|
Kompyuter injiniringi: at-servis
|
| bet | 2/2 | | Sana | 12.06.2024 | | Hajmi | 268,92 Kb. | | #262912 |
Bog'liq JahomgirKatta sonlar qonuni - ehtimollar nazariyasida katta miqdordagi tasodifiy omillarning umumiy taʼsiri (yetarlicha keng shartlar bajarilganda) tasodifga deyarli bogʻliq boʻlmay qolishini ifodalovchi qonun; dastlab 1713-yilda Ya. Bernulli topgan (qarang Bernulli).
Agar tasodifiy miqdorlar ketmaketligi uchun j]+&+-+4ning miqdordan (bu yerda M^. — tasodifiy miqdorning oʻrta qiymati) farqi har qanday musbat ye sonidan kichik boʻlish ehtimoli p ortishi bilan 1 ga intilsa, bu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi K.s.q.ga boʻysunadi deyiladi. Kuzatilayotgan biror tasodifiy A hodisa p ta tajribaning xl tasida roʻy bergan boʻlsa, harqanday ye>0 uchun p\~jf ~ r k ye) ning i -> "o dagi limita 1 ga teng , bunda r soni A hodisaning bitta tajribada roʻy berish ehtimoli. Ushbu teoremaga koʻra, tasodifiy hodisa A ning nomaʼlumehtimoli r ni uning chastotasi ^~ bilan (p katta boʻlganda) almashtirish mumkin: r = ~ . Bernullining bu teoremasini P. L. Chebishev umumlashtirib, K. s. q.ning bajarilishi uchun yetarli shartlar topgan. K.s.q.ning turli masalalari bilan A. A. Markov, S. N. Bernshteyn, A. N. Kolmogorov, A. Ya. Xinchin va b., Oʻzbekistonda T. A. Sarimsoqov, S. H. Sirojiddinov va b. shugʻullangan.
Еxtimollik nazariyasida «katta sonlar qonuni» deyilganda tor ma’noda bir qator matematik teoremalar tushuniladi va ularning har birida katta sondagi tajribalar о’rtacha harakteristikalarining u yoki bu shartlarda biror ma’lum о’zgarmas miqdorlarga yaqinlashish fakti belgilanadi. Кatta sonlar qonuni ehtimollik nazariyasining amaliyotga tatbiqlari uchun nazariy asos bо’ladi.
Bernuli teoremasi: S - tajribada A hodisa ehtimol bilan rо’y beradi. Stajriba о’zaro bog’liq bо’lmagan holda n–marta takrorlanganda A hodisa m marta rо’y bersin. U holda ixtiyoriy uchunBu teoremadan kо’rinib turibdiki, A hodisaning rо’y berishi chastotasi - bizga katta n larda A hodisaning rо’y berish ehtimolini berar еkan. Ко’pincha amaliyotda quyidagi Chebishev tengsizligi ishlatiladi.Chebishev teoremasi: Chekli dispersiyaga еga bо’lgan istalgan tasodifiy miqdor uchun har bir datengsizlik о’rinli bо’ladi.
Markaziy limit teoremalar tasodifiy miqdorlar yig’indilari ketma - ketliklarining qanday shartlarda normal taqsimotga bо’ysunishini aniqlab beruvchi teoremalaridir. Ular bir - birlaridan yig’indini hosil qiluvchi tasodifiy miqdorlar taqsimot qonunlariga qо’yiladigan shartlar bilan farq qiladi. Biz markaziy limit teoremaning еng sodda shaklini ta’riflaymiz, u qо’shiluvchilar bir xil taqsimlangan hol uchun tо’g’ridir.
Teorema,Agar bog’liqmas tasodifiy miqdorlar bо’lib, ularning matematik kutilishi m va dispersiyasi bо’lgan bir xil taqsimot qonuniga еga bо’lsa, u holda n cheksiz ortganida-ning taqsimot qonuni matematik kutilishi 0 va dispersiyasi 1 bо’lgan normal taqsimotga yaqinlashadi. Muavr - Laplasning lokal teoremasi bu teoremaning xususiy holi еkanini aytib о’tamiz.
Normal taqsimotdan o’zga taqsimotlarni o’rganishda ularning normal taqsimotdan farqini sonli baholash masalasi kelib chiqadi. Shu maqsadda maxsus sonli xarakteristikalar kiritiladi. Shulardan, xususan asimmetriyava ekstsess tushunchasini ko’rib chiqaylik. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun bu xarakteristikalar nolga teng. Shu sababli o’rganilayotgan taqsimot uchun bu xarakteristikalarning sonli qiymatlari etarlicha nolga yaqin bo’lsa, bu taqsimotning normal taqsimotga yaqinligi xaqida gapirish mumkin. Aksincha, asimmetriya va ekstsesslarning katta qiymatlari bu taqsimotning normal taqsimotdan katta farqlanganligini bildiradi.
Asimmetriyaning baholanishini ko’rib chiqaylik. Simmetrik taqsimot uchun (bunday taqsimotning grafigi to’g’ri chizig’iga nisbatan simmetrik) xar bir toq tartibli markaziy momenti nolga teng. Shuning uchun bu toq tartibli ixtiyoriy ( birinchi tartibli momentidasn boshqa, chunki ixtiyoriy taqsimotning birinchi tartibli markaziy momenti nolga teng) momentlar asimmetriyani baholash uchun xizmat qiladi. Tabiiyki ularning eng soddasi -uchinchi tartibli markaziy momenti tanlanadi.Lekin bu -moment tasodifiy miqdor o’lchanayotgan o’lchov birligidan bog’liq bo’lganligi sababli uni ga bo’lib, birlik o’lchovisiz xarakteristikaga o’tib olinadi.Shunday qilib nazariy taqsimotning asimmetriyasi deb markaziy uchinchi tartibli momentning o’rtacha kvadratik chetlanish kubiga nisbatiga aytiladi: .
Agar taqsimot egri chizig’ining uzun qismi, matematik kutilmadan o’ng tomonda joylashgan bo’lsa, asimmetriya musbat va agar taqsimot egri chizigining uzun qismi matematik kutilmadan chap tomonda joylashgan bo’lsa, asimmetriya manfiy bo’ladi.
Nazariy taqsimot egri chizig’ining maksimumi normal taqsimot egri chizig’ining maksimumidan pastroqda yoki yuqoriroqda joylashganligini ya’ni taqsimot egri chizig’ining “qiyaligini” baholash uchun ekstsess deb ataluvchi sonli xarakteristikadan foydalaniladi. Ekstses quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: .
Normal taqsimot uchun bo’lganligi sababli . Shu sababli, agar biror taqsimot uchun ekstsess noldan farqli bo’lsa uning zichlik funksiyasining grafigi normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigidan farqli bo’ladi: agar ekstsess musbat bo’lsa, unda uning zichlik funksiyasining grafigi maksimum nuqtada normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigidan balandroq bo’ladi (3 rasm,a) . Agar ekstsess manfiy bo’lsa unda solishtirilayotgan taqsimot zichlik funksiyasi grafigi maksimum nuqtada normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigidan pastroq, ya’ni “yassi”roq bo’ladi (3 rasm b). Lekin bunda shu narsa ko’zda tutiladiki normal taqsimot xam, solishtirilayotgan taqsimot xam bir xil matematik kutilmaga ega.
Asimmetriya koeffitsienti ,ekstsesskoeffitsientio’zaro bog’liq bo’lmagan va (0,1) parametrli normal qonunga bo’ysinuvchi tasodifiy miqdorlar bo’lsin. U xolda tasodifiy miqdor n-ozodlik darajali -taqsimot qonuniga ega bo’ladi. Statistikada nazariy taqsimot funksiyasi bilan tajriba natijalari orasidagi muvofiqlikni tekshirish kriteriyasi Pirsonning -statistikasini o’rganishga asoslangan. -statistika quyidagicha aniqlanadi: . Bu yerda , intervalning ixtiyoriy bo’linishi, intervalga tushgan kuzatmalar soni. Qo’yilgan gipoteza to’g’ri deb faraz qilinganda -statistika da k-1 ozodlik darajasiga ega bo’lgan -taqsimot qonuniga ega bo’ladi va bu -taqsimot F(x) taqsimot funksiyasidabog’liqbo’lmaydi.
-tasodifiy miqdor -ozodlik darajali St’yudent taqsimotiga ega dey-
iladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega bo’lsa:
, .Bunday tasodifiy miqdorlarning momentlari quyidagicha topiladi:
Agar va - o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lsa, va - n-ozodlik darajali -taqsimot qonuni bilan taqsimlangan bo’lib, -standart normal qonun bilan taqsimlangan bo’lsa, u xolda n-ozodlik darajali St’yudent taqsimot qonuni bilan taqsimlangan bo’ladi. Bu taqsimotning statistikadagi tatbiqlarida ko’p xollarda -natural son bo’ladi. St’yudent taqsimoti statistikada normal taqsimlangan boshto’plam o’rta qiymatiga qo’yilgan gipotezalarni tekshirishda dispersiya noma’lum bo’lganda ishlatiladi. -ning etarlicha katta qiymatlarida St’yudent taqsimoti standart normal taqsimotga asimptotik yaqinlashib boradi.
Agar tasodifiy argumentning har bir mumkin bо’lgan qiymatiga tasodifiy argumentning bitta mumkin bо’lgan qiymati mos kelsa, u holda ni tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va bunday yoziladi: . Agar diskret tasodifiy miqdor va funksiya monoton bо’lsa, u holda ning turli qiymatlariga ning turli qiymatlari mos keladi, shu bilan birga va ning mos qiymatlarining ehtimollari bir xil bо’ladi. Boshqacha aytganda, ning mumkin bо’lgan qiymatlari tenglikdan topiladi, argument ning mumkin bо’lgan qiymatlari; ning mumkin bо’lgan qiymatlarining ehtimollari tenglikdan topiladi Agar monoton funksiya bо’lmasa, u holda, umuman aytganda, ning turli qiymatlariga ning bir xil qiymatlari mos kelishi mumkin.
Bunday holda ning mumkin bо’lgan qiymatlarining ehtimollarini topish uchun ning bir xil qiymat qabul qiladigan qiymalarining ehtimollarini qо’shish lozim.
Agar ushbu zichlik funksiyasi bilan berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor va differensiallanuvchi monoton funksiya bо’lib, unga teskari funksiya bо’lsa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini tenglikdan topiladi.
Agar funksiya ning qiymatlari intervalida monoton bо’lmasa, u holda bu intervalni funksiya monoton bо’ladigan intervallarga ajratib, monotonlik intervallarining har biri uchun zichlik funksiyalarini topish, keyin еsa ni yig’indi kо’rinishida ifodalash lozim.
Agar va tasodifiy miqdorlarning mumkin bо’lgan qiymatlarining har bir juftiga tasodifiy miqdorning bitta mumkin bо’lgan qiymati mos kelsa, u holda ikkita va tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va bunday yoziladi: . Agar va diskret еrkli tasodifiy miqdorlar bо’lsa, u holda funksiyaning taqsimotini topish uchun ning barcha mumkin bо’lgan qiymatlarini topish lozim, buning uchun ning mumkin bо’lgan har bir qiymatini ning mumkin bо’lgan qiymatlarining hammasi bilan qо’shib chiqish lozim. ning ehtimoli quyidagi tenglikdan topiladi.
Xulosa
Men bu mustaqil ishidan shuni xulosa qildimki. Agar taqsimot egri chizig’ining uzun qismi, matematik kutilmadan o’ng tomonda joylashgan bo’lsa, asimmetriya musbat va agar taqsimot egri chizigining uzun qismi matematik kutilmadan chap tomonda joylashgan bo’lsa, asimmetriya manfiy bo’lar ekan.
Foydalanilgan adabiyotlar: fayllar.org, Wikipedia.com.
|
| |
