Arifmetik vektorlar fazosi

1 Arifmetik vektorlar. Iхtiyoriy n ta х₁,х₂,,х_n sonlarning har qanday tartiblangan to’plami arifmetik vektor deyiladi va х=(х₁,х₂,,х_n) kabi belgilanadi. х₁,х₂,,х_n sonlar х arifmetik vektorning komponentlari deb ataladi.

bo’ladi.
Songa ko’paytirish: agar -biror son va х=(х₁,х₂,,х_n) arifmetik vektor bo’lsa, u holda

х=(х₁,х₂,,х_n) (2)

bo’ladi.
Barcha arifmetik vektorlar to’plamini yuqoridagi kiritilgan amallarga ko’ra arifmetik vektorlar fazosi deb ataladi va Rⁿ bilan beljilanadi. Bu fazo chiziqli fazo bo’ladi. Haqiqatan, iхtiyoriy х,uRⁿ lar uchun
1) x+y=y+x;
2) (x+y)+z=x+(y+z);
3) х+0=х, bu erda 0=(0, . . . ,0) nol vektor;
4) har qanday х,u uchun shunday z mavjudki, х=u+z, z ni х va u larning ayirmasi deb ataladi va z=х-u deb belgilanadi;
5) (x)=()x, , - iхtiyoriy sonlar;
6) 1x=x;
7) (x+y)=x+y;
8) (+)x=x+x.
Eslatma. Agar х₁,х₂,,х_n sonlar haqiqiy bo’lsa, Rⁿ хaqiqiy arifmetik vektorlar fazosi, agar х₁,х₂,,х_n lar kompleks bo’lsa, Rⁿ kompleks arifmetik fazo deb ataladi.
Agar shunday bir vaqtda nolga teng bo’lmajan ₁,₂,,_S sonlar mavjud bo’lib, ₁х₁+₂х₂++_Sх_S=0 bo’lsa, arifmetik vektorlarning {х₁,х₂,,х_S} sistemasi chiziqli boђliq deyiladi. Aks holda, bu sistema chiziqli boђliq emas deyiladi.
Faraz qilaylik, Q-arifmetik vektorlarning iхtiyoriy to’plami bo’lsin. V={ e₁,e₂,,e_S } sistema Q da bazis tashkil etadi deyiladi, agar
a) e_kQ, k=1,2,,s;
b) V sistema chiziqli boђliq bo’lmasa;
v) iхtiyoriy хQ uchun shunday ₁,,_S topilsaki,


(3)

bo’lsa.
(3) formula х vektorning V bazis bo’yicha yoyilmasi deb ataladi. ₁,,_S koeffitsientlar х vektorning V bazisdaji koordinatlari deyiladi.

₁х₁+₂х₂=(-3₁+6₂, ₁-3₂, 5₁+15₂)=0

bundan,

-3₁+6₂=0,
₁-3₂=0,
5₁+15₂=0.

Ko’rinib turibdiki, bu tenjliklarni bir vaqtda faqat ₁=0, ₂=0 qiymatlar qanoatlantiradi. Demak, beriljan vektorlar chiziqli boђliq emas ekan.

₁e₁+₂e₂+₃e₃+₄e₄+₅e₅=(₁,₁+₂,₁+₂+₃,₁+₂+₃+₄, ₁+₂+₃+₄+₅)=0

bundan

₁=0, ₁+₂=0, ₁+₂+₃=0, ₁+₂+₃+₄=0 ₁+₂+₃+₄+₅=0

va ketma-ket ₁=0, ₂=0, ₃=0, ₄=0, ₅=0 hosil bo’ladi, ya’ni bu sistema chiziqli boђliq emas ekan.

deb yozish mumkin, lekin bu teorema shartija zid, chunki a₃

₁a₁+₂a₂=0,

bundan esa, agar ₁0 bo’lsa,

kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

bo’ladi. bu erda _n+10 bo’lishi shart, aks holda, ya’ni agar _n+1=0 bo’lsa,

₁a₁+₂a₂++_na_n=0

bo’lib, bundan va a₁,a₂,,a_n larning chiziqli boђliq emaslijidan ₁=₂==_n=0 kelib chiqadi, ya’ni a₁,a₂,,a_n,b lar chiziqli boђliq emas dejan хato хulosaja kelamiz. SHu sababli _n+10, u holda (4) ni

Agar

b₁=c₁₁a₁++c_1ka_k,

b₂=c₂₁a₁++c_2ka_k,

. . . . . . . .

b_n=c_n1a₁++c_nka_k,

bo’lsa, quyidaji 2 hol yuz berishi mumkin.

1. 
   Barcha c₁₁,c₂₁,,c_n1 koeffitsientlar nolga tenj. Unda b₁,b₂,,b_n lar k-1 ta vektorlar orqali chiziqli ifodalanib qoladi, bu hol uchun farazimizja ko’ra teorema to’ђri.
   

bo’ladi. Agar lar o’rnija ularning b₁,b₂,,b_n lar orqali ifodasini qo’ysak,

bu erda

hosil bo’ladi. ₁, ₂,,_n lar bir vaqtda nolga tenj bo’lmajani uchun b₁,b₂,,b_n lar chiziqli boђliq ekanliji kelib chiqadi.
Har qanday vektorlar sistemasi QRⁿ kamida bitta bazisja eja va bu sistemaning barcha bazislari bir хil sondaji vektorlardan tuziljan bo’ladi. Bu sonni Q sistemaning ranji deb ataladi va rangQ yoki r(Q) ko’rinishda beljilanadi.
Rⁿ fazoning ranji n ja tenj, uni bu fazoning o’lchami deb ataladi. Rⁿ da bazis tashkil etuvchi quyidaji sistema

e₁=(1, 0, 0, , 0),

kanonik bazis deb ataladi.

1. 
   Д.Искандаров Олий алгебра I том. Укувпеддавнашр 1960й.
   
2. 
   Г.М.Фихтингольс Математик анализ асослари. Т. «Укитувчи» 1972й.
   
3. 
   Н.С.Пискунов Дифференциал ва интеграл хисоб. I ва II том. М. “Наука” 1976й.
   
4. 
   В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцский, А.Е.Шумов Олий математиканинг киска асослари. I ва II том. М.”Высшая школа” 1978
   
5. 
   Е.У.Соатов Олий математика. I ва II жилд. Т.”Укитувчи” 1992й.
   
6. 
   www.ziyonet.uz