|
I BOB. ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI YECHISH USULLARI TASNIFI
|
| bet | 2/3 | | Sana | 18.05.2024 | | Hajmi | 35,16 Kb. | | #241456 |
Bog'liq ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMA UCHUN QO\'YILGAN CHEGARAVIY MASALANI (2)I BOB. ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI YECHISH USULLARI TASNIFI;
ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALANING UMUMIY QO`YILISHI;
ODT uchun ChMni yechishda samarali taqribiy va sonli usullar ishlab chiqilgan. Taqribiy usullarga kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar usullari, bundan tashqari samarali va universal bo`lgan Galyorkin usuli kiradi.
ODT uchun chegaraviy masalalarni sonli echish usullari ayirmali echimni tuzishga asoslangan. Ayirmali usullar o`zining qulayligi va o`ta universalligi sababli keng qo`llaniladi.
2. 2-tartibli oddiy differentsial tenglamalar uchun chegaraviy masalaning umumiy qo`yilishi
ChM quyidagidan iborat. Quyidagi differentsial tenglamaning
ikkita chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi echimini topish talab etiladi, bu yerda p(x), q(x), f(x)C[a,b] – berilgan funktsiyalar, - berilgan sonlar, ya`ni
Agar (2) shartlarda bo`lsa, u holda bu chegaraviy shartlar birinchi tur bo`ladi. Agar bo`lsa, u ikkinchi tur chegaraviy shart deyiladi. Umumiy holda bo`lganda, (2) shartga uchinchi tur chegaraviy shart deb ataladi.
Differensial tenglamalar, oddiy differensial tenglamalar, differensial tenglamaning tartibi, chiziqli differensial tenglamalar, umumiy yechim, xususiy yechim, differensial tenglamani yechish usullari, aniq usullar, taqribiy analitik usullar, sonli usullar.
Ma'lumki, ko‘pincha amaliy masalalarni yechishda, dastlab uning matematik modeli fizik, mexanik, kimyoviy va boshqa qonuniyatlar asosida tuziladi. Matematik model asosan algebraik, differensial, integral va boshqa tenglamalardan iborat bo‘ladi. Ayniqsa, oddiy differensial tenglamalar juda ko‘p muhandislik masalalarini yechishda matematik model rolini o‘ynaydi. Shuning uchun, differensial tenglamalarning ma'lum shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish katta ahamiyatga ega.
Differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga bo‘linadi: oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarga keyinroq batafsil to‘xtalamiz.
Oddiy differensial tenglamalarda faqat bir o‘zgaruvchiga bog’liq funksiya va uning hosilalari qatnashadi, ya'ni
f (x, y, y ’,..., y(n)) = 0 (6.1)
(6.1) tenglamada qatnashuvchi hosilalarning eng yuqori tartibi differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Agar tenglama izlanuvchi funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa, unga chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi x va n ta c1,c2,c3,...,cn o‘zgarmaslarga bog’liq ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Masalan (6.1) tenglamaning umumiy yechimi y = j(x,c1,c2,...,cn) ko‘rinishdagi funksiyalardan iborat . Agar c1,c2,c3,...,cn o‘zgarmaslarga muayyan qiymatlar berilsa, umumiy yechimdan xususiy yechim hosil qilinadi. Xususiy yechimni topish uchun c1,c2,c3,...,cn o‘zgarmaslarning mos qiymatlarini aniqlash lozim. Buning uchun esa yechim qanoatlantiruvchi qo‘shimcha shartlarga ega bo‘lishimiz kerak. Agar differensial tenglama n-tartibli bo‘lsa, yagona xususiy yechimni topish uchun xuddi shuncha qo‘shimcha shartlar kerak. Hususan, birinchi tartibli tenglama f(x, y, y') = 0 ning umumiy yechimi y = j(x, c) dagi c o‘zgarmasni topish uchun bitta qo‘shimcha shartning berilishi kifoya.
Qo‘shimcha shartlar berilishiga ko‘ra differensial tenglamalar uchun ikki xil masala qo‘yiladi:
Koshi masalasi
Chegaraviy masala.
Agar qo‘shimcha shartlar bitta x = x0 nuqtada berilsa, differensial tenglamani yechish uchun qo‘yilgan masalani Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi qo‘shimcha shartlar boshlang’ich shartlar, x = x0 nuqta esa boshlang’ich nuqta deb ataladi.
Agar qo‘shimchi shartlar erkli o‘zgaruvchi argumentlarning ikki yoki undan ko‘p qiymatlarida berilsa, bunday masalaga chegaraviy masala deyiladi. Qo‘shimcha shartlar esa chegaraviy shartlar deb ataladi.
Oddiy differensial tenglamalarni yechishning chizma, analitik, taqribiy va sonli yechish usullari mavjud.
Chizma usullarda differensial tenglamaning integral chiziqlarini geometrik tasviri yasaladi. Bunda hosila o‘zgarmas bo‘lgandagi int egral chiziqlar-izoklinalar tuziladi. Bu usuldan asosan sodda ko‘rinishdagi differensial tenglamalarni yechishda foydalaniladi.
Analitik usullarda differensial tenglamaning yechimlari aniq formulalar orqali aniqlanadi.
Taqribiy usullarda differensial tenglama va qo‘shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonroq masalaga keltiriladi.
Sonli usullarda esa yechim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali ko‘rinishida olinadi. Albatta, bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada, sonli usullar vositasida olingan yechim taqribiy bo‘ladi.
Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning yechimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bo‘lganligi uchun, amalda ko‘pincha ularni sonli usullar yordamida taqribiy hisoblanadi.
Quyida Koshi masalasini sonli yechish usullaridan na'muna sifatida Eyler va Runge-Kutta usullarini ko‘rib chiqamiz.
2.1 Oddiy differensial tenglamalar uchun qo'yilgan chegaraviy masalalarni Galyorkin usuli bilan yechish
Galyorkin usuli, oddiy differensial tenglamalar uchun bir yechim usulidir. Ushbu usul, differensial tenglamalarni ularning qo'yilgan chegaralari asosida yakapproximatsiya qilishga imkon beradi. Galyorkin usuli, tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishda qo'llaniladi va ularda yuqori tartibli yoki keskin chegaralar mavjud bo'lganda foydalanish uchun ideal bo'lishi mumkin.
Galyorkin usulini oddiy differensial tenglamalarni yechish jarayonida quyidagi bosqichlar bilan amalga oshirish mumkin:
Tenglamaning chegaralarini aniqlash: Tenglamadagi chegaralar, masalan, sathdagi nuqtalar va chegaraviy shartlarning qiymatlari belgilanishi kerak.
Chegaraviy funksiyalar tayyorlash: Galyorkin usuli bilan, tenglamadagi funksiyaning chegaraviy xususiyatlarini (masalan, asosiy qiymatlar, birinchi batareya qiymatlari, chegaraviy boshlang'ich shartlar va ko'rsatkichlar) ifodalovchi chegaraviy funksiyalar tayyorlanishi kerak.
Tayyorlangan chegaraviy funksiyalarni tenglamaga qo'yish: Chegaraviy funksiyalarni asosiy differensial tenglamaga qo'yib, o'zaro birlashmalarni hisoblash orqali yakapproximatsiya yechimini topish mumkin.
Yakapproximatsiya yechimini topish: Chegaraviy funksiyalarni asosiy differensial tenglamaga qo'yib, yakapproximatsiya yechimini topish uchun chegaraviy funksiyalarni hisoblash va integrallash kerak.
Galyorkin usuli chegaraviy masalalarni yechishda oddiy differensial tenglamalar uchun samarali yechimlar beradi. Ushbu usulni to'g'ri qo'llab-quvvatlash va chegaraviy masalalarni to'g'ri yechish uchun matematikani tushunish va uning amaliyotga qo'llanishini bilish zarur.
Galyorkin usuli oddiy differensial tenglamalarni yechishda quyidagi formulalardan foydalaniladi:
Chegaraviy funksiyalar tayyorlash:
Chegaraviy sathdagi nuqta uchun:
y(x0) = y0
Chegaraviy boshlang'ich qiymat uchun:
y'(x0) = y'0
Chegaraviy boshlang'ich shart uchun:
Yakapproximatsiya yechimini topish:
Yaklaşık yechim formulasi:
Bu formulalar, chegaraviy masalalarni Galyorkin usuli yordamida yechishda asosiy bo'lib, chegaraviy funksiyalar va yaklaşık yechimning hisoblanishida qo'llaniladi. Shuningdek, formulalarda F(x, y(x), y'(x)) ifodasi, tenglamadagi chegaralar va shartlarga bog'liq bo'lgan chegaraviy funksiyaning ifodasini anglatadi.
Bundan tashqari, chegaraviy masalalarni yechishda Galyorkin usuliga qo'shimcha formulalar va algoritmlar mavjud bo'lishi mumkin, ammo ulardan foydalanish uchun ma'lumotlar va misollar kerak bo'ladi.
algoritmning dastur matni
|
| |
