Mavzu; Natural sonlar to'plamiga akslantirish prinsipi. To'plamlar nazariyasining aksiomalari.
1. Natural sonlar to'plamiga akslantirish prinsipi. To'plamlar nazariyasining aksiomalari. Algebraik sistemalar
2. To'plamlarni taqqoslash. To'plam quvvati. Sanoqli va kontinium quvvatli to'plamlar.
To'plamlarga doir asosiy ayniyatlarni taqqoslashga doir misollar.
3. Tartiblangan juftlik tushunchasi. To'plamlarning dekart ko'paytmasi.
4. Akslantirish tushunchasi va uning turlari. In'ektiv, syur'ektiv, biektiv funksiyalar. Funksiyalar kompozisiyasi.Dirixle prinsipi.
5. Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning hossalari. Hosil qiluvchi funktsiyalar va ularning kombinatorika masalalarini yechishga tatbiqi.
1). y ekanligi kelib chiqsa.=2 1 2 yÎ(x, y ) 1 , (x, y ) f ekanligidanÎ( f ) 2) fÍ( f ) B,=Tа’rif 2. f A to‘plamdan B to‘plamga akslantirish deyiladi, agarda quyidagi shartlar bajarilsa: 1) Dl A , DrÌ A´Agar biror X to’plamning har bir x elementiga qandaydir qonuniyat bo’yicha yagona f (x) ob’yekt mos qo’yilgan bo’lsa, bu f moslik funktsiya deyiladi. B munosabat funktsiya yoki
( f ) f funktsiya qismiy funktsiya deyiladi.Ìelementga x elementning tasviri, x elementga y ning asli deyiladi. Agar Dl A bo`lsa,Îy AÎy kabi yoziladi va f funktsiya x elementga y elementni mos qo‘yadi deb gapiriladi. B=(x, y) bo‘lsa, u holda f (x)ÎA B kabi belgilanadi, agar f¾f®f :A ®Funktsiya B yoki
Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi. To’plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to’plamning o’zidir. To’plam biror ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo’lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to’plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo’yish mumkin. Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin:
1) sinflar; 2) to’plamlar, ya`ni boshqa bir sinfning elementi bo’lgan sinflarlar. To’plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan, “oldin” munosabati qadamni tartiblaydi.
Har bir to’plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo’ladi.
Bunday tizim nemis matematigi Ernst Fridrix Ferdinand Sermelo (1871- 1953 yy) tomonidan 1908 yilda ishlab chiqildi va isroillik matematik Abraxam Adol`f Frenkel (1891-1965 yil) tomonidan kengaytirildi.
Hozirda Sermelo – Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi.
ZF tizimi quyidagi aksiomalardan iborat: 1 0 . Hajm aksiomasi: To’plam o’zining elementlari bilan to’liq aniqlanadi.
"x(xÎ A « xÎB) « A =Ikkita to’plam teng deyiladi, faqat va faqat ular bir xil elementlardan tashkil topgan bo’lsa: B.
2). Sanoqli va kontinual to‘plamlar. Bizga ma‘lum bo‘lgan to‘plamlar quvvatlarini taqqoslaylik. Aytaylik bizga musbat juft sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin {2, 4, 6, .....}ushbu to‘plam bilan natural qator o‘rtasida biyektsiya o‘rnatish uchun, juft sonlar to‘plami elementlarini quyidagicha nomerlab chiqamiz. 2, 4, 6, 8, ...
¯ ¯ ¯ ¯
1, 2, 3, 4, ...
Biyektsiya k=2n munosabat bilan o‘rnatildi, bu erda k- juft sonlar to‘plami elementi qiymati, n – natural qator elementi qiymati. Musbat juft sonlar to‘plami Natural sonlar qatorining qismi bo‘lishiga qaramay ularning quvvatlari teng ekan. Natural va butun sonlar to‘plami o‘rtasida biyektsiya qurishga urinib ko‘ramiz. Buning uchun butun sonlar qatorini quyidagicha yozib chiqamiz va mos ravishda natural sonlar bilan nomerlaymiz.
0, -1, 1, -2, 2, ...
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1, 2, 3 ,4, 5,
m yigindiga aytiladi. Masalan 1 balandlikka faqat 0/1 son ega bo‘ladi, 2 balandlikka 1/1 va - 1/1 sonlar, 3 balandlikka 2/1, 1/2, -2/1, -1/2 sonlar ega bo‘ladi. Tushunarliki berilgan balandlikdagi sonlar soni chekli bo‘ladi. Shuning uchun ham barcha ratsional sonlarni balandliklari oshishiga qarab nomerlab chiqish mumkinki, hattoki bir xil balandlikka ega bo‘lgan sonlar ham o‘z nomerlqariga ega bo‘lishadi. Natijada natural va ratsional sonalar o‘rtasida biyektsiya o‘rnatiladi. Shunday qilib to‘plam sanoqli bo‘ladi agar uni natural sonlar qatoriga biyektiv mos qo‘yilgan bo‘lsa. Sanoqli to‘plamlarning muhim xossalarini keltiramiz. 1-xossa. Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yoki chekli yoki sanoqli. 2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi. Aytaylik A1, A2, ... – sanoqli to‘plamlar bo‘lsin. A1, A2, ... to‘plamlarning barcha elementlarini quyidagicha cheksiz jadval ko‘rinishida yozish mumkin:+ ga teng. Bilamizki ixtiyoriy q ratsional sonni qisqarmaydigan kasr ko‘rinishida ifodalash mumkin: q=m/n, bu erda m vd n lar butun sonlar.Ratsional son q ning balandligi deb naZ Ratsional sonlar to‘plamining quvvati ham 0= aShunday qilib butun va natural sonlar o‘rtasida ekvivalentlik o‘rnatiladi, ya’ni 0 .
a11 a12 a13 a14 ...
a21 a22 a23 a24 ...
a31 a32 a33 a34 ...
a41 a42 a43 a44 ...
i-qatorda Ai to‘plamning barcha elementlari turibdi. Ushbu elementlarni dioganal bo‘yicha nomerlab chiqamiz:
a14 ...®a12 a13 ®a11
/ / /
a21 a22 a23 a24 ...
/ / /
a31 a32 a33 a34 ...
/ / /
a41 a42 a43 a44 ...
Shu bilan birga birnechta to‘plamlarga tegishli bo‘lgan elementlarni faqat bir marta belgilaymiz. Shunda yigindidagi har bir element o‘zining nomeriga ega bo‘ladi va natural sonlar qatori bilan chekli yoki sanoqlita to‘plamlar yig‘indisi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.
3). tartiblangan juftlik tushunchasini o'rganamiz
Munosabat tushunchasiga aniqlik kiritish uchun tartiblangan juftlik tushunchasini o'rganamiz. Ma’lum tartibda joylashgan ikki predmetdan tuzilga kortej tartiblangan juftlik deb ataladi.
Ixtiyoriy x va у predmetlar uchun < x , y > kabi belgilanadigan muayyan obyekt mavjud bo'lib, har bir x va у predmetlarga yagona tartiblangan < x , y > juftlik mos keladi ( < x , y > yozuv “ x va у ning tartiblangan juftligi” deb o'qiladi)
Agar ikkita < x , y > va < u, v > tartiblangan juftlik uchun x = и va
у = v bo'lsa, u holda < x , y >=< u , v > bo'ladi. < x , y > tartiblangan juftlik < x , y > - {{x},{x,y}} ko'rinishdagi to'plamdir, ya’ni u shunday ikki elementli to'plamki, uning bir elementi {x, y} tartibsiz juftlikdan iborat, boshqa {x} elementi esa, shu tartibsiz juftlikning qaysi hadi birinchi hisoblanishi kerakligini ko'rsatadi. Tartiblangan juftliklardan birgalikda tartiblangan juftliklar to‘plamini tashkil etishadi.
< x, v > tartiblangan juftlikdagi x uning birinchi koordinatasi, у esa ikkinchi koordinatasi deb ataladi. Tartiblangan juftliklar atamasi asosida tartiblangan n -liklarni aniqlash mumkin. x, v va z predmetlarning tartiblangan uchligi quyidagi tartiblangan juftliklar shaklida aniqianadi: « x , y >, z > . Xuddi shu kabi x,,x2,...,xn predmetlarning tartiblangan « -ligi < x ,,x 2,...,x„ > , ta’rifga asosan, « x, ,x 2,...,x„_, >,x„ > tarzda aniqianadi. Matematik mantiqda n –ar munosabat tartiblangan n -liklar to'plami sifatida aniqianadi. Ba’zan n -ar munosabat iborasi o'rniga n o'rinli munosabat iborasi qo'llaniladi. Agar munosabat bir o'rinli bo'lsa, u holda u unar munosabat, ikki o'rinli bo'lganda esa binar munosabat deb
ataladi. Unar munosabat xossa (xususiyat) deb ham yuritiladi. Adabiyotda, ko'pincha, 3-ar munosabat ternar munosabat deb nomlanadi.
Bo’sh bo’lmagan A va B to’plamlarda A to’plam elementlarini birinchi, B to’plam elementlarini ikkinchi qilib tuzilgan barcha juftliklar to’plamiga A va B to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deyiladi va u AxB ko’rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko’ra AxB={(x;y)/xA, yB} bo’ladi. Tartiblangan (x; y) juftlikni uzunligi teng ikkiga bo’lgan kortej ham deyiladi. Uzunligi n ga teng bo’lgan kortej deganda tartiblangan (a1, a2,..., an) belginin tushinamiz. Agar ikkita kortejning uzunliklari va mos komponentalari o’zaro teng bo’lsa, u holda bu kortejlani teng deyiladi.
Misol. A={1, 2, 3}, B={4, 5} bo’lsa u holda AxB={(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)} bo’ladi
4). Berilgan shartlarda tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi bilan bog‘liq masalalarni mos metrik fazolardagi biror akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi mavjudligi va yagonaligi haqidagi masala ko‘rinishida ifodalash mumkin. Qo‘zg‘almas nuqta mavjudligi va yagonaligi belgilari ichida eng sodda va shu bilan birga juda muhim belgi – bu «Qisqartirib akslantirish prinsipi» deb nomlanuvchi belgidir.
(1) tengsizlik bajarilsa, A akslantirishr ar ( Ax Ay x y , , ) £ ( ) barcha x y X , Îakslantirish berilgan bo‘lsin. Agar shunday nuqtalar uchun a Î(0;1)X metrik fazo va uni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi A son mavjud bo‘lib, qisqartirib akslantirish deb ataladiAgar A X X : tenglik bajarilsa, x nuqta A® akslantirish uchun shunday x X Î. Ax Ax n nuqta mavjud bo‘lib®x x x x n n ® ® ( r ( , 0 ) ) bo‘lsa, u holda r ar ( Ax Ax x x n n , , ) £ ( ). Har bir qisqartirib akslantirish uzluksizdir. Haqiqatan ham, agar bo‘lgani uchun Ax x deyiladi.=akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi
Agar f moslikda ikkinchi to’plamning har bir elementiga birinchi to’plamning 1 tadan ortiq bo’lmagan elementi mos qo’yilgan bo’lsa, f moslik in’ektiv deyiladi
Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so’z bilan biektiv deyiladi.
Hamma yerda aniqlangan funktsional moslik akslantirish deyiladi.
X va Y to’plamlar orasidagi f moslik biektiv akslantirish bo’lsa, X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan deyiladi
X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar teng quvvatli deyiladi.
Barcha natural sonlar sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi.
bo'lsin. f va gÎf va g sonli funksiyalar berilgan va E(f) D(f)ÌD(g) funksiyalar kompozitsiyasi deb D (f) da berilgan va har qaysi x songa g(f(x)) sonni mos qo'yuvchi yangi F(x) funksiyaga aytiladi (lot. compositio - tuzish). F funksiya gof orqali ham belgilanadi: (g°f)(x)=g(f(x)). Kompozitsiya ifodasini tuzish uchun g(x) dagi x o'rniga f funksiya ifodasi qo'yiladi.
Dirixle prinsipi, "yashiklar prinsipi" — (ya+1) elementdan iborat boʻlgan toʻplam p ta sinfga ajratilganda sinflarning kamida bittasida elementlar soni 2 tadan kam boʻlmaydi, degan tasdiq. P. Dirixle nomi bilan ataladi. D. p., odatda, oʻnta yashikka oʻn bitta quyonni bittadan joylab boʻlmaydi, degan sodda misol bilan tushuntiriladi. Shuning uchun u "yashiklar prinsipi" deb ham ataladi. D. p. sodda ifodalansa ham, sonlar nazariyasi, kombinatorika va matinning boshqa boʻlimlarida muhim teoremalarni isbotlashga asos boʻladi.
5). Gruppalash. Gruppalashlar soni. Paskal uchburchagi. Arifmetik uchburchak.
Ikkita son yig‘indisining natural darajasi. Butun sonning natural ko‘rsatkichli
ildizi. Qisqa ko‘paytirish formulalari. Yig‘indining bikvadrati. Matematik
induksiya usuli. Nyuton binomi. Binomial koeffitsientlar. Koshi ayniyati.
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar.
Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan.
Ko'pincha matematika va tabiiy fanlarda biz kabi binomial darajalarni hisoblashimiz kerak.
(x + 3) 2 yoki (2x - 7) 5
(Binomial (x + a) ga o'xshash narsa, bu kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.)
Birinchi misol, binomial kvadratlar juda oddiy, biz buni doimo bajaramiz. Ikkinchi variant esa, xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biroz ishlab chiqishni talab qiladi.
Yaxshi yangilik shundaki, ushbu kengaytmalar har doim ma'lum bir naqshlarga ega va biz ularni oson bajarilishini ta'minlash uchun foydalanishimiz mumkin.
Kvadrat: (x + a) 2
Umumiy nuqtai nazar uchun kvadratik binomiyaning kvadratik funktsiyaga ajralishi quyidagicha ko'rinadi.
Ba'zida biz ko'paytirishimiz kerak bo'lgan barcha juftlarni eslab qolish uchun "birinchi, tashqi, ichki, oxirgi" ma'nosini anglatuvchi Fo-l mnemonikasidan foydalanamiz.
Natijada har doim faqat bitta x, bitta y va bitta aralash a'zo, ikkalasini ham o'z ichiga oladi.
kengaytirilgan atamalar (x + a) 4 orqali chapdan o'ngga o'qishda koeffitsientlar 1, 4, 6, 4 va 1 ga teng.
Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,., ,.. u1 u2 un. Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan.
__k=1 u k¥ åQuyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,..., ,... u1 u2 un . Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan U1+U2+…+Un+…=
ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb ataladi.
Sn= u1+ u2+…+ un yig‘indiga qatorning xususiy yig‘indisi deyiladi.
Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan S1, S2,…,SN,…
ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi.
|
