8-m i s o l. Noldan farqli hamma kompleks sonlarning G multiplikativ gruppasining modullari birga teng barcha kopleks sonlardan iborat N qismgruppasi bo’yicha faktor-gruppasini toping.
Yechish. N - qismgruppa G ning normal bo’luvchisi ekanligini ravshan. G ning N bo’yicha qo’shni sinflarini topamiz. G dagi har bir ni trigonometrik ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda N qismgruppa moduli 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlardan iborat bo’lgani uchun bitta qo’shni sinfga tegishlikompleks sonlarning hammasi ning moduliga teng, ya’ni moduliga ega bo’ladi. Haqiqatdan, agar son ga tegishli bo’lsa, u holda bo’ladi, bunda Shuning uchun
Aksincha moduli ning moduliga teng bo’lgan har qanday kompleks son qo’shni sinfga tegishli bo’ladi, chunki shuning uchun bunda N, ya’ni Boshqacha qilib aytganda son ning elementi. Bundan faktor-gruppa qo’shni sinflardan iborat ekanligini hosil qilamiz, bu yerda r - ixtiyoriy haqiqiy son. Shuning bilan birga har xil musbat va haqiqiy sonlar uchun har xil va N qo’shni sinflar hosil bo’ladi.
Shunday qilib, o’zaro bir qiymatli moslikka ega bo’lamiz. Musbat haqiqiy sonlarning to’plami ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu gruppa ning qismgruppasidir. gruppa faktor-gruppaga izomorfligini ko’rsatamiz. Haqiqatan, agar va - ikkita dan olingan qandaydir sonlar bo’lsa, u holda, yuqorida aytib o’tganimizdek va Ammo ()(N)= N. Demak Shunday qilib, . ■
lar mos ravishda va binar algebraik amallarga nisbatan gruppalar bo’lsin. Agar bo’lsa, akslantirish gruppaning ga gomomorfizmi deyiladi.
to’plam, bu yerda - element ning neytral elementi, gomomorfizmning yadrosi bo’ladi va aksincha, gruppaning har qanday gomomorfizmining yadrosi ning normal bo’luvchisi bo’ladi.
Agar har bir elementga gruppaning biror N normal bo’luvchisi bo’yicha qo’shni sinf mos qilib qo’yilsa, gruppaning faktor-gruppaga gomomorf akslantirish hosil bo’ladi. Bu ning ga tabiiy gomomorfizmi deyiladi. uning yadrosi N normal bo’luvchining o’zi bo’ladi. Tabiiy gomomorfizmda gruppaning gruppaning bitta belgilangan elementiga o’tadigan barcha elementlari to’plami gruppaning N normal bo’luvchi bo’yicha qo’shni sinfi bo’ladi.
Agar - gruppa gomomorfizmi bo’lsa, u holda (gruppalar gomomorfizmi teoremasi).
|
