|
Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
|
| bet | 4/10 | | Sana | 27.11.2023 | | Hajmi | 173,5 Kb. | | #106329 |
Bog'liq Ko\'p o\'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari.Ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar yoki hosila mavjud bo‘lmaydigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi. Funksiya hosilasi nolga teng bo‘lgan nuqtalar statsionar nuqtalar deb ataladi.
Har qanday kritik nuqta funksiyaning nuqtasi bo‘lavermaydi.
Masalan, f(x)=(x-1)3, f’(x)=3(x-1)2, f’(1)=0 bo‘lib, x0=1 kritik nuqta. Lekin x0=1 nuqtaning ixtiyoriy atrofida f(1)=0 eng kichik, yoki eng katta qiymat bo‘la olmaydi. Chunki har bir atrofda noldan kichik va noldan katta qiymatlar istalgancha bor.
Demak, x=1 nuqtada yo‘q.
Quyida funksiya grafigining kritik nuqta atrofidagi holatlari tasvirlangan (3-chizma).
3-chizma
3. Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari.
Teorema. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va x0 nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bo‘lsin.
a) Agar x(x0-;x0) uchun f’(x)>0, x(x0; x0 +) uchun f’(x)<0 tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishida o‘z ishorasini «+» dan «-» ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bo‘ladi.
b) Agar x(x0-;x0) uchun f’(x)<0, x(x0; x0 +) uchun f’(x)>0 tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada minimumga ega bo‘ladi.
c) Agar f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada ga ega bo‘lmaydi.
Isbot. a) Holni qaraymiz. Bu holda x(x0-;x0) uchun f’(x)>0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x0 -; x0) da qat’iy o‘suvchiligi kelib chiqadi. So‘ngra shartga ko‘ra f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lgani sababli
(1)
tenglik o‘rinli. Demak, x(x0 -; x0) uchun
f(x)0) (2)
bo‘ladi. x(x0; x0 +) uchun f’(x)<0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x0; x0 +) da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. Demak, (1) tenglikni e’tiborga olsak, x(x0;x0+) uchun yana (2) tengsizlik bajariladi. Bundan xx0 va x(x0-;x0+) uchun f(x)0) bo‘ladi, ya’ni f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega.
b) Bu holda f(x) funksiya x0 nuqtada minimumga erishishi (a) holga o‘xshash isbotlanadi.
f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan (c) holda f(x) funksiya x0 nuqtaning (x0 -; x0 +) atrofida qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo‘ladi. Demak, x0 nuqtada yo‘q.
Shunday qilib ga sinalayotgan nuqtani o‘tishda funksiya hosilasi ishorasining o‘zgarishi ga erishishning faqat yetarli sharti bo‘lib, lekin zaruriy sharti bo‘la olmaydi.
Eslatma. Yuqoridagi mulohazalarda f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lishi muhim. Masalan, ushbu
funksiyani qaraylik. Bu funksiya uchun f’(x)=4x3 bo‘lib, hosila x=0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa ham, berilgan funksiya x=0 nuqtada minimumga ega emas.
Eslatma. x0 nuqtaning chap tomonidan o‘ng tomoniga o‘tganda hosila ishorasini o‘zgartirmasa ham bu nuqta nuqtasi bo‘lishi mumkin.
Masalan, funksiya uchun x=1 (minimum) nuqta bo‘ladi. Haqiqatdan, x=1 ning (0;2) atrofidagi barcha nuqtalar uchun f(x)f(1)=-1 tengsizlik o‘rini bo‘ladi. Shu bilan birga x<1 va x>1 nuqtalar uchun f’(x)=-1<0, ya’ni hosila ishorasini o‘zgartirmaydi.
|
| |
