|
I NAZARIY QISM 1.1Skalyar va vektor miqdorlar
|
| bet | 2/5 | | Sana | 21.01.2024 | | Hajmi | 28,96 Kb. | | #142263 |
Bog'liq Vektorlarni tashkil etish-fayllar dilso\'z, 17141, 2-mavzu Logistika tamoyillari, vazifalari, kontseptsiyalari, ma-fayllar.org, Новейшая история Узбекистана, g\'aznachilik test, ас пушкин7, 8- тема, 904c905561308df8123e757d91daf0b330868b1d 1.1Skalyar va vektor miqdorlar
Skalyar va vektor miqdorlar. Kundalik hayotimizda: institutning eng keksa o’qituvchisining yoshi nechada?; ma‘lum quduqdan bir kecha-kunduzda qancha neft olinadi?; fakultet talabalari bir kunda qancha paxta teradi?; Bobomurod traktorchi bir kunda qancha yer haydaydi?; korxona bir kunda necha metr mato ishlab chiqardi?; xonadagi havoning harorati qanday; bir dona to’la ochilgan paxta ko’sagining massasi qancha?; ishchi bir kunda qancha g’isht terdi?; zavod bir kecha-kunduzda qancha neftni qayta ishlaydi? kabi savollarga duch kelamiz. Bu savollarning barchasiga bitta aniq son yordamida to’liq javob olish mumkin. Boshqacha aytganda bu yerda miqdor o’zining faqatgina son qiymati bilan to’la aniqlanadi. O’zining son qiymati bilan to’liq aniqlanadigan miqdorlar skalyar miqdorlar deyiladi. Uzunlik, yuza, hajm va harorat skalyar miqdorga misol bo’la oladi. Shunday miqdorlar ham uchraydiki, ularni faqatgina son qiymati orqali to’liq aniqlab bo’lmaydi. Masalan: Qarshi shahridan 70km/soat tezlik bilan chiqqan avtomobil bir soatdan keyin qaerda bo’ladi? degan savolga birgina 70 km/soat yordamida javob berib bo’lmaydi. Agarda masalaning shartiga yo’nalish tayinlansa, uni hal etish mumkin. Ya‘ni Qarshi shahridan 70 km/soat tezlik bilan Qarshi-Samarqand yo’nalishi bo’yicha harakatlanayotgan avtomobil bir soatdan keyin qaerda bo’ladi? deyilsa, bu savolga to’liq javob berish mumkin. Son qiymatidan tashqari ma‘lum yo’nalishga ega bo’lgan miqdorlar vektor miqdorlar deyiladi. 22 Harakat tezligi, tezlanish, kuch, magnit va elektr maydonining kuchlanganligi kabi kattaliklar vektor miqdorga misol bo’ladi.
1.2 Vektor tushunchasi.
Vektor kattalik (miqdor) lar vektor ko’rinishida tasvirlanadi. 4.1-ta‘rif. Yo’nalgan kesma vektor deyiladi. Boshlanish (bosh) nuqtasi А va oxirgi nuqtasi В bo’lgan vektorni АВ (yoki АВ ) kabi yozish qabul qilingan. Ba‘zan vektorni bitta harf bilan а (yoki а ) kabi belgilanadi. А va В nuqtalar orasidagi masofa АВ vektorning uzunligi deyiladi. АВ vektorning uzunligini uning moduli ham deb yuritiladi va АВ ko’rinishda belgilanadi. Boshi oxiri bilan ustma-ust tushgan vektor nol vektor deb ataladi va 0 (yoki 0 ) bilan belgilanadi. Demak, АА=0 –nol vektor. Nol vektorning moduli 0 ga teng bo’lib, uning yo’nalishi aniq emas. ВА vektor АВ vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi. а vektorga qarama-qarshi vektor- а kabi belgilanadi. Uzunligi 1 ga teng vektor birlik vektor deyiladi va а vektorga mos (shu o’qda yotadi hamda u bilan bir xil yo’nalishga ega) birlik vektor а 0 kabi belgilanadi. 4.2-ta‘rif. Bitta to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda yotuvchi а va b vektorlar kollinear vektorlar deyiladi (18-chizma).
4.3-ta‘rif. Bitta tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlar komplanar vektorlar deb aytiladi. 4.4-ta‘rif. Kollinear а va b vektorlar bir xil yo’nalgan hamda bir xil uzunlikka ega bo’lsa, teng deyiladi ( а =b kabi yoziladi) (18b-chizma). Ta‘rifga binoan berilgan vektorni o’z-o’ziga parallel ko’chirish natijasida unga teng vektor hosil bo’ladi. Boshqacha aytganda vektorni uzunligi va yo’nalishini o’zgartirmagan holda uni fazoning bir nuqtasidan boshqa bir nuqtasiga ko’chirish mumkin ekan. Bunday vektorlar erkin vektorlar deyiladi. Biz faqatgina erkin vektorlar bilan ish ko’ramiz. 4.3. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Matematikada vektor tushunchasi son tushunchasiga nisbatan murakkab tushuncha. Sonlar ustida bajariladigan barcha amallarni vektorlar ustida bajarib bo’lmaydi. Masalan ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish, ildiz chiqarish kabi amallarni vektorlar ustida bajarish mumkin emas. 23 Vektorlar ustida chiziqli amallar deb, vektorlarni qo’shish, ayirish hamda vektorlarni songa ko’paytirish amallariga aytiladi. 1. Vektorlarni qo’shish. Noldan farqli ikkita а va b vektorlarni olamiz. Ixtiyoriy 0 nuqtani olib ОА=а vektorni yasaymiz, so’ngra А nuqtaga АВ =b vektorni qo’yamiz. Ikkita а va b vektorlarning yig’indisi а + b deb birinchi qo’shiluvchi а vektorning boshini ikkinchi qo’shiluvchi b vektorning oxiri bilan tutashtiruvchi ОВ vektorga aytiladi. (19а -chizma). Vektorlarni bunday qo’shish usuli uchburchak usuli deyiladi.
Uchta а , b va с vektorlarning yig’indisi а + b + с deb birinchi qo’shiluvchi а vektorni oxiriga ikkinchi qo’shiluvchi b vektorni boshini qo’yib, so’ngra ikkinchi qo’shiluvchi vektorning oxiriga uchinchi с qo’shiluvchi vektorning boshini qo’yib birinchi а vektorning boshi bilan uchinchi с vektorning oxirini tutashtirish natijasida hosil bo’lgan vektorga aytiladi (19б -chizma). Vektorlarni bu xilda qo’shish qo’shiluvchilar soni har qanday bo’lganda ham yaroqlidir. Endi vektorlarni qo’shishning boshqa bir usuli bilan tanishamiz. ОА=а va ОС =b vektorlarni yig’indisini topish uchun bu vektorlarni tomon hisoblab ОАВС parallelogramm yasaymiz. Parallelogrammning O uchidan o’tkazilgan diagonali ОВ vektor, а va b vektorlarni yig’indisini ifodalaydi. Vektorlarni bunday qo’shish usuli parallelogramm qoidasi deb ataladi (19d -chizma). 2. Vektorlarni ayirish. а va b vektorlarni ayirmasi а -b deb b vektor bilan yig’indisi а vektorni beradigan c vektorga aytiladi. Demak а -b ayirmani topish uchun а vektor bilan b vektorga qarama-qarshi -b vektorni yig’indisini topish lozim ekan. ОА=а va ОС =b vektorlarni ayirmasini topish uchun bu vektorlarni 24 tomon hisoblab, yasalgan ОАВС parallelogramning С uchidan o’tkazilgan diagonali СА vektorni topish lozim. Ayirma vektorda yo’nalish «ayriluvchidan» dan «kamayuvchi» ga qarab yo’naladi(19e -chizma). 3. Vektorni songa ko’paytirish. Noldan farqli а vektorning m0 songa ko’paytmasi deb, а vektorga kollinear, uzunligi m a ga teng bo’lgan, m0, bo’lganda а vektor bilan bir xil yo’nalgan, m 0 bo’lganda esa unga qarama–qarshi yo’nalgan hamda m а bilan belgilanadigan vektorga aytiladi(20-chizma).
Izoh. 1. Istalgan а vektorni uning uzunligi а bilan unga mos а 0 birlik vektorni ko’paytmasi shaklida tasvirlash mumkin, ya‘ni а = а 0 а . 2. а va b ( b 0 ) kollinear vektorlar uchun shunday yagona son mavjud bo’lib а = b tenglik o’rinli bo’ladi. Haqiqatan, а = а 0 а , b = b 0 b vektorlarni kollinearligidan 0 а = 0 b ekanligi kelib chiqadi. U holda а = а 0 b = b а b yoki b а = belgilashni kiritsak а = b hosil bo’ladi. Shunday qilib vektorlarni qo’shish, ayirish hamda vektorni songa ko’paytirish natijasida vektor hosil bo’lar ekan. Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega. 1. а + b =b + а (21а -chizma); 2. ( а + b )+ с =а + ( b + с ) (21b -chizma); 3. m( а + b )=m а + m b . 4. а +0= а ; 5. а +(- а )= 0 ; 6. а 1= а ; 7. (m+n) а = m а +n а , m va n haqiqiy sonlar; 8. (mn) а = m(n а )=n (m а ). 4.4. Ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi. 25 Fazoda а va b vektorlar berilgan bo’lsin. Fazoda ixtiyoriy 0 nuqtani olib ОА =а va ОВ =b vektorlarni yasaymiz. 5-tarif. а va b vektorlar orasidagi burchak deb ОА va ОВ vektorlardan birini ikkinchisi bilan ustma-ust tushishi uchun burilishi lozim bo’lgan (0 ) burchakka aytiladi. а vektor bilan o’q orasidagi burchak deganda а vektor bilan o’qda joylashgan va у bilan bir xil yo’nalgan 0 birlik vektor orasidagi burchak tushiniladi. а va b vektorlar orasidagi burchak ( а ^ b ) kabi belgilanadi. Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi а ·b = а · b ·cos( а ^ b ) dan cos( а ^ b )= а b а b ni topamiz. Agar vektorlar а =а х i + a y j + a z k , b =bх i +bу j +bz k yoyilmari yordamida berilgan bo’lsa, u holda (7.9) dan hamda vektorni uzunligini topish formulasi (6.6) dan foydalanib vektorlar orasidagi burchakning kosinusini topish uchun.
1.3 Vektorlarni vektor va aralash ko’paytmasi
Asosiy tushunchalar 1.1. Tartiblangan sistema. Agar uch vektordan iborat sistema ma’lum tartibda (1-chi, 2-chi, 3-chi) berilgan bo’lsa, bunday sistema tartiblangan sistema deyiladi. Uchta 𝑎 , 𝑏, 𝑐 komplanar bo’lmagan tartiblangan vektorlar berilgan bo’lsin. Bu vektorlarni umumiy boshlang’ich nuqtaga keltiramiz. O’ng uchlik Chap uchlik 1.2. O’ng va chap uchliklar 𝑐 vektor uchidan qaraganda 𝑎 vektordan 𝑏 vektorga eng qisqa burilish soat mili aylanishiga teskari yo’nalishda bo’lsa, u holda bu vektorlar uchligini o’ng uchlik deyiladi. Aksincha bu vektorlar uchligi chap uchlik tashkil etadi deyiladi. Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi ham o’ng va chap sistemalarga bo’linadi. O’ng sistema Chap sistema 2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va xossalari 1-Ta’rif. 𝑎 vektorni 𝑏 vektorga vector ko’paytmasi deb, shunday 𝑐 vektorga aytiladiki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi. 1) 𝑐 ⊥ 𝑎 va 𝑐 ⊥ 𝑏 ; 2) 𝑎 , 𝑏, 𝑐 vektorlar o’ng uchlikni tashkil etadi. 3) 𝑐 vektorni uzunligi 𝑎 va 𝑏 vektorlarda yasalgan parallelogram yuziga teng bo’ladi. Ya’ni 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙sin𝜑 (1) 𝑎 va 𝑏 vektorlarning vektor ko’paytmasi 𝑎 × 𝑏 ko’rinishda belgilanadi. 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 = 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 (2) Vektor ko’paytmaning xossalari 1 ° . 𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × 𝑎 2 ° . (λ𝑎 )× 𝑏= λ(𝑎 × 𝑏) 3 ° . 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑏+𝑎 × 𝑐 4 ° . 𝑎 × 𝑎 = 𝑏 × 𝑏 = 0 5 ° . 𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0 Vektor ko’paytmani determinant orqali hisoblash. Aytaylik 𝑎 va 𝑏 vektorlar 𝑖 ,𝑗, 𝑘 ortlar orqali yoyilgan bo’lsin. Ya’ni 𝑎 =𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘, 𝑏=𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 Bu holda vector ko’paytma quyidagi formulalardan aniqlanadi: 𝑎 × 𝑏= 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 (3) 𝑎 va 𝑏 vektorlarda yasalgan uchburchak yuzi 𝑆∆ = 1 2 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 = 1 2 𝑎 × 𝑏 3. Uch vektorni aralash ko’paytmasi va xossalari. Uchta 𝑎 , 𝑏, 𝑐 komplanar bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin. 2-Ta’rif. 𝑎 × 𝑏 vektor ko’paytmani 𝑐 vektorga skalyar ko’paytmasiga aralash ko’paytma deyiladi va uni (𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 =𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐 ) ko’rinishda belgilanadi. Uch vektorning aralash ko’paytmasi skalyar miqdor bo’lib, uni geometrik ma’nosi 𝑎 , 𝑏 𝑣𝑎 𝑐 vektorlarda yasalgan parallelopipedning hajmiga teng. 𝑉 = (𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 = = 𝑎 × 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 Bu yerda h = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠
|
| |
