15-m i s o l. Hamma juft sonlar halqasi butun sonlar halqasining qismhalqasi bo’ladi, hamma toq sonlar to’plami esa qismhalqa bo’lmaydi. ■
16-m i s o l. Maydon, va shu sababli halqa ham o’z ichiga qismmaydon bo’laolmaydigan qismhalqani oladi. ■
17-m i s o l. to’plam modul bo’yicha qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadi (§1 dagi 12-masalaga qarang). Bu halqa m modul bo’yicha chegirtmalar halqasi deyiladi. ■
18-m i s o l. m>1 bo’lganda chegirtmalarning hyech qanday halqasi da qismhalqa bo’laolmaydi, chunki to’plam ning qismto’plami bo’lsa hamki unda aniqlangan qo’shish amali (bo’lganda ko’paytirish amali ham) dagi bir xil ismli amallar bilan moslashmaydi. ■
Agar to’plam halqa elementlaridan iborat bo’sh bo’lmagan qismto’plam bo’lsa, ning qismhalqa bo’lishi uchun quyidagilarni ko’rsatish yetarli:
a) va - gruppoidlar, ya’ni hamma vaqt dan va kelib chiqadi;
b) agar bo’lsa, bo’ladi.
maydon bo’lgani holda ning qismmaydon ekanligini tekshirish uchun a) va b) shartlardan tashqari yana
c) agar bo’lsa, bo’lishini ko’rsatish yetarli.
Agar ixtiyoriy lar uchun:
bo’ladigan biyeksiya mavjud bo’lsa, va halqalar izomorf deyiladi.
Shuni ham ta’kidlaymizki, hatto bo’lganda ham ikkala halqadagi + va amallari bir xilda belgilansa hamki, albatta bir xil bo’lishi shart emas. bo’lganda esa «bir xil amallar» deyishning o’zi ma’noga ega bo’lmay qoladi.
Agar akslantirish K halqaning halqaga izomorfizmi bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun . Shuningdek, agar bo’lsa, va ixtiyoriy uchun . Halqaning o’ziga izomorfizmi shu halqaning avtomorfizmi deyiladi.
Agar K halqa butunlik sohasi yoki maydon bo’lsa uning izomorf obrazi ham butunlik sohasi yoki maydon bo’lishi shubhasiz.
Agar K halqaning L halqaning biror qismhalqasiga izomorf akslanishi mavjud bo’lsa, K halqa L halqaga joylashadi deymiz.
|
