|
Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
|
| bet | 7/10 | | Sana | 27.11.2023 | | Hajmi | 173,5 Kb. | | #106329 |
Bog'liq Ko\'p o\'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari.Yetarliligi. x(a;b) uchun f’(x) 0 bo‘lsin. Endi x12 bo‘lgan x1,x2(a;b) nuqtalarni olaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya [x1;x2] kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, (x1;x2) intervalga tegishli shunday c nuqta topilib,
f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) (2)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga f’(x)0, bundan f’(c)0, va (2) tenglikdan f(x2)-f(x1)0, ya’ni f(x2) f(x1) ekanligi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning (a;b) intervalda kamaymaydigan funksiyaligini ko‘rsatadi.
O‘smaydigan funksiya holi ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.
Endi funksiyaning qat’iy monoton bo‘lishining yetarli shartini isbotlaymiz.
3-teorema. Agar f(x) funksiya (a,b) intervalda differensiallanuvchi va x(a;b) uchun f’(x)>0 (f(x)<0 ) bo‘lsa, u holda f(x) funksiya (a,b) intervalda qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi ) bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik x1,x2(a;b) va x12
5- chizma
bo‘lsin. Ravshanki, [x1;x2] kesmada f(x) funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu teoremaga binoan shunday c(x1;x2) mavjudki
f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik va f’(c)>0 (f’(c)<0 ) ekanligidan f(x2)>f(x1) (f(x2)1)) bo‘lishi kelib chiqadi. Bu f(x) funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi. Ushbu y=x3 funksiya (-1;1) intervalda qat’iy o‘suvchi, lekin uning hosilasi x=0 nuqtada nolga teng bo‘ladi.
Shunga o‘xshash f(x)=x+cosx funksiya ham aniqlanish sohasida qat’iy o‘suvchi, ammo uning hosilasi f’(x)=1-sinx cheksiz ko‘p nuqtalarda ( ) nolga teng bo‘ladi. (5-chizma)
Bu misollar yuqoridagi teoremaning shartlari funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishi uchun faqat yetarli shart ekanligini ko‘rsatadi.
|
| |
