O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIMI VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI FARG‘ONA FILIALI
“ DASTURIY INJINIRING VA RAQAMLI IQTISODIYOT” FAKULTETI
“AXBOROT XAVFSIZLIGI YO’NALISHI”
3-KURS “641-21” GURUH TALABASI
ODILOVA SAIDANING
Kriptografiya 1 fanidan
“Chebishevning tub sonlarni zichligi haqidagi teoremasi.”
Mavzusida yozgan mustaqil ishi
Reja:
1. Kirish.
2. Asosiy qism.
2.1 Chebishev teoremasi nima?
2.2Chebishevning tub sonlarni taqsimlash teoremasi
2.3
3. Xulosa.
4.Foydalanilgan adabiyotlar
Chebishev teoremasi nima?
Chebishev teoremasi har qanday ma'lumotlar to'plamining ma'lum bir qismi ma'lumotlarning standart og'ishi bilan belgilanadigan markaziy o'rtacha qiymat atrofida ma'lum bir diapazonga to'g'ri kelishi kerakligini aytadi.
Chebishevning tub zichlik teoremasida aytilishicha, berilgan sondan oshmaydigan tub sonlar soni shu sonning logarifmiga asimptotik ekvivalentdir. Rasmiy ravishda p(x) funksiyasi x dan oshmaydigan tub sonlar sonini bildirsin. Keyin Chebishev teoremasi quyidagicha ifodalanadi:
lim(x→∞) p(x)/(x/ln(x)) = 1.
Demak, p(x) ga x/ln(x) nisbati 1 ga intiladi, chunki x cheksizlikka intiladi. Boshqacha qilib aytganda, tub sonlar barcha butun sonlar orasida "zich" taqsimlanadi.
Teorema 1852 yilda rus matematigi Pafnutiy Chebishev tomonidan isbotlangan va sonlar nazariyasining asosiy teoremalaridan biridir. U matematikaning turli sohalarida, jumladan kriptografiya, katta sonlarni faktorizatsiyalash va tub sonlarni topish algoritmlarida muhim ilovalarga ega.
Chebishev tengsizligideb yuritiladi. tengsizliklarning isbotini keltirib o’tmasdan, uning geometrik talqini haqida bayon keltiramiz.
Bu tengsizliklarga asosan, xyetarlicha katta qiymatni qabul qilsa, funksiyaning grafigini y1=0.92129 va y2=1.10555 parallel to’g’ri chiziqlar orasida yotadi.
P.L Chebishevning tub sonlar taqsimoti to’g’risidagi ishlari uning zamondoshlariga katta ta’sir qildi. P.LChebishevning qo’lga kiritgan muvaffaqiyatlari haqida so’zlab ingliz matematigi Silvester (1814 -1894) 1881-yilda quyidagi fikrni bildirgan edi:”Sonlar nazariyasi soxasida yanada yangi yutuqlarga erishish uchun , aql-zakovati bo’yicha Chebishev oddiy odamlardan qanday yuqori turgan bo’lsa, Chebishevdan darajada yuqori turadigan odam tug’ilishini kutish mumkin”. Buyuk nemis matematigi Landay (1877-1938) o’zining tub sonlar taqsimotiga bag’ishlangan bir asarida Chebishev to’g’risida shunday deb yozadi:”Yevikliddan so’ng “ Tub sonlar masalalari”ni xal etish uchun to’g’ri yo’l tanlangan va muhim muvaffaqiyatlarni qo’lga kiritgan olim bu Chebishevdir”.
P.L Chebishevning yutuqlari tub sonlar taqsimotining asimptotik qonunini isbotlash uchun , ya’ni ning mavjudligini ko’rsatish uchun yetarli emas edi. Lekin u shu masalani xal qilishga uringan:agar limit mavjud bo’lsa , u 1ga teng bo’lishini isbot qildi. Nemis matematigi Riman 1859 yilda bu masalani xal etishda kompleks argumentli funksiyadan foydalanish mumkinligini aytdi. Riman o’zining bir qancha asarida funksiyaning ajoyib xossalarini ko’rsatib bergan bo’lsa-da , u o’zining bu metodi bo’yicha tub sonlarning metodi bo’yicha tub sonlarning taqsimotiga oid birorta ham arifmetik natijani qo’lga kiritmagan. 1869-yilda fransuz matematigi J. A. Adamar va belgiyalik matematik Valle-Pussenlar bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda ning limiti mavjudligini ko’rsatishdi. Ular o’z ishlarini Riman metodidan foydalanishib, shunday natijaga erishdilar.
Tub sonlar jadvali:
…dan
|
…gacha
|
tub sonlar soni
| |
1
101
201
301
401
501
601
701
801
901
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
|
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
|
26
21
16
16
17
14
16
14
15
14
168
127
120
119
114
117
107
110
112
|
3-misol:
4-misol:
5-misol:
6-misol:
formula asosida misollar ko’raylik, bunda
shartlar o’rinli.
7-misol:ni quyidagi formula orqali tekshiring.
8-misol:
2.2. Butun qism va kasr qism funksiyalar.
Endi biz yuqorida aytib o’tilgan bilimlarimizga asoslangan holda sonli funksiyaning yana bir turi bo’lgan butun qism va kasr qism funksiyalarni ham o’rganib chiqamiz. Bunda eng avvalo biz sonning butun qismini bilishimiz kerak. Sonning butun qismi qay holda bo’ladi, uning berilish usullari qanday? Shu savollarga quyidagi paragrifda ko’rib o’tamiz.
1. Sonning butun qismi
x sonning butun qismi, ya’ni [x] qo’sh tengsizlik bilan yoki yoki tenglik bilan aniqlanadi va ant’ye funksiyadeyiladi.
Agar x1va x2sonlardan birortasi butun bo’lsa,
o’rinli bo’ladi.
o’rinli bo’ladi.
Ko’paytmaning kanonik yoyilmasiga ptub son
darajada keladi, bun yerda Sson tengsizlikdan aniqlanadi.
9-misol:sonning butun qismini toping.
Yechish: vaxkasr son uchun formula o’rinli. Bu formulani qo’llab
ni hosil qilamiz.
10-misol: tengligini isbotlang.
Yechish: bo’lib bu yerda Demak,
bo’lganligi sababli [ 0 yoki 1 ga teng bo’ladi.
n dan katta bo’lmagan va tub sonlar bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar sonini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:
11-misol: 180 dan katta bo’lmagan va 5, 7, 11 larga bo’linmaydigan sonlar sonini toping.
Yechish: n=180 va lar uchun
12-misol:400 dan katta bo’lmagan 3, 5, 7 ga bo’linadigan sonlar nechta?
n=400 va lar uchun
13-misol:718 dan katta bo’lmagan 5, 6, 9 ga bo’linadigan sonlar nechta?
n=718 va lar uchun
14-misol:1644 dan katta bo’lmagan 11, 14, 19 ga bo’linadigan sonlar nechta?
n=1644 va lar uchun
15-misol:son nechta 0 bilan tugaydi.
Yechish:misol yechimi ning kanonik yoyilmasiga 5 nechanchi daraja bilan kirishini aniqlash masalasiga keltiriladi:
Demak, son 499 ta 0 bilan tugaydi.
16-misol: ning kanonik yoyilmasiga ptub son nechanchi darajada kirishini aniqlang.
Yechish:bo’lganligi sababli p=2ga teng bo’lsa,
p bo’lsa,
ga teng bo’lsa.
Sonning butun qismi haqida kerakli ma’lumotlarga ega bo’ldik, endi esa haqiqiy sonning kasr qismi haqida ma’lumotga ega bo’lamiz. Demak, kasr qismni topishni o’rganamiz. Haqiqiy sonning kasr qismini topish uchun sondan uning butun qismini ayirish kifoya.
Chebishevning tub sonlarni taqsimlash teoremasi
Chebyshevning taqsimlash farmoyishi, noaniqlikning qandaydir o'zgaruvchan o'zgaruvchan o'zgaruvchi miqdorining p_1 ga qandaydir dream teng bo'lishining yuqori chegaralanish limitini beradi. Butun ikki musbat son a va b ni oling. Berilgan sonlarning o'rtacha qiymati μ va ularning standart deviasiya σ.
Chebyshevning taqsimlash farmoyishi quyidagicha:
[ P(|X-μ| \geq kσ) \leq \frac{1}{k^2} ]
Bu formulada, X — o'zgaruvch, μ — o'rtacha qiymat, σ — standart deviasiya, k — ma'lum bir son.
Bu nercha teoriyani bajarishda, ma'lum bir o'zgaruvchining qandaydir miqdordan qancha uzoqda bo'lish ehtimoli nisbatan ko'p emas bo'lishini belgilash uchun foydalaniladi.
haqidagi teorema Karl Friedrich Gauss tomonidan taklif etilgan va Aleksandr Chebishev tomonidan 1848 yilda isbatlangan matematik teoremadir.
Teorema aytadi ki, n-dan katta tub sonlar ichidagi eng kichik tub sonning katta bo'lishi uchun quyidagi formuladan foydalanish mumkin:
π(x) > (1 / (2ε) ) * (x / ln x)
Bu yerda x dan katta tub sonlar soni π(x) bilan ifodalangan, ε esa 0 dan katta bo'lgan bir haydovchi son. Teorema bunsiz konkret qiymat belgilanmagan, balki belgilanmamish epsilon uchun ishlatiladi.
Bu teorema ma'nosini o'qish uchun bir misol qabilashtiraylik: x = 1000 olsin va ε = 0.01 bo'lsin. U holda teoremadan foydalanib, 1000 dan katta tub sonlar sonining eng kichik tub soni:
π(1000) > (1 / (2 * 0.01)) * (1000 / ln(1000))
Natijada:
π(1000) > 50 * 6.9
sharti bajarilib, π(1000) > 345 bo'lishi kerak. Bu deganiki, 1000 dan katta tub sonlar sonining eng kichik tub soni 345 ga teng yuqori bo'ladi.
Bu teorema Chebishevning tub sonlarni aniqlashda ishlatiladigan asosiy formulalardan biri hisoblanadi. U tub sonlarni aniqlashda, ularning zichligini hisoblashda va bu jarayonlarda ishlatiladigan bir qoidalarni ta'minlashda foydalaniladi.
Haqiqiy xsonning kasr qismi {x} quyidagi formula bilan aniqlanadi.
Bunda: x-berilgan son;
berilgan sonning butun qismi;
-berilgan sonning kasr qismi.
Endi esa bunga oid misollar ko’ramiz:
17-misol: {-4.35} ni toping.
Yechish:{-4.35}=-4.35-(-5)=0.65
Butun qism topamiz:
-2,7=[-3];
2+
II-BOB. Multiplikativ funksiyalar.2.1-§. Myobius funksiyasi va uning qo’llanilishi.
Biz I-BOBda sonli funksiya turlari va ularning berilish usullari haqida ma’lumotga ega bo’ldik. Endi bu yangi BOB da biz multiplikativ funksiyalar haqida ma’lumotlarga ega bo’lamiz. Multiplikativ funksiya turlari va ularning qo’llanilish usullari haqida ham ko’rib o’tamiz. Undan so’ng, Myobius va Eyler funksiyalari haqida ham ma’lumotlar berib o’tamiz. Eng avval biz multiplikativ funksiya nima ekanligini bilib olishimiz kerak.
Ta’rif:Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga multiplikativ funksiya deyiladi.
funksiya barcha musbat butun lar uchun aniqlanib, ko’pi bilan qiymati 0 ga teng va qolgan barcha qiymatlari 0 dan farqli.
Ixtiyoriy o’zaro tub m va n musbat sonlar uchun quyidagilar o’rinli.
Multiplikativ funksiyalar uchun quyidagi xossalar o’rinli:
1) Ixtiyoriy multiplikativ funksiya uchun o’rinli.
2) va lar multiplikativ funksiya bo’lsa, u holda ularning ko’paytmasi ham multiplikativ funksiya bo’ladi.
Multiplikativ funksiya xossalaridan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
sonning natural bo’luvchilar soni quyidagiga teng.
sonning natural bo’luvchilar yig’indisi quyidagiga teng.
Myobius funksiyasi:
Barchani qiziqtiradigan bir savolga oydinlik kiritib o’tamiz. Myobius funksiya deb atalishining sababi, bu funksiya Myobius tomonidan yaratilgan. Bunda u tub sonlar nazariyasi haqida o’zining oltinga teng asarlarida to’laligicha kiritib o’tgan. Hozirda ham bu funksiya algebra va sonlar nazariyasi uchun kerakli bo’lgan funksiya sifatida qaraladi. Demak Myobius deb atalishining sababi funksiya Myobius tomonidan yaratilganligidadir.
Barcha natural sonlar uchun aniqlangan
ko’rinishdagi funksiyaga
sonli funksiyasideb ataladi. yo‘zgaruvchining x o‘zgaruvchiga bog‘liq ekanligini ta’kidlash maqsadida uni erksiz o‘zgaruvchi yoki funksiya, xo‘zgaruvchini esa erkli o‘zgaruvchi yoki argument deb ataymiz. y o‘zgaruvchi xo‘zgaruvchining funksiyasi ekanligi y = f (x)ko‘rinishda belgilanadi.
Argument xning Xto‘plamdan qabul qila oladigan barcha qiymatlar to‘plami ffunksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va D(f )orqali belgilanadi. {f(x) | x∈D(f )}to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi (to‘plami) deb ataladi va E (f )orqali belgilanadi. Ixtiyoriy x∈D(f )qiymatda funksiya faqat y = b(o‘zgarmas miqdor – constanta), b∈Rqiymatga ega bo‘lsa, unga Xto‘plamda berilgan doimiy funksiya deyiladi. Masalan, koordinatalar sistemasida Ox o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziqni ifodalovchi y = 3 funksiya D(f ) = {x | ∞ da doimiydir.
1-misol:Agar y = x2funksiya R to‘plamda berilgan bo‘lsa, u holda D(f ) = Rva E(f ) = R+∪ {0}bo‘ladi.
2-misol: y = x2funksiya D(f ) = [-3; 4] da berilgan bo‘lsin. Bu funksiyaning qiymatlar sohasi E(f ) = [0; 16] dan iborat.
π(x)funksiyasi xning musbat qiymatlarida aniqlangan bo‘lib, xdan katta bo‘lmagan tub sonlarning sonini ifodalaydi. π(x)ning qiymati tub sonlar jadvalidan foydalanib, bevosita hisoblash yo‘li bilan aniqlanadi.
π(2)=1 π(6)=3 π(10)=4π(14)=6
π(3)=2 π(7)=4 π(11)=5 π(15)=6
π(4)=2 π(8)=4 π(12)=5 π(16)=6
π(5)=3 π(9)=4 π(13)=6 π(17)=7 …
x dan ortiq bo’lmagan tub sonlar sonini π(x) orqali belgilaylik. XIX asr matematiklari π(x)funksiyaning hech bo’lmaganda taqribiy analitik ko’rinishini topish uchun juda katta ish qilishgan. Ular agar π(x)ning aniq qiymatini topish mumkin bo’lmasa, u holda unga x ning barcha qiymatlariga juda yaqin bo’lgan f(x)funksiyani topish masalasini hal qilishga urinishgan. Buning uchun f(x)funksiyani shunday tanlash lozim ediki, π(x) vaf(x)larning nisbati, ya’ni nisbat x ning yetarlicha katta qiymatlarida 1 ga intilish talab talab qilingan, ya’ni
o’rinli bo’lishi lozim edi. (1) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyalar odatda asimptotik ekvivalent funksiyalar deb yuritiladi va u qisqacha π(x)~f(x)ko’rinishda belgilanadi.
Limitning ta’rifiga asosan (1) ni kabi yozish mumkin. Bu yerda R(x)funksiya da f(x)ga nisbatan cheksiz kichik miqdordir, ya’ni
1808-yilda fransuz matematiki Andriyen Mari Lejandr tub sonlar jadvalini tekshirib, π(x) ning taqribiy imperik formulkasini topdi. Uning fikricha x ning yetarlicha katta qiymatlarida π(x)funksiya taqriban ga teng ekan, bu yerda o’zgarmas son. Shu davrning o’zida nemis matematigi Gauss π(x)uchun funksiyani olish mumkin deb aytdi. Bu integralli elementar funksiyalar orqali ifodalab bo’lmaydi. Shuning uchun integralli logarifm deb ataluvchi quyidagi integral bilan almashtiriladi.
Li
va Lixning farqi Li 2=1.04. Lopital qoidasidan foydalanib quyidagilarga ega bo’lamiz:
Demak, Lejandr va Gausslarning π(x) uchun topgan funksiyalari bir xil kabi asimptotik bahoga ega. Boshqacha qilib aytganda
bu formulalar tub sonlarning asimptotik qonuni deb ataluvchi qonun bo’yicha taqsimotini ko’rsatadi. Lekin Lejandr va Gausslar bu qonunning haqiqatan o’rinli ekanini nazariy tomonidan asoslab bera olmadilar. Bundan tashqari P.L.Cheybishev “Tub sonlar haqida “ asarida π(x) va boshqa sonli funksiyalarning xosslarining tekshirish uchun kuchli elementar metodlarni ko’rsatib berdi. U xning yetarlicha katta qiymatlarida π(x) ni baxolash uchun quyidagi tengsizliklar o’rinli ekanini isbot qildi:
0,92129
yoki
0,92129
Adabiyotlarda bu tengsizliklar
Myobius funksiyasideyiladi.
Bu funksiya multiplikativdir, ya’ni agar bo’lsa,
Agar -ixtiyoriy multiplikativ funksiya bo’lsa, u holda (18) Agar bu formulada deb olsak quyidagicha formulalarni hosil qilamiz:
Agar butun a lar uchun -funksiya bir qiymatli bo’lib,
o’rinli bo’lsa, u holda tenglik o’rinlidir (Myobiusning teskarilash formulasi).
18-misol:ni hisoblang.
Yechish:2002=2 dan kelib chiqadi.
19-misol:uchun to’g’riligini isbotlaymiz.
Yechish:18 ning bo’liuvchilari: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Bundan
20-misol:formula to’g’riligini uchun tekshiramiz.
Yechish:12 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bundan
21-misol:uchun to’g’riligini isbotlaymiz.
Yechish: 27 ning bo’luvchilari: 1, 3, 9, 27.
22-misol:formula to’g’riligini uchun tekshiramiz.
Yechish: 100 ning bo’luvchilari: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
23-misol:formula to’g’riligini uchun tekshiramiz.
Yechish: 150 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 5, 10, 15, 25, 50, 75, 150.
2.2-§Eyler funksiyasi va uning qo’llanilishi.Eyler funksiyasi: ushbu funksiya nomi Eyler sharafiga qo’yilgan. Negaki bu funksiya Eyler tomonidan kashf etilgan. Bu funksiya ham Myobius funksiyasi kabi algebra va sonlar nazariyasi uchun kerakli bo’lgan funksiyalardan biri hisoblanadi. Demak, biz Eyler funksiyasi haqida ma’lumotlarga ushbu paragrifda ega bo’lamiz.
Teorema:Eyler funksiyasi multiplikativ funksiyadir.
Isboti:ni isbotlash uchun 1 dan gacha bo’lgan sonlarni quyidagi jadval shaklida yozib olamiz:
1 2 … k … m ni hisoblash uchun (22) jadvalda bilan nechta o’zaro tub son borligini aniqlashimiz kerak.
Biror son bilan o’zaro tub bo’lishi uchun u shu sonlarning har biri bilan o’zaro tub bo’lishi lozim. Shuning uchun (22) dan avvalo m bilan o’zaro tub bo’lgan sonlarni ajratib olamiz. Ajratilgan sonlar orasidan esa n bilan o’zaro tublarini tanlab olamiz. Jadvalning tuzilishiga asosan, har bir ustun elementlari mmodulga nisbatan teng qoldiqlar sinfidan iborat. Shuning uchun har bir ustunning barcha elementlari mmodul bilan har xil eng katta umumiy bo’lkuvchiga ega, bu elementlardan bittasi m bilan o’zaro tub bo’lsa, shu ustunning barcha elementlari ham m bilan o’zaro tub bo’ladi. Demak, m modul bilan “o’zaro tub ustunlar” to’g’risida gapirish mumkin. mbilan “o’zaro tub ustunlar” sonining ga tengligi o’z-o’zidan ko’rinib turibdi. Endi jadvalning ixtiyoriy biror ustunini olamiz. Misol uchunni qaraylik. Bu ustun elementlarini xo’zgaruvchi 0, 1, 2, …, (n-1) qiymatlarni qabul qilgandagi mx+kchiziqli formulaning qiymatlari deb qarash mumkin. bo’lgani uchun (23) ketma-ketlik k ga bog’liq bo’lmagan holda n modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasini tashkil qiladi. Demak, (23) dagi nbilan o’zaro tub sonlar dir. Shunday qilib, (22) da mhamda nlar bilan o’zaro tub sonlar soni ta ekan. n hamda m bilan o’zaro tub son bilan ham o’zaro tub bo’ladi. Demak,
Bu xossani chekli sondagi o’zaro tub sonlar ko’paytmasi uchun ham umumiylashtirish mumkin.
Eyler funksiyasining hisoblash formulalari quyidagilardan iborat.
m=p tub sonbo’lsin. u holda bo’lsa, . Bunday sonlar 1, 2, 3, …, bo’lgani uchun bo’ladi.
24-misol: bo’lsin, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sonlarning har biri 7 bilan o’zaro tubdir. Shuning uchun bo’ladi.
bo’lsin. ni hisoblash uchun 1 dan gacha sonlarni quyidagicha yozib olamiz:
Bu qatordagi p sonlarning barchasi pga bo’lingani uchun
pbilan o’zaro tub emas. p ga bo’linadigan sonlar soni tadir. qatorda ta son bor.
Demak, (24) da pbilan o’zaro tub sonlar soni ya’ni ta ekan.
bo’lsin. Eyler funksiyasi multiplikativ funksiya bo’lgani uchun
tenglikni yozish mumkin. Har bir ko’paytuvchi uchun b) ni qo’llab, yoki
25-misol:ni toping.
360= U holda = =96, ya’ni
26-misol:ni hisoblaymiz.
Yechish: 1857=3 bo’lsa. U holda
27-misol:ning o’zaro tub ko’paytuvchilarini topamiz.
Yechish: . Bundan
Endi berilgan sonning barcha bo’luvchilari bo’yicha tuzilgan Eyler funksiyalari qiymatlarining yig’indisini ko’rib chiqamiz.
Faraz qilamiz,m soni dta bo’luvchiga ega bo’lsin. Bu bo’luvchilar bo’yicha tuzilgan Eyler funksiyalari qiymatlar yig’indisini kabi belgilasak, ning m ga tengligini ko’rsatamiz. Biz,
bo’lsin deylik. Bunda lar mning turli tub bo’luvchilari bo’ladi. m ning hamma bo’luvchilari ko’rinishdagi sonlar hisoblanadi. Bunda
bo’lganda m ning bo’luvchilari 1, lardan iborat. Demak, bundagi Eyler funksiyalari qiymatlari yig’indisi
bo’ladi.
bo’lgani uchun
bo’ladi. Lekin
Demak, ya’ni
Teorema.(Eyler teoremasi).O’zaro tub bo’lgan va ( 1) sonlari uchun quyidagi munosabat o’rinli:
Isbot.Aytaylik, bo’lsin. dan kichik va bilan o’zaro tub bo’lgan turli sonlari uchun sonlarni qaraymiz. U holda
bu yerda lar o’zaro teng bo’lmagan sonlar.
Haqiqatdan, bo’lsa u holda ekanligidan kelib chiqadi. (a,m)=1 bo’lganligi uchun ya’ni .
Bu esa sonlarining turli ekanligiga zid.
Shuningdek, sonlarning barchasi m bilan o’zaro tub ekanligini ko’rish qiyin emas. Bundan esa tenglik kelib chiqadi.
taqqoslamalarni hadma-had ko’paytirsak,
munosabatga ega bo’lamiz. Demak,
Agar Eyler teoremasida m soni o’rniga biror p tub son olinsa, u holda (2) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi:
Ushbu tenglikni ikkala tomonini a ga ko’paytirsak,
tenglikga ega bo’lamiz. Bu tenglik Fermaning kichik teoremasi deyiladi.
3-§. Berilgan sonning bo’luvchilar soni va bo’luvchilar yig’indisini topish funksiyalari.
Ixtiyoriy natural a son uchun va funksiyalar mos ravishda a sonning natural bo’luvchilari soni va ularni yig’indisini ifodalaydi. Bu funksiyalar uchun quyidagi formulalar o’rinli:
bu yerda sonning kanonik yoyilmasi.
Bu funksiyalar multiplikativ, ya;ni agar lar uchun va o’rinli.
28-misol:2002 sonni bo’luvchilar soni va ularning yig’indisini toping.
Yechish: bundan
29-misol:4004 sonni bo’luvchilar soni va ularning yig’indisini toping.
Yechish: bundan
30-misol:2002 sonni barcha bo’luvchilarini toping.
Yechish: -kanonik yoyilmasidan foydalanamiz.
(1+2)(1+7)(1+11)(1+13)=1+2+7+11+13+14+22+26+77+91+143+154+182+286+1001+2001-2002 ning barcha bo’luvchilari yig’indisi va demak har bir qo’shiluvchi izlanayotgan bo’linmalarni beradi.
31-misol:Natural a sonning barcha natural bo’luvchilarining ko’paytmasi funksiyasi bo’lsa,
tenglik to’g’riligini isbotlang.
Yechish: sonning barcha natural bo’luvchilari bo’lsin. U holda
sonlar ning bo’luvchilaridir, bundan uchun hosil bo’lgan tenglikni ko’paytirib, ni hosil qilamiz. Bundan
32-misol:2002 sonining barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasini toping.
Yechish:
33-misol:Barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasi 5832 ga teng bo’lgan natural sonni toping.
Yechish: bundan va
34-misol:3 va 4 ga bo’linadigan va 14 ta bo’luvchiga ega bo’lgan sonni toping.
Yechish: Misol shartiga ko’ra, .
Demak, Ya’ni , bu yerda Demak,
XULOSA
Ushbu kurs ishini yozish mobaynida I-BOB. Sonli funksiyalar haqida va uning paragriflari π(x)- funksiya va funksiyaning tub sonlar taqsimotiga tatbiqi va Butun qism va kasr qism funksiyalar haqida ma’lumotlarga ega bo’ldim. Bunda ularning qo’llanilish usullari ham keng ma’noda yoritib berildi. Shu bilan birga II-BOB Multiplikativ funksiyalar va uning paragriflari Myobius funksiyasi va uning qo’llanilishi va Eyler funksiyasi va uning qo’llanilishi, berilgan sonning bo’luvchilar soni va bo’luvchilar yig’indisini topish funksiyalari haqida ma’lumotlarga ega bo’dim. Men bu ma’lumotlarga tayangan holda shuni ayta olamanki, sonli funksiyalar butun sonlar uchungina o’rinli. Shundagina biz ularni sonli funksiya deb ayta olishimiz mumkin.
Sonli funksiyalar bilan bog’liq masalalarni hal etishda sonli funksiyalarning turini aniqlab olish muhim ahamiyatga egadir, shuningdek sonli funksiyalarning turi bilan bir qatorda uning qaysi holatda qaysi formulasidan foydalanishni ham bilib olishimiz kerak.
Ushbu kurs ishida o’zining muhim tadbiqlariga ega bo’lgan sonli funksiyalar va ularning turlari haqida atroflicha ma’lumotlar, nazariyalar,tariflar, teoremalar, isbotlar, misollar keltrib o’tildi xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishida o’rganilgan sonli funksiyalar va ularning turlari, qo’llanilish usullari mavzusi amaliy ahamyatga ega bo’lgan Algebra a sonlar nazariyasi fanidagi muhim mavzulardan bo’lib, undan universitet matematika, matematika va informatika, amaliy matematika, fizika va astronomiya yo’nalishlarida tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin. Nafaqat talabalar uchun balki, maktab o’quvchilari uchun ham tavsiya qilaman. Negaki, bu kurs ishida berilgan sonning bo’luvchilar soni va bo’luvchilar yig’indisini topish paragrifi kiritilgan. Bu maktab o’quvchilari uchun juda ham as qotadigan ma’lumotdir. Bu bilan ular o’zlari uchun oson va juda ham tez ishlash imkoni bo’lgan tub sonlarni ishlashda vaqtdan yutadilar.
Har qanday ilmni rivojlantirish uchun asosan eng avval ta’limning sifatiga e’tibor berish kerak. Ta’limning samarali olib borilishi har tomonlama metodika va dars mazmunini tushuntirib beruvchi ustozga bog’liq. Bizning bu kurs ishimizda asosan har tomonlama sonli funksiyalarning qay tartibda ishlatilishi, qay holatda qaysi savolga nisbatan ishlatilishi bilan bog’liq. Sonli funksiyala ham asosan o’zidan oldingi tub sonlar sonini aniqlash bilan bog’liq.
|
