O’zbekiston Respublikasi Oliy va O’rta maxsus
ta’lim vazirligi Mirzo Ulug’bek nomidagi
O’zbekiston milliy Universiteti Jizzax filiali
AXBOROT TIZIMLARI VA TEXNOLOGIYALARI fakulteti
501-22 guruh ta’labasi Eshonqulov Zahiriddinning
Matematik analiz fanidan MUSTAQIL ISHI fan o’qituvchisi; Po’latov B.S.
Mavzu;Funksiyalarni ko’p had bilan yaqinlashtirish Reja
Kirish
Asosiy qismi
Funksiyani koʻphad bilan yaqinlashtirish haqida tushuncha
Veyershtrass teoremasi
Funksiyalarni Triganametrik koʻphad bilan yaqinlashtirish
Eng yaxshi tekis yaqinlashtiruvchi algebraik ko’phatla
Funksiyani koʻphad bilan yaqinlashtirish haqida tushuncha
Maʼlumki funksiya matematik analiz kursida organiladigan asosiy obyekt koʻpgina masalalar esa funksiyani hisoblash (berilgan nuqta qoʻyilmalarni toppish) bilan bog’liq funksiyaning murakkab bolishi bunday hisoblashlarda katta qiyinchiliklar tugʻdiradi. Natijada funksiyani unga qaraganda sadda va hisoblashda qulay boʻlgan funksiya bilan yaqinlashtirish tarkibi ifodalash masalasi yuzaga keladi. Funksiyaning darajali qatoriga yeyilishidan uni tarkibiy hisoblashdan keng foydalaniladi. Bunday funksiyani darajali qator qismi yigindisi bilan almashtirib funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini topish quyidagilarning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi. Darajali qator tuzilishida koʻra sodda boʻlishi uning qismi yigilishi esa oddiy kophad ekanligiga funksiyaning berilgan nuqtaga qiymatini effektiv hisoblay olishi mumkinligiga olib keladi. Shuni ham taʼkidlash lozimki bunday imkoniyat faqat yaxshi funksiyalar uchun yaʼni istalgan tartibdagi hosilalarga ega boʻlgan va maʼlum shartni qanoatlantiradigan funksiyalar uchun mavjud boʻladi. Ixtiyoriy uzluksiz funksiyalar berilgan bolsa uni biror koʻphad yordamida taqribiy hisoblash mumkin bo’larmikan degan savol tug’iladi Ya’niy funksiyalarni koʻphad bilan taqribiy almashtirish imkoniyatini analitik funksiyalar sifatida uzluksiz funksiyalar Sinfiga umumlashtirish masalasi paydo boladi.
Faraz qilaylik, 0( ), 1( ), …, n( ) yetarlicha siliq va hisoblash uchun qulay bo`lgan chiziqli erkli funksiyalar sistemasi bo`lsin. Bu fuksiyalardan tuzilgan
|
= 0 0
|
+ 1 1 + … + n
|
n
|
(2.1.1)
| |
chiziqli kombinassiya
|
(
|
– doimiy sonlar) umumlashgan ko`phad
| |
deyiladi. Berilgan
|
funksiyani
|
interpolyatsiyalash
|
yo`li bilan
|
orqali
|
taqribiy ravishda almashtirish yo`li mavjud. Ammo shuni ham takidlab o`tish lozimki, qator masalalarda funksiyaning bunday taqribiy tasvirlanishi maqsadga muvofiq bo`lavermaydi. Birinchidan, tugunlar soni ko`p bo`lsa, u holda interpolyasion ko`phadlarning ham darajasi ortib boradi, lekin bu yaqinlashishning
sifati har doim ham yaxshi bo`lmasligi mumkin. Ikkinchidan, funksiyaning tugun nuqtalardagi qiymati biror tajribadan aniqlangan bo`lishi ham mumkin, u holda tabiy ravishda bu qiymatlar tajriba xatosiga ega bo`lib, u interpolyatsion ko`phadga ham tasir qiladi va shu bilan funksiyaning haqiqiy holatini ham buzib ko`rsatadi.
Qandaydir ma’noda bu kamchiliklardan holi bo`lgan o`rta kvadratik yaqinlashuvchi ko`phadlarni tuzish bilan shug`ullanish maqsadga muvofiqdir. Shunday qilib, biz funksiyalar uchun o`rta kvadratik ma’noda yaqinlashish masalasi qo`yilishining maqsadga muvofiq ekanligiga ishonch hosil qildik. Bu
masala quydagidan iboratdir: [ ] oraliqda aniqlangan funksiya uchun (2.1.1) ko`rinshdagi yaqinlashuvchi shunday ko`phad topilsinki,
(2.1.2)
ifoda mumkin qadar eng kichik qiymatni qabul qilsin.
Agar (2.1.2) integral kichik qiymatni qabul qilsa, bu shuni bildiradiki, [ ]
oraliqning ko`p qismida va m bir-biriga yaqin. Shunga qaramasdan
ayrim nuqtalar atrofida yoki bu oraliqning ba’zi kichik qisimlarida m ayirma nisbatan yetarlicha kata bo`lishi ham mumkin.
Quydagi
(2.1.3)
miqdor ning dan o`rta kvadratik og`ishi deyiladi va ni bilan yaqinlashishda o`rta kvadratik ma’nodagi xatoni bildiradi.
Agar ni o`rta kvadratik ma’noda bilan yaqinlashtirishda qandaydir sababga ko`ra qaralayotgan oraliqning biror qismida uning boshqa qismiga nisbatan aniqroq yaqinlashtirish kerak bo`lsa, u holda ko`pincha quydagicha ish tutiladi: vazn deb ataluvchi maxsus ravishda tanlab olingan manfiy
bo`lmagan funksiya olinib, (2.1.2) o`rniga ushbu
integralning eng kichik qiymatini qabul qilishi talab qilinadi. Bu yerda shunday tanlangan bo`lishi kerakki, agar oraliqning biror nuqtasi atrofiga yaqinlashish aniqligi boshqa nuqtalarga nisbatan yaxshiroq bo`lishi talab qilinsa, shu nuqta atrofida kattaroq qiymatga ega bo`lishi kerak. Msalan [-1,1]
oraliqda funksiyani funksiya bilan yaqinlashtirishda aniqligining
oraliqning chetki nuqtalari atrofida yuqori bo`lishini istasak, deb olish mumkin.
Agar funksiyaning analtik ko`rinishi o`rniga, uning faqat ta , , …, nuqtalardagi qiymatlarigina malum bo`lsa, u holda (2.1.2) integral o`rniga ushbu
(2.1.4)
yig`indining mumkin qadar kichik qiymat qabul qilishligi talab qilinadi. Bu holda
miqdor o`rta kvadratik og`ish deyiladi. O`rta kvadratik yaqinlashtirish usuli eng kichik kvadratlar usuli ham deyiladi.
FURYE INTEGRALI Fu’re integrallari ta’rifi
Fur’e integralini o’rganishdan oldin fur’e qatori bilan tanishib chiqishimiz kerak. Har bir hadi
quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan
funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi.
sonlar esa trigonometrik qatorning koeffitsientlari deyiladi. Bu qatorda asosiy masala uning koeffitsientlarini topishdan iborat.
trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi:
trigonometrik ko’phad deb ataladi.
Faraz qilaylik, funksiya da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda
,
Funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyasi ko’paytmasi sifatida da
Bu sonlardan foydalanib, ushbu
trigonometrik qatorni tuzamiz.
Ta’rif: koeffitsientlari formulalar bilan aniqlangan trigonometrik qator funksiyaning Fur’e qatori deb ataladi.
sonlar esa funksiyaning Fure koeffitsientlari deyiladi.
Endi esa Fur’e integrali tushunchasi bilan tanishamiz.
kesmada aniqlangan funksiya Dirixle teoremasi shartlarini qanoatlantirsa, u holda
ko’rinishidagi Fur’e qatori vositasida har tamonlama o’rganish mumkin. qator koeffisientlari
,
va
,
formulalar bilan hisoblanadi. Dirixle teoremasiga asosan qatorning yig’indisi ga tegishli istalgan uchun ushbu
tenglikni qanoatlantiradi.
Soddalik uchun dastavval ni da Dirixle teoremasi shartlarini
qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. U holda tenglikning
o’ng tomoni istalgan uchun ga teng bo’ladi, ya’ni istalganda katta
chekli dagi o’zgarish qonuniyatini uning mos Fur’e qatori vositasida to’liq
o’rgana olamiz. Ammo chekli ortga borib, ga intilsa ,masala ancha
murakkablashadi va ushbu
Fur’e qatori dagi xosmas Fur’e integrali deb ataluvchi integraldan iborat
bo’ladi.
Darhaqiqat, agar da , koeffitsientlar o’rniga ularning dagi
ifodalarini qo’ysak, istalgan uchun
tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar funksiya da absolyut integrallanuvchi, ya’ni
bo’lsa, u holda da
bunda, desak, bo’lib, istalgan uchun bo’ladi va ushbu
tenglikni hosil qilamiz. Agar da
deb olsak, tenglikning o’ng tomonidagi limit belgisi ostidagi
cheksiz yig’indisi ning ga nisbatan Riman integral yig’indisi bo’ladi.
Shuning uchun ning juda katta qiymatlarida so’nggi tenglikning
chap tomonidagi integral absolyut yaqinlashuvchi bo’lganidan foydalanib uni
ushbu
integral bilan almashtirsak, u holda
bo’ladi, dagi limitini ushbu
integral uchun Riman ma’nosidagi xosmas integral deb olamiz, u holda
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral Furye integrali
bo’lib, esa ning Fur’e integrali vositasidagi ifodasi deyiladi. Furye teoremasi - bu, Signal garmonik tebranishlarning yig'indisidek qismlarga ajratiladi , keyin mos koeffitsiyentlar bilan tenglikga aylantiriladi.
|
