral sohasiga o‘tkazish, aksincha, signalni spektral sohasidan vaqt sohasiga o‘tkazish protseduralari mavjud. Ushbu protseduralar to‘g‘ri va teskari Fure o‘zgartirishlari deb nomlanadi.
Signallarni diskret Fure o‘zgartirish ko‘rinishida ifodalash. Asosiy algoritmlardan biri bu diskret Fure o‘zgartirishi (DFO‘) [11, 12]. DFO‘ algoritmini chiqishida F(k) spektral (og‘irlik) koeffitsiyentlar to‘plami hosil bo‘ladi, bu yerda k - garmonikaning tartib chastotasiga mos keladigan koeffitsiyent tartib raqami (4.1-rasm).
1
F(k) = N x(n)(cos(2nk / N) − jsin( 2nk / N)) (4.1)
Teskari diskret Fure o‘zgartirish esa aksincha, signalni spektral sohasidagi ifodalanishidan vaqt sohasiga tegishli miqdordagi nuqtalarga o‘tkazishga imkon beradi.
54
1
x(n) = N F(k)(cos(2nk / N) + jsin( 2nk / N)) (4.2)
7 (У хар.
0o12 345687 n
on 0 = ro
а 4 A
Cos 2IIn8. - FL
Ва диб 47 2 ` 7 — ю
кз
Севжма ПТ 12
2) — в
ка
ва лр К.Р
7 o — Fa
-
6 Sin 213018
Соз 2042
4.1-rasm. Fure o‘zgartirishi
55
To‘g‘ri diskret Fure o‘zgartirish kirish signalining cheklangan sonli
qiymatlari (2n) bo‘yicha amalga oshiriladi, bu signalni vaqti-vaqti bilan spektral ko‘rinishga o‘tkazishga imkon beradi.
Spektral koyeffitsiyentlar F(k) signalning kirish qiymatlarini Fure funksiyalari - sinuslar va kosinuslar bilan svyortkalash (juftliklar asosida ko‘paytirish) natijasida olinadi.
Sin va Cos asos funksiyalari fazaviy tekisligining 0 va 90 burchak nuqtalarida nolga teng bo‘lganligi sababli, uning yoyilmasida haqiqiy (Cos) va mavhum (Sin) tashkil etuvchilarini o‘z ichiga oladi.
Teskor Fure o‘zgartirishi (TFO‘). Bu teskor Fure o‘zgartirish hisoblash algoritmi tegishli ko‘paytirish va qo‘shish operatsiyalari sonini kamaytirish orqali amalga oshiriladi (4.2-rasm).
4.2-rasm. Teskor Fure o‘zgartirishi qadamlari
56
Odatiy DFO‘dan farqli o‘laroq, NxN ko‘paytirish amallarini talab qiladigan
bu jarayonni amalga oshirishda TFO‘ga faqat N*log2N ko‘paytmalari kerak bo‘ladi. Masalan, 32 nuqtali DFO‘ni amalga oshirishda 1024 marta ko‘paytirish amali
talab qilinsa, TFO‘ uchun atigi 160 marta ko‘paytirish amali kerak bo‘ladi.
Shuni ta’kidlash kerakki, yuqoridagi Fure o‘zgartirrishlari integral o‘zgartirish tizimlarini nazardatutadi, ya’nialohidakoeffitsiyentlarning shakllanishi umumiy sonli F(k) hosilalarini yig‘indisi (birlashtirish) natijasida olinadi [12].
Bazis funksiyalarning boshqa tizimlari.
Diskret-kosinus o‘zgartirish (DKO‘). DKO‘ - Fure o‘zgartirishining soddalashtirilgan analogi hisoblanadi, chunki mavhum va haqiqiy qismlarni hisoblash juda ko‘p vaqt talab etadi va hisoblash jarayonini murakkablashtiradi. U Fure o‘zgartirishi singari to‘g‘ri va teskari o‘zgartirish formulalarga ega. Ushbu formulalar signalni vaqtsohasi ko‘rinishidan spektral ko‘rinishdaifodalashgaimkon beradi va aksincha [12, 15].
Umumiy ko‘rinishi va o‘zgartirish formulalari 4.3-rasmda keltirilgan. Kirish signalining qiymatlari kosinuslar shakliga ega bo‘lgan asosiy funksiyalar qiymatlari bilan ko‘paytiriladi. O‘zgartirish matritsasi 8x8 o‘lchamga ega, signal qiymatlariningmiqdori ham8 gatengdir. x(m) vac(n,m) larning mosjuftliklaribilan o‘zaroko‘paytiriladi vaketma-ketyig‘indilarnatijasidaspektral koeffitsiyentlarning qiymatlariX(n) hosil qilinadi. Bu kosinus bazisidan foydalangan holda signalni Fure spektriga to‘g‘ri o‘zgartirishdir.
Teskari o‘zgartirish dastlabki signal qiymatlarini X(n) va c(n,m) larning mos juftliklari bilan o‘zaro ko‘paytirish va yig‘ish orqali tiklashga imkon beradi. Bu teskari o‘zgarish jarayoni hisoblanadi.
57
э Х0
» X1
2
» X3
$4
X5
» X6
» 7
4.3-rasm.
|
