O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI URGANCH FILIALI
“Kompyuter injiniringi” fakulteti “Kompyuter injiniringi” kafedrasi 912-21 guruh talabasi Ma’lumotlar tuzilmasi va algoritmlari fanidan
mustaqil ishi
Urganch 2022
XESHING MASSIYASI ASOSIDA WFTA ISHLAB CHIQISH
Kontekst. Ikkining butun sonining o'lchamlari uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFT ni samarali hisoblash usuli ko'rib chiqildi. Xeshlash massiviga asoslangan Winograd Furier o'zgartirish algoritmini yanada rivojlantirish taklif qilindi. Tadqiqot ob'ekti DFT ning asosiy matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirish jarayonidir. Tadqiqot mavzusi blok-tsiklik tuzilmalarga ikkining butun sonining o'lchamlari uchun DFT ning asosiy matritsasini qayta shakllantirish texnikasida yotadi.
Maqsad. Ishning maqsadi - asosiy kvadrat matritsaning chap aylanma submatritsalarining strukturaviy xususiyatlarini tahlil qilish
Xeshlash massivlari yordamida N-2' o'lchamlari uchun W. Usul. Maqolada almashtirishning tsiklik parchalanishiga asoslangan ikkita butun kuch o'lchamlari uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFT ni samarali hisoblash texnikasi ko'rib chiqiladi. ning siqilgan tavsifi uchun xeshlash massivi taklif qilingan
Diskret bazis matritsasining blok-tsiklik tuzilishi va ikkita butun sonning o'lchamlari uchun DFT ni samarali hisoblash uchun Natijalar. Xeshlash massivlari asosida ikkita butun kuchning o'lchamlari uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFni samarali hisoblash uchun diskret asosli matritsaning umumlashtirilgan blok-tsiklik tuzilishi aniqlandi. Taklif etilayotgan texnika DFTni parallel dasturlash va uni parallel tizimlarda amalga oshirish uchun dolzarbdir
Xulosa. DFT bazaviy matritsasining umumiy blok-tsiklik strukturasi ikki ko'rsatkich qiymatining oshishi bilan muntazam ravishda shakllanadi va DFT ning samarali vositalarini ishlab chiqishda amaliyotda foydalanish uchun tavsiya etiladi. Keyingi tadqiqot istiqbollari blokni shakllantirishni o'z ichiga oladi. -ixtiyoriy o'lchamlar uchun DFT bazis matritsasining siklik tuzilishi Kalit so'zlar: tez Furye konvertatsiyasi, Vinograd Furye o'zgartirish algoritmi, xeshlash massivi, blok-tsiklik struktura, siklik konvolyutsiya
NOMENKLATURA
CC - tsiklik konvolyutsiya;
DFT diskret Furye konvertatsiyasi;
FFT tez Furye konvertatsiyasi;
LC-chap-aylanma,
WFTA-Winograd Fourier Transform Algoritmi
diskret funksiyalarining argumentlari
eksponensial asos; D() xeshlash massivi.
D'(n) - soddalashtirilgan xeshlash massivi.
xeshlash massivining kichik massiv elementi d-xeshlash massivining pastki qatorining soddalashtirilgan elementi
g-ibtidoiy ildiz;
xeshlash massivining pastki qatorlari soni
L-pastki qatordagi elementlar soni
m-ko'paytirishlar soni;
N-konvertatsiya uzunligi,
xeshlash massivining n o'lchami
P-tutq son;
-qo'shimchalar soni; Diskret Furye konvertatsiyasining W eksponensial asosi
Diskret Furye konvertatsiyasining Yik-chiqish ma'lumotlari;
n -xeshlash massivining o'lchami; p-tutq son,
qo'shimchalar soni;
Diskret Furye konvertatsiyasining W eksponensial asosi
X(k) diskret Furye konvertatsiyasining chiqish ma'lumotlari; X1(k) diskret Furyening chiqish ma'lumotlarining real qismi
aylantirish;
X2(k)-diskret Furyening chiqish ma'lumotlarining xayoliy qismi
aylantirish;
x(n)-diskret signalning chekli N uzunlikdagi kirish ma'lumotlari, diskret ko'rsatkichli bazisning kosinus funktsiyalari belgilarining Ze(k,n) matritsasi;
Zs(k,n)-diskret eksponensial asosning sinus funksiyalari belgilari matritsasi;
- almashtirishlar to'plami.
turli elektron tizimlarda keng qo'llaniladigan sof chastotalar kombinatsiyasi shaklida taqdim etilgan. DFT FFT ning samarali algoritmlari fan va texnikaning ko'plab sohalarida keng qo'llaniladi. DFT1, 21 asosining davriylik va simmetriya xususiyatlaridan foydalanadigan FFT algoritmlarining ko'plab o'zgarishlari mavjud.
Samarali algoritmlarni ishlab chiqishning yana bir yo'nalishi FFTni tsiklik konvolyutsiyalar orqali hisoblash imkoniyatidir [3, 4]. 1968 yil CM. Rader N-1 uzunlikdagi tsiklik konvolyutsiya orqali asosiy uzunlikdagi DFT ni samarali hisoblash imkoniyatini taklif qildi [5]. Keyingi rivojlanish Winograd Furier Transform Algoritm [6, 7] tomonidan, ayniqsa, p tub sonning kuch o'lchamini o'zgartirish uchun taqdim etilgan. Winograd algoritmlari ma'lumotlarni qayta indekslashdan foydalanadi, bu erda o'ziga xos qayta tartiblash Xitoy qoldiqlari teoremasi, matritsalarning to'g'ridan-to'g'ri mahsulotining xususiyatlari va tez siklik konvolyutsiya algoritmlariga asoslanadi. Konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFT algoritmlari.
KIRISH
DFT - axborot texnologiyalaridagi asosiy tushunchalardan biri Ushbu kontseptsiyaga ko'ra davriy yoki tartibsiz signaldir
p ma'lumotlarini qayta indekslash kuchi, bu erda o'ziga xos qayta tartiblash Xitoy qoldiq teoremasi, matritsalarning to'g'ridan-to'g'ri mahsulotining xususiyatlari va tez siklik konvolyutsiya algoritmlariga asoslanadi. Konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFT algoritmlari to'plangan va kitoblarda to'liq ko'rib chiqilgan [8, 9].
Ishning maqsadi - xeshlash massivlari yordamida N-2 konvertatsiya o'lchamlari uchun W bazaviy kvadrat matritsaning chap aylanma submatritsalarining strukturaviy xususiyatlarini tahlil qilish.
1 MUAMMOLAR BAYORATI
WFTA samarali algoritmlarining dastlabki ma'lumotlari: x(n) - chekli uzunlikdagi kirish ma'lumotlari N-21 (>2, -0,1 N-1); m- real ko'paytirish raqamlari, s-xisoblash uchun haqiqiy qo'shimchalar soni X(n) tez siklik konvolyutsiyalar orqali DFT ning chiqish ma'lumotlari. Biroq, WFTA algoritmlari DFT asos matritsasining ba'zi tartibsiz tuzilmalariga olib keladi. Bu algoritmni haqiqiy dasturiy yoki apparat ta'minotiga qo'llashni murakkablashtiradi va m, s operatsiyalar soniga mos keladi.
Tadqiqot vazifasi DFT ning asosiy matritsasini muntazam chap aylanma tuzilmalarga o'zgartirishni ishlab chiqishdan iborat: Asosiy matritsani reformatsiya qilishning samarali texnikasi.
Siklik konvolyutsiyalar orqali hisoblash uchun DFT quyidagi parametrlarga ega bo'lgan D(n) xeshlash massividan foydalanadi: n- xeshlash massivining o'lchami, k - xeshlash massivining pastki qatorlari soni, Li- pastki qatordagi elementlar soni . K, Li qiymatlari tsiklik konvolyutsiyalarning minimal miqdori va o'lchamlarini va samarali algoritmning m, s operatsiyalari sonining mosligini belgilaydi.
2 ADABIYOTLARNI KO'RISH
WFTA DFT algoritmining hisoblash murakkabligi uchun muhim nazariy natijaga ega. Nazariy algoritmni haqiqiy dasturiy yoki apparat tatbiqiga aylantirish uchun biroz kuch sarflandi. Shuning uchun bu algoritmlar ko'plab mualliflar tomonidan tadqiq qilinadi va yangilanadi [10-13].
S. Zohar [14, 15] da WFTA batafsil ishlab chiqilgan algoritm arifmetik amallar ketma-ketligini qulay, ixcham, grafik tasvirlangan ketma-ket jadvallar qatori bilan taqdim etilgan. Qog'ozning to'qqizdan bir qismi [14, 15] N = 8, 16 o'lchamdagi algoritmlarning asosiy DFT-ni etarli darajada isbotlaydi. N 8, 16 uchun ishlab chiqilgan jadvallarda N-2 (>2) ning ibtidoiy ildizlari yo'qligi sababli asoratlar mavjud. S. Zohar tomonidan ishlab chiqilgan WFTAda N2 (> 2) ibtidoiy ildizlarga ega emasligi sababli murakkablik mavjud. Tsiklik guruhning ibtidoiy bo'lmagan elementlari to'plamning faqat bir qismini hosil qiladi.
Maqolada [14, 15] N 16 2 holatida buni qayta belgilash sxemasining modifikatsiyasi ko'rib chiqildi. Ibtidoiy ildiz g= 3 ularning (1, N) oralig'idagi elementlarning yarmini (1, N) quvvatga ega ( mod N). Buni (r=gP mod N) va (sg mod N) boshqa yarmiga aniq ta’rifi bilan qo‘llasa, muallif 1-jadvalda ko‘rsatilganidek, quyidagi matritsani oladi.
Ushbu ishning murakkabligini hisobga olgan holda, Jadval: 1 ikki bosqichda olinadi. Natijada, DFT S. Zohar uchun
Shuning uchun N = 2' (>2) o'lchamdagi DFT ibtidoiy ildizlarga ega emas. Tsiklik guruhning ibtidoiy bo'lmagan elementlari to'plamning faqat bir qismini hosil qiladi. Shunday qilib, tsiklik konvolyutsiyalar orqali hisoblash uchun DFT ning asosiy matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirishning samarali texnikasi boshqa shakllardan foydalanishni talab qiladi.
3 MATERIALLAR VA USULLAR
DFT kirish signali qiymatlari va murakkab trigonometrik funktsiyalarning mahsuloti yig'indisiga asoslanadi. DFT to'g'ridan-to'g'ri quyida keltirilgan tenglama bilan hisoblanadi
N-1 X(k) = x(n)W, k=0,1,..., N-1, 0
bu erda Vt exp(-2x/N); X(k), x(n) chekli uzunlikdagi chiqish va kirish ma'lumotlari N diskret signallar. DFT (1) ning diskret eksponensial asosi W haqiqiy va xayoliy qismlar bilan ifodalanishi mumkin.
X(k)=X1(k)+x(0)-jX2(k), k=0,1 N-1. (2)
qayerda
N-1 X1(k) = x(n) cos(2nkn/N), k=0,1 N-1, (3)
N-1
X2(k) = x(n) sin(2xkn/N), k=1, N-1. (4)
X1(k) va X2(k) qismlarini (3) hisoblagandan so'ng X() DFT komponentlarining barcha N ni olish mumkin.
Tsiklik konvolyutsiyadan foydalangan holda samarali FFT algoritmi DFT ning haqiqiy X1(k) va xayoliy X2(k) qismlari matritsalarining alohida-alohida olingan parchalanishiga [16] asoslangan. Diskret eksponensial bazis I funksiyalarning argumentlarini tahlil qilaylik.
1-jadval - N = 16 o'lcham uchun DFT argumentlarining asosiy matritsasining LC tuzilishi
Bazis funksiyalar W, N davriydir. Shuning uchun davriy xossaga ko‘ra, asosiy funksiyalarning X (kn) argumentlari matritsasi tarkibiy qismlarni o‘z ichiga oladi.
Xa(k,n)-(k) modN-4. -N-1. (6)
har bir qism (3, 4) mos ravishda matritsaga teng
argumentlar.
argumentlar uchun DFT ning asosiy funksiyalarining d - guruh ko'rinishlarining parchalanishi
Zo(7)=(1) (0) (+-)(+,+.-.-), Zs(7)=(0) (+) (+, +) (+‚±‚—‚—) ,
D(15) xesh massividan foydalanib, biz soddalashtirilgan asos argumentlarining quyidagi matritsalarini kamaytiramiz va aniqlaymiz.
2, 3, 4-jadvallarda ko'rsatilganidek, kosinus qismi uchun belgini qo'shish. Xulosa qilib aytganda, N= 16 o'lcham uchun DFT ning ishlab chiqilgan algoritmi bitta to'rt nuqtali tsiklik konvolyutsiyani va ikkita ikki nuqtali tsiklik konvolyutsiyani hisoblashga olib keladi. Bu haqiqiy kirish ma'lumotlari uchun m-8 real ko'paytirishni talab qiladi
2-jadval. Kosinus/sinus qismi uchun asosning soddalashtirilgan argumentlari matritsasi, N=16
42. 43. N-1. qatorlar/ustunlar bo'yicha matritsa (7), bu erda algebraik tuzilish. > boshqa bilan
almashtirish operatsiyasi, strukturaga izomorf bo'ladi Natijada Din) w o'rnini bosishning siklik parchalanishi hosil bo'ladi. Tsikl belgilaridan foydalanib, biz shaklda yozishimiz mumkin
Din (dddXch dy dhe) (d)(8) bu yerda k pastki massivlar soni, d- kichik massivning elementi, L, kichik massivdagi elementlar soni, n—massivning o‘lchami. Shakl (8) DFT ning bazis matritsasi strukturasidagi chap aylanma submatritsalar (LC) to'plamining qisqacha ko'rinishi bo'lib, Din xesh massivi deb ataladi.
N 2 o'lchamlar uchun DFT argumentlari (7) matritsasining satr/ustunlarini indekslash uchun D(n) xeshlash massivini ko'rib chiqamiz. DFT asosining simmetriya va davriyligi xususiyatlari d ning komponentlarini ifodalovchi qiymatlarning pasayishiga olib keladi. +1,-1,0 elementlarning qiymatini o'z ichiga olgan Zc(k,n) va Zs(k,n) belgilarning tegishli submatritsalarini to'ldirish bilan LC submatritsalari (qisqa+,-, 0 ni ko'rsating). d' argumentlarining soddalashtirilgan matritsa komponentlari uchun aniqlanadi
o'lchamlar N-2 operatsiyalar ketma-ketligi (9, 10) orqali: d-N-(d, modN), agar (d, modN)>N/2; (9)
D(n) ning pastki massivlari Hankel doiraviy submatritsalarini W bazaviy kvadrat matritsasining strukturasida takrorlaydi, bu esa Z(n)D'(n) siklik konvolyutsiyalarni va x(n) kirish ma’lumotlarini hisoblashga olib keladi. Masalan, N = 16 o'lchamdagi DFT xeshlash massiviga ega:
D(15) (8) (4, 12) (2,6) (10, 14) (1,3,9, 11) (15, 13, 7, 5).
DFT simmetriya xususiyatidan foydalanib, soddalashtirilgan xeshlash massivi D'(8) soddalashtirilgan d' komponentlarini o'z ichiga oladi, ular Ze(k,n) belgilarining tegishli komponentlari va Zs(k,n) komponentlari bilan to'ldiradi:
D'(7)=(0) (4) (2, 2) (1,3,1,3),
Ze(7)=(1) (0) (+-) (+,+, -,-), Zs(7)=(0) (+) (+,+) (+,+, -,-)
D(15) xeshlash massivini qo'llash orqali biz 2, 3, 4-jadvallarda ko'rsatilganidek, kosinus qismi uchun belgi qo'shilgan holda soddalashtirilgan asos argumentlarining quyidagi matritsalarini qisqartiramiz va aniqlaymiz.
Xulosa qilib aytganda, N = 16 o'lchamdagi DFT ning ishlab chiqilgan algoritmi bitta to'rt nuqtali tsiklik konvolyutsiyani va ikkita ikki nuqtali tsiklik konvolyutsiyani hisoblashga olib keladi. Bu haqiqiy kirish ma'lumotlari uchun m = 8 haqiqiy ko'paytirishni talab qiladi.
AVPFni IJODIY MASSIV ASOSIDA RIVOJLANISH.
dolzarbligi. Ikkining butun quvvati hajmlari uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFTni samarali hisoblash usuli ko'rib chiqiladi. Tadqiqot ob'ekti - asosiy DPF matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirish jarayoni. Tadqiqot predmeti butun quvvatli ikki jildli DPF ning asosiy matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirish usuli hisoblanadi.
Ishning maqsadi - N=2 o'zgartirish hajmlari uchun asosiy kvadrat matritsa I strukturasida chap aylanma submatritsalarni joylashtirishning o'ziga xos xususiyatlarini hosil qiluvchi massivlardan foydalanish asosida tahlil qilish. Usul. Maqolada teng butun sonlar hajmlari uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda samarali DFT hisoblash texnikasi ko'rib chiqiladi.
tsiklik almashtirish jadvaliga asoslangan ikkinchi quvvat. Qisqacha tavsif va uchun ijodiy massivdan foydalanish taklif etiladi
DPF diskret tayanch matritsasining blok-tsiklik strukturasini ikkining butun quvvati hajmlarini hisoblash. Natijalar. Generator massivlar asosida ikkita butun quvvat hajmlari uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFTni samarali hisoblash uchun diskret bazis matritsasining umumiy blok-tsiklik tuzilishi aniqlanadi. Taklif etilgan usul tegishli
DFTni parallel dasturlash va parallel kompyuter tizimlarida amalga oshirish
Xulosa. Asosiy DPF matritsasining umumiy blok-tsiklik tuzilishi ikkining butun soni qiymatining oshishi bilan muntazam ravishda oshiriladi va samarali DPF vositalarini ishlab chiqishda amaliy foydalanish uchun tavsiya etiladi. Keyingi tadqiqotlar istiqbollari ixtiyoriy o'lchamlar uchun asosiy DPF matritsasining blok-tsiklik tuzilmalarini shakllantirishni o'z ichiga oladi.
Kalit so'zlar: tez Furye o'zgarishi, Vinogradning Furye o'zgartirish algoritmi, generator massiv, blok-tsiklik strukturasi
ra, siklik konvolyutsiya
Protko I. E., Teslyuk V. M²
Cand. texnologiya. fanlar, “Lvinsk politexnika” milliy universiteti axborot tizimlari va texnologiyalari kafedrasi dotsenti,
Lvov, Ukraina
Doktor texnologiya. fanlar, “Lvinsk politexnika” milliy universitetining avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimlari kafedrasi professori
Lvin, Ukraina
AVPF NI GENERATSIYAT MASSIBI ASOSIDA ISHLAB CHIQISH.
Muvofiqlik. Ikkining butun soniga teng uzunliklar uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFTni samarali hisoblash usuli ko'rib chiqiladi. Generator massiv asosida Furye konvertatsiyasining Winograd algoritmining keyingi rivojlanishi tahlil qilingan.Tadqiqot ob'ekti DFT bazis matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirish jarayonidir. Tadqiqot mavzusi - ikkita blok-tsiklik strukturaning butun soniga teng uzunliklar uchun DFT asos matritsasini qayta shakllantirish usuli,
Ishning maqsadi N hosil qiluvchi massivlar yordamida asosiy kvadrat matritsa strukturasida va N=2° transformatsiya uzunliklari uchun chap aylanma submatritsalarni joylashtirish xususiyatlarini tahlil qilishdan iborat.
Tadqiqot ob'ekti - asosiy DPF matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirish jarayoni. Tadqiqot predmeti butun quvvatli ikki jildli DPF ning asosiy matritsasini blok-tsiklik tuzilmalarga qayta shakllantirish usuli hisoblanadi.
Usul. Maqolada almashtirishning siklik kengayishiga asoslangan ikkining butun soniga teng uzunliklar uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFTni samarali hisoblash usuli muhokama qilinadi. Ikkining butun soniga teng uzunlikdagi diskret DFT bazis matritsasining blok-tsiklik strukturasini siqilgan tavsiflash va hisoblash uchun generator massivdan foydalanish taklif etiladi.
Natijalar. Diskret asosli matritsaning umumlashtirilgan blok-tsiklik strukturasi ishlab chiqarish massivlari asosida ikkita butun son kuchiga teng uzunliklar uchun tsiklik konvolyutsiyalardan foydalangan holda DFTni samarali hisoblash uchun aniqlanadi. Tavsiya etilgan - Ushbu uslub DFTni parallel dasturlash va parallel hisoblash tizimlarida amalga oshirish uchun tegishli. Topilmalar. DFT asos matritsasining umumiy blok-tsiklik tuzilishi qiymatning oshishi bilan muntazam ravishda shakllanadi.
ikkining butun sonining ko'rsatkichi va samarali DFT vositalarini ishlab chiqishda amaliy foydalanish uchun tavsiya etiladi. Keyingi tadqiqotlar istiqbollari o'zboshimchalik bilan o'zgartirish o'lchamlari uchun bazaviy DFT matritsasining blok-tsiklik tuzilmalarini shakllantirishni o'z ichiga oladi.
Kalit so'zlar: tez Furye o'zgarishi, Vinograd Furye o'zgartirish algoritmi, massivni shakllantirish, blok-tsiklik struktura, siklik konvolyutsiya.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Duhamel P., Vitterli M. Fast Fourier Transform: A tutorial Review and a State of the Art, Signal Processing, 1990, Vol.19, pp. 259– 299. DOI: 10.1016/0165-1684(90)90158-U.
2. Chu E., George A. Inside the FFT black box. Serial and Parallel Fast Fourier Transform Algorithms. Boca Raton, CRC Press LLC, 2000.
3. Tolimiery R., An M., Lu C. Algorithms for Discrete Fourier Transform and Convolution. New York, Springer-Verlag, (s.ed.), 1997, 267 p. DOI: 10.1007/978-1-4757-2767-8.
4. Prots’ko I., Rykmas R. Becoming of Discrete Harmonic Transform Using Cyclic Convolutions, American Journal of Circuits, Systems and Signal Processing, 2015, Vol. 1, pp. 114–119.
5. Rader С. М. Discrete Fourier Transforms When the Number of Data Samples is Prime, Proceedings of IEEE, 1968, Vol. 56, pp. 1107–1108. DOI: 10.1109/PROC.1968.6477.
6. Winograd S. On computing the discrete Fourier transform, Proceedings National Academy of Science USA, Mathematics, 1976, Vol. 73, No 4, pp. 1005–1006. DOI: 10.1073/ pnas.73.4.1005.
7. Winograd S. On computing the discrete Fourier transforms, Mathematics of Computation, 1978, Vol. 32, pp. 175–199. DOI: 10.1090/S0025-5718-1978-0468306-4.
8. Blahut R. E. Fast algorithms for signal processing. Cambridge, University Press, 2010. DOI: 10.1017/CBO9780511760921.
9. Nussbaumer H. J. Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1982. DOI: 10.1007/978-3-642-81897-4.
10. Lu C., Tolimieri R. Extension of Winograd Multiplicative Algorithm to Transform Size N = p2q, p2qr and Their Implementation. Proceedings of International Conference on Acoustic, Speech, Signal Processing (ICASSP 89). Scotland, 1989.
11. Silverman H. F. An introduction to Programming the Winograd Fourier Transform algorithm (WFTA), IEEE Transactions on Acoustic, Speech, Signal Processing (ASSP), 1977, Vol. 25, No. 2, pp. 152–165. DOI: 10.1109/TASSP.1977.1162924
12. Patterson R. W., McClellan J. H. Fixed Point Error Analysis of Winograd Fourier Transform Algorithms, IEEE Transactions on Acoustic, Speech, Signal Processing (ASSP), 1978, pp. 447– 455. DOI: 10.1109/TASSP.1978.1163134.
13. Lavoie P. A high-speed CMOS implementation of the Winograd Fourier transform algorithm, IEEE Transactions of Signal Processing, 1996,Vol. 44, No. 8, pp. 2121–2126. DOI: 10.1109/ 78.533738
14. Zohar S. Faster Fourier Transformation: The Algorithm of S. Winograd, Jet Propulsion Laboratory, JPL Publication 78-104, under NASA Contract No. NAS7-100, 1979, pp. 1–93.
15. Zohar S. Winograd’s discrete Fourier transform algorithm, In book Two-dimensional Digital Signal Processing. Transforms and Median Filters. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1981, pp. 89–152.
16. Prots’ko I. The generalized technique of computation the discrete harmonic transforms, Proceedings of the IVth International Conference MEMSTECH’2008, Polyana, 21–24 may 2008, pp.101–102.
17. Thomas W. J. Abstract Algebra Theory and Applications. Stephen F. Austin State University, 2009.
18. Johnson S. G., Frigo M. A modified split-radix FFT with fewer arithmetic operations, IEEE Transactions of Signal processing, 2007, Vol. 55, No. 1, pp. 111–119. DOI: 10.1109/ TSP.2006.882087
19. Duhamel P. Implementation of “Split-Radix” FFT Algorithms for Complex, Real, and Real-Symmetric Data, IEEE Transactions on Acoustic, Speech, and Signal Processing, 1986, Vol. 34, No. 2, pp. 285–295. DOI: 10.1109/TASSP.1986.1164811
20. Saha P., Banerjee A., Dandapat A., Bhattacharyya P. ASIC Implementation of High Speed Processor for Calculating Discrete Fourier Transformation using Circular Convolution Technique, WSEAS Transaction on Circuits and Systems, 2011, Vol. 10, pp. 278–288
|
