| 2-m i s o l. Elementlari
bo’lgan gruppada e=, dan iborat H qismgruppani olamiz. U holda ning H bo’yicha chap tomonli yoyilmasi quyidagi sinflarga ajraladi:
1) e, qo’shni sinf
2) qo’shni sinf
3) qo’shni sinf
o’ng tomonli yoyilmada esa:
1) e, qo’shni sinf
qo’shni sinf
qo’shni sinf
H qismgruppaning gruppadagi indeksi 3 ga teng. ■
Agar gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng tomonli va chap tomonli yoyilmalari sinflari bir xil bo’lsa, H qismgruppa gruppaning normal bo’luvchisi (normal qismgruppasi, invariant qismgruppasi) deyiladi.
3-m i s o l. Agar H qismgruppaning G gruppadagi indeksi 2 ga teng bo’lsa, N – qismgruppa ning normal bo’luvchisi bo’lishini isbot qiling.
Yechish. gruppaning H qism bo’yicha o’ng tomonli va chap tomonli sinflar yoyilmalarida qo’shni sinflardan biri H ning o’zi bo’ladi, ikkinchi qo’shni sinf esa G gruppaning H da mavjud bo’lmagan hamma elementlardan iborat bo’ladi. ■
4-m i s o l. Ishora almashinuvchi gruppa simmetrik gruppaning normal bo’luvchisi bo’lishini isbot qiling.
Yechish. ning dagi indeksi 2 ga teng bo’lgani uchun 3-misolga asosan ning ning normal bo’luvchisi ekanligini hosil qilamiz. ■
H qismgruppa G gruppaning ixtiyoriy elementi uchun bo’lganda va faqat shu holdagina ning normal bo’luvchisi bo’ladi. tenglik H ning ixtiyoriy elementi uchun H da tengliklarni qanoatlantiradigan va elementlar topish mumkinligini bildiradi.
5-m i s o l. Agar abel gruppa bo’lsa, u holda uning har qanday H qismgruppasi normal bo’luvchi bo’ladi.
Yechish.Buning uchun deb olish kifoya. ■
Agar G gruppada bo’ladigan element mavjud bo’lsa, G gruppaning va elementlari shu gruppada qo’shma elementlar deyiladi. Bu holda element dan ni transformirlashtirish bilan hosil qilingan deydilar.
Agar H – G ning qisgruppasi va – element G ning belgilangan elementi bo’lsa, ko’rinishdagi hamma elementlar to’plami yana G ning qismgruppasi bo’ladi, bu yerda qiymat sifatida H ning hamma elementlarini qabul qiladi. Bu qismgruppa G da bilan qo’shmalangan qismgruppa deyiladi.
|
