8-Mavzu: Matlabda chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq
etish va yechish
Reja:
1. Chiziqli tenglamalar sistemasi;
2. Chiziqli tenglamalar sistemasini echish usullari;
3. Chiziqli tenglamalar sistemasini echishda Matlab usullari;
4. Chiziqli tenglamalar sistemasini echishga doir misollar.
1.Chiziqli tenglamalar sistemasi(CHTS). Juda ko’p masalalarni hal qilishda
CHTS ga duch kelamiz. Umumiy holda CHTS ning umumiy ko’rinishi
quyidagicha bo’ladi.
+
+ ⋯ +
=
+
+ ⋯ +
=
… … … … … … … … … … … … … … …
+
+ ⋯ +
=
(1)
Bu yerda x
1
, x
2
, …, x
n
- noma’lum o’zgaruvchilar, a
11
, a
12
, …, a
nn
, va b
1
,
b
2
,
…
, b
n
lar haqiqiy sonlar.
(1)
Tizimining yechimi deb uni tenglamalarni ayniyatlarga
aylantiruvchi x
1
,x
2
,…, x
n
sonlarga aytiladi.
CHTS ni vektor ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin:
Ax=b (2)
Bu yerda
A=
a11, a12, … , a1n
a11, a12, … , a2n
… … … … … … … …
a11, a12, … , ann
(nxn) o’lchovli matritsa,
X= …
(nx1) o’lchovli noma’lum vector ustun,
76
b=
…
(nx1) o’lchovli ozod had deb ataluvchi vector ustun.
A*=[A,b]-kengaytirilgan matritsani kiritamiz. Chiziqli algebra kursidan
ma’lumki (Kronel-Kapelli teoremasi) A va A* matritsalarning ranglari teng bo’lsa
(1) yoki (2) sistemaning yechimi mavjud bo’ladi.
2.CHTS ni yechish usullari
. ChTS ni yechishning aniq usullaridan keng
qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matritsa usullaridir, taqribiy usullarga
esa itiratsiyalar, Zeydel va kichik kvadratlar usullarni keltirish mumkin.
Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz:
Buning uchun det(A)≠0 bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun asosiy A
matritsani k-ustun elementlari ozod had b bilan almashtirib A
k
, k=
1,
matritsalar
hosil qilamiz. U holda det(A)≠0 shart asosida yechimni topish uchun
x
k
=
(
)
( )
, k=1,2,…,n
tengliklardan foydalanish mumkin. Taqribiy usullardan iteratsiya usulini
keltiramiz. Buning uchun (1) sistemani quyidagicha ko’rinishga keltiramiz:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
1
=
1
+
12 2
+
13 3
+ ⋯ +
1
,
2
=
1
+
21 1
+
23 3
+ ⋯ +
2
,
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
=
+
1 1
+
2 2
+ ⋯ +
−1
−1
(3)
Bu yerda
=
,
= −
, i≠j,
= 0, = , , = 1,2, … , .
U holda
=
…
…
… … … … … … …
…
, β=
⎣
⎢
⎢
⎡
β
β
…
β ⎦
⎥
⎥
⎤
77
belgilashlar kiritib (3) ni quyidagicha yozib olamiz.
x= β+
x (4)
(4)
sistemani ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usuli bilan yechamiz.
Boshlang’ich yaqinlashish uchun x
(0)
= β ozod hadni olamiz va ketma-ket keyingi
yaqinlashishlarni hosil qilamiz:
x
(1)
= β+
x
(0)
;
x
(2)
= β+
x
(1)
;
……………………
x
(k+1)
= β+
x
(k)
;
Agar x
(0)
, x
(1)
,…, x
(k)
,… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda bu
limit (3) yoki (4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq holda
quyidagicha yozish mumkin:
( )
= β
,
(
)
= β + ∑
( )
, i=1,
, k=0,1,2,… (5)
Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iteratsiya usuli deyiladi.
Iteratsiya protsessining yaqinlashuvchi bo’lishini yetarli shartini quyidagicha
teoremada keltiramiz:
Teorema: Agar o’zgartirilgan (3) sistema quyidagi shartlardan
1) ∑
|
| < 1 , i=1,2,…,n.
2) ∑
|
| < 1 , i=1,2,…,n.
biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (5) iteratsiya jarayoni yagona
yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x
(0)
uchun.
Vektor ko’rinishidagi (2) sistеmani detA≠0 bo’lgan holda teorema shartini
qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin:
(A
-1
-ε)Ax=Db, D= A
-1
-ε; (6)
=[
]-
yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matritsa (6)dan quyidagini
olamiz.
x=β+αx, (7)
bu yerda α=
A, β=Db, bo’lib Σ
ij
lar yetarli kichik qilib olinsa teorema shartlari
bajariladi.
3.CHTS ni yechishda Matlab usullari.
CHTS ni yechish uchun Matlab
funksiyalari (usullari) juda ko’p bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz.
Birinchi usul “chapdan bo’lish” usulidir:
78
1) x=A\B
2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik
kvadratlar usuli bilan yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-(nx1) o’lchovli, x
i
≥0,
i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B-Ax ning ikkinchi normasini
minimallashtirish;
3)
x=isqnonneg(A,B,x0)-Iteratsiyalar
uchun
chiziqli
tenglamalar
sistemasining aniq berilgan nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib beradi;
4
) [x,w]=isqnonneg(…)-yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati
ikkinchi normasini qaytaradi;
5) [x,w,w1]=isqnonneg(…)-xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar
vektori w1 ni qaytaradi;
6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1). Bunda
hisoblash iteratsiyalar yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha bajariladi;
7) bisc(A,B,tol)-yechimni tol xatolik bilan qaytaradi;
8) bisc(A,B,tol,maxit)-avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari maxit-
maksimal iteratsiyalar soni bilan qaytaradi.
4.CHTS ga doir misollar.
1.Tenglamalar sistemasini chapdan bo’lish va 2), 3) buyruqlar yordamida
yeching va Kramer usulida yechilgan bilan solishtiring.
2 +
+ + = 8
3 −
− 2 + = 2
+ 2 − 3 + 2 = 8
5 − 2 + 3 − = 1
A=[2 1 1 1; 3 -1 -2 1; 1 2 -3 2; 5 -2 3 -1],
B=[8;2;8;1]
Download |
