1
O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
MATEMATIKA FAKULTETI
TALABASI
ISKANDAROV JAVOHIR
ning Matematik Modellashtirish fanidan “Tutash muhitlarda
to’lqinning tarqalishi. To’lqinlar va ularning turlari ”
mavzusida yozgan
MUSTAQIL ISHI
2
3
REJA:
1. To’lqin tenglamsining umumiy yechimi
2. Yassi to’lqinlar
3. Tarixiy ma’lumot
4
To’lqin tenglamasining umumiy yechimi
Maksvell tenglamasiga ko’ra , bir o’lchamli skalyar to’lqin tenglamasining
hosilasini quyidagicha yozamiz.
( * )
To’lqin tenglamasining eng umumiy yechimi o’ngga va chapga harakatlanayotgan
ikkita to’lqinning yig’indisi ko’rinishida bo’ladi.
(1)
Keling birinchi bo’lib 𝐹(𝑧 − 𝑐𝑡) ga qaraymiz. To’lqin “unga harakatlanayapti” degani
to’lqin uchidagi istalgan nuqta unga harakatlanayapti degani. O’sha uch har doim
𝑧 − 𝑐𝑡 ning bir xil qiymatiga mos keladi. Bu degani 𝑧 − 𝑐𝑡 o’zgarmas.
(2)
Har ikkala tarafdan t bo’yicha hosila olamiz.
(3)
(4)
(5)
5
Bundan kelib chiqadiki to’lqinning 𝐹(𝑧 − 𝑐𝑡) qismi o’nga 𝑐 tezlik bilan
harakatlanyapti. Xuddi shunday ko’rsatish mumkinki 𝐺(𝑧 + 𝑐𝑡) qismi chapga −𝑐
tezlik bilan harakatlanyapti.
Endi (1) to’lqin tenglamasiga yechim ekanligini isbotlaymiz. 𝐸
𝑦
(𝑧, 𝑡) ni t va z
bo’yicha ikkinchi tartibli hosilasini hisoblaymiz va hisoblashimiz kerak. Keyin ular
to’lqin tenglamasini qanoatlantirishini ko’rsatolamiz. Dastavval ikkita yordamchi
tenglamalarni belgilaymiz.
(6)
(7)
Bularni (1) ga qo’ysak
(8)
(6) va (7) ga ko’ra:
Xuddi shunday
6
T bo’yicha qilganlarimizni z bo’yicha qilamiz.
Endi (12) va (16) ni (*) ga qo’yamiz.
Demak biz isbotladikki o’nga va chapga harakatlanayotgan to’lqinlar kombinatsiyasi
(yoki bittasi) to’lqin tenlamasining yechimi ekan. Agar biz o’ngga yoki chapga
o’zgarmas tezlik bilan harakatlanayotgan elektromagnit to’lqinni ololsak u o’sha
yo’nalishda o’zgarmas 𝑐 tezlik bilan cheksiz harakatlanishi kerak. Bu natija shuni
ko’rsatadiki istalgan to’lqin ochiq fazoda bir xil yaxshi tarqaladi.
Yassi to’lqin
Yassi to’lqin faqat bitta yo’nalishga bog’langan. Quyidagi rasmda yassi to’lqin 𝑧
yo’nalishi bo’yicha tarqalyapti.
7
1-rasm. Yassi to’lqin
𝐸
𝑦
(𝑧) x va y yo’nalishga bog’liq emas.
To’lqin uzunligi 𝜆 ketma-ket kelgan do’ngliklar orasidagi masofa. To’lqin x va y
yo’nalishga bog’liq bo’lmagani uchun uning tavsifi quyidagicha bo’ladi.
Agar biz to’lqin garmonikligini bilsak, quyidagiga ega bo’lamiz
Bu tenglama to’lqin tenglamasini qanoatlantiradimi yo’qmi tekshiramiz.
(21) va (22) ni to’lqin tenglamsiga qo’ysak:
Soddalashtirsak:
8
k- to’lqin soni
(24) quyidagicha soddalashadi:
Bu bir o’lchamli Helmholtz tenglamasi deb ataladi. U mashhur yechimi bo’lgan
differinsial tenglama:
Bu natijaga vaqtga bog’liqlikni qo’shsak:
Yoki
Ko’rib turganizdek bu funksiya (1) tenglamaga o’xshaydi. Demak to’lqin
tenglamasining yechimi bo’lishi aniq. (29) tenglama yechim ekanligidan quyidagi
munosabat o’rinli bo’lishi kerak.
9
Musbat ishoralar o’nga harakatlanayotgan to’lqin, manfiy ishoralar chapga
harakatlanayotgan to’lqin.
Hozir bizda
𝐸(𝑧, 𝑡) ni fazoviy holati va vaqti tasvirlaydigan turli o’zgaruvchilar bor:
To’lqin uzunligi 𝜆 , to’lqin soni 𝑘 , siklik chastota 𝜔 ,chastota 𝑓 , davr 𝑇 , va fazaviy
tezlik
𝑣
𝜑
. ikkinchi rasm bu 6 ta o’zgaruvchi orasidagi munosabatni ko’rsatadi. Agar
siz shulardan ikkitasini bilsangiz qolganini hisoblay olasiz
2-rasm.
10
Tarixiy ma’lumot: Guglielmo Marconi (1874-1937) Italiyalik ixtirochi va elektr
enjiner. U hayotini radioto’lqin uzatishni o’rganishga bag’ishladi va u radioning
ixtirochisi hisoblanadi. 1909-yilda “simsiz telegraf” (radio) ni rivojlantirgani uchun
fizikada nobel mukofotini olgan.
11
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
www.wikipedia.org
2.
www.library.com
3.
www.brown.edu
4.
www.sciencedirect.com
5.
www.scholar.valpo.edu
E’TIBORINGIZ UCHUN
RAHMAT
| 