O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI
Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti
Qarshi filiali
KI-13-22 s guruh talabasi Qahhorova Nigoraning
Extimollik va statistika fanidan bajargan
2-MUSTAQIL ISHI
Bajardi: Qahhorova Nigora
Qabul qildi:
Polinomial sxema. Tajribalarning o’zgaruvchan shartlarida Bernulli sxemasi. Tasodifiy miqdor taqsimoti va taqsimot funksiyasi, ularning bir-biridan kelib chiqishi. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, taqsimot funksiyasi, sonli xarakteristikalari. Uzluksiz tasodifiy miqdor, taqsimot funksiyasi, zichlik funksiya, sonli xarakteristikalari.
REJA:
Polinomial sxema
Bernulli sxemasi
Tasodifiy miqdor taqsimoti va taqsimot funksiyasi
Uzluksiz tasodifiy miqdor, taqsimot funksiyasi, zichlik funksiyasi, sonli xarakteristikalari
Polinomial sxema, ko'plab olaylar yoki kategoriyalardagi boshqarishni ifodalovchi o'zgaruvchanlar uchun ishlatiladi. Bu sxemada, bitta qator bo'lgan n ta olay yoki kategoriyalar (m) bormi, yo'qligini boshqarish talab etiladi. Misol uchun, bir savolnoma mavjud bo'lgan yoki bir ko'prik bo'lgan holatda, har bir savol uchun har bir variant tanlash mumkin bo'ladi.
Polinomial sxema quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:
$$P(X_1 = k_1, X_2 = k_2, ..., X_m = k_m) = \frac{{n!}}{{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!}} \cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_m^{k_m}$$
Bu yerda:
- \(P(X_1 = k_1, X_2 = k_2, ..., X_m = k_m)\) - ma'lum bir soniya bo'yicha o'zgaruvchanlar kombinatsiyasining ehtimoli.
- \(n\) - o'zgaruvchanlar umumiy soni.
- \(m\) - kategoriyalar yoki o'zgaruvchanlar soni.
- \(k_i\) - \(i\)-kategoriyadagi o'zgaruvchanlar soni.
- \(p_i\) - \(i\)-kategoriyadagi o'zgaruvchanlar sodda bo'lish ehtimoli.
Polinomial sxema, boshqarishda har bir kategoriyani o'zaro bog'langanlikni ifodalaydi va ko'p olaylarni o'z ichiga oladi. Misollar, boshqarishda mahsulotlar bo'yicha ko'p variantli savdo tadbirlari, sayohat rejalarining o'zgartiriladigan miqdori, turli yoshdagi shaxslar bo'yicha tanlovlar, va hokazo uchun o'rinlashtirilgan bo'lishi mumkin.
Polinomial sxemani amaliyotda va xalqaro ilmiy tadqiqotlarda ko'p ko'paytirilgan. Uni istiqomat va biznesda, ko'plab variantli xarajatlar va ma'lumotlar analizi jarayonlarida ishlatish mumkin.
Bernulli sxemasi, bitta martalik olayning sodda bo'lish ehtimoli \(p\) va muvaffaqiyatli bo'lmaganligi ehtimoli \(1-p\) ni hisoblash uchun ishlatiladi. Bu sxema, yagona imkoniyatli olaylarni, masalan, chipdagi yangi soniya yoki bir marta tomosha qilish kabi holatlarni ta'riflashda yordam beradi.
Bernulli sxemasi quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:
$$P(X = k) = p^k \cdot (1-p)^{1-k}$$
Bu yerda:
- \(P(X = k)\) - yagona muvaffaqiyatlik soniyasi \(k\) ga teng bo'lishining ehtimoli.
- \(k\) - 0 yoki 1 bo'lgan butun son.
- \(p\) - bitta martalik olayning sodda bo'lish ehtimoli.
- \(1-p\) - bitta martalik olayning muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimoli.
Bernulli sxemasi, bitta muammoga doir bitta muvaffaqiyatlikni aniqlash vaqtida qo'llaniladi. Masalan, chipning yangi bir soniya chiqarishining ehtimoli, yangi mahsulotni sotib olishni qabul qilishning ehtimoli, bir savolga to'g'ri javob bermoqqa qodirlikning ehtimoli kabi holatlarda ishlatiladi.
Bernulli sxemasi, statistikada, iqtisodiyotda, ma'lumotlar analizida va boshqa sohalarida muhim bir vosita sifatida foydalaniladi. Misol uchun, marketing ilmiyotida mijozlar tomonidan mahsulotni sotib olishning ehtimolini aniqlash, internet platformalarida foydalanuvchilar tomonidan bir maqolaga tugallashning ehtimoli va boshqalar kabi muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.
Tasodifiy miqdor taqsimoti (binomial distribution) bir yoki undan ko'p bitta muvaffaqiyatli amalni o'rganuvchilar uchun muhimdir. Bu taqsimot, bitta amalni n marta bajarish ehtimolining hisoblanishida foydalaniladi. Masalan, n ta'lim olish jarayonida bir imtihon savollariga javob berishning muvaffaqiyatli bo'lishi ehtimolini hisoblashda yoki savdo tadbirlarida mahsulotni sotish uchun bir narsani ko'rishning muvaffaqiyatli bo'lish ehtimolini aniqlashda ishlatiladi.
Tasodifiy miqdor taqsimoti quyidagi formulalar bilan ifodalaymiz:
1. Taqsimot funksiyasi:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
Bu yerda:
- \(P(X = k)\) - \(X\) o'zgaruvchanining \(k\) ga teng bo'lishining ehtimoli.
- \(n\) - umumiy sinovlar, urinishlar yoki olaylar soni.
- \(k\) - muvaffaqiyatli amallar soni.
- \(p\) - har bir urinishda amalni muvaffaqiyatli bajarishning ehtimoli.
- \(\binom{n}{k}\) - kombinatsiya, \(n\) elementlardan \(k\) elementlarni tanlashning hisoblash formulasi: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
2. Tasodifiy miqdor: \(X \sim Binomial(n, p)\).
3. Sonli xarakteristika:
- Ortalama qiymat (\(\mu\)): \(\mu = n \cdot p\)
- Dispersion (\(\sigma^2\)): \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\)
Tasodifiy miqdor taqsimoti, bitta amalni bir nechta marta bajarish ehtimoli haqida ma'lumot beradi. Agar bir qatorda \(n\) ta urna bo'lsa va har bir urnada boshqarish ehtimoli \(p\) bo'lsa, uning miqdori tasodifiy miqdor taqsimoti bilan ifodalash mumkin. Bu formulalar, istiqomat va iqtisodiyot, sanoat, ma'lumotlar analizi va boshqa sohalar bilan bog'liq bir qator muammolar va topishmalar uchun asosiy qo'llanma sifatida ishlatiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor (Poisson distribution) bir amalning bitta urinishda yuzaga kelishining ehtimoli haqida ma'lumot beradi, bitta muddat davomida juda ko'p o'tkazilgan amallar sonining katta miqdorida bo'lishi ehtimoli. Misol uchun, mahalliy pochtadan kundalik xat yoki bir ofisning bir haftada kiritilgan telefon qo'ng'iroqlarining soni kabi holatlarda uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimoti ishlatiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimoti quyidagi formulalar bilan ifodalaymiz:
1. Taqsimot funksiyasi:
$$f(x) = \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}}{{x!}}$$
Bu yerda:
- \(f(x)\) - \(x\) soni uchun taqsimot funksiyasi.
- \(x\) - bitta amalni bajarishning yuzaga kelishining ehtimoli (butun son).
- \(e\) - Euler soni (yaklasik 2.71828).
- \(\lambda\) - ortiqcha amallar miqdori (har bir muddatda).
- \(x!\) - \(x\) faktoriali (butun sonlar uchun faktorial).
2. Taqsimot qonuni:
$$F(x) = \sum_{k=0}^{x} \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}}{{k!}}$$
3. Zichlik funksiyasi:
$$F(x) = 1 - e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{x} \frac{{\lambda^k}}{{k!}}$$
4. Sonli xarakteristika:
- Ortalama qiymat (\(\mu\)): \(\mu = \lambda\)
- Dispersion (\(\sigma^2\)): \(\sigma^2 = \lambda\)
Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimoti, juda ko'p qabul qilinadigan holatlarni ta'riflashda va hisoblashda qo'llaniladi. Masalan, ma'lum bir vaqtda to'plam joylashgan yutuqlar soni, bir muddat davomida kelib chiqqan yutuqlar soni, internet saytga kelgan foydalanuvchilar soni kabi holatlarda ishlatiladi.
Diskret tasodifiy miqdor (discrete probability distribution) bir amalning bitta urinishda bo'lishining ehtimoli haqida ma'lumot beradi, lekin bu urinishlar soni butun sonlar qatorida chetlashgan. Bu taqsimot, muntazam butun sonlar yig'indisi yoki san'at amaliyotlarda qabul qilingan aksiyalar kabi diskret holatlarni ta'riflashda qo'llaniladi.
Diskret tasodifiy miqdor taqsimoti quyidagi formulalar bilan ifodalaymiz:
1. Taqsimot funksiyasi:
$$P(X = k) = p_k$$
Bu yerda:
- \(P(X = k)\) - \(X\) o'zgaruvchanining \(k\) ga teng bo'lishining ehtimoli.
- \(k\) - amalning bitta urinishi (butun son).
- \(p_k\) - \(k\)-urinishning ehtimoli.
2. Taqsimot qonuni:
Diskret tasodifiy miqdor taqsimotining qonuni, barcha ehtimollar yig'indisining 1 ga teng bo'lishi sharti bilan aniqlanadi.
$$\sum_{k} p_k = 1$$
Diskret tasodifiy miqdor taqsimoti, amaliyotda qat'iy yoki mosligi aniq bo'lmagan olaylarni ta'riflashda va hisoblashda qo'llaniladi. Misol uchun, zarb oyinida bir zarning qanday son chiqishi ehtimoliga oid taqdimotlar, yangi mahsulotni sotib olish jarayonida bir mahsulotni sotishning ehtimoli, yoki barcha mumkin bo'lgan natijalar (masalan, elektron pochta yuborish, yangiliklarni ko'rish, ko'proqlikka tashrif buyurish, xabar yuborish va hokazo) uchun taqsimotlar qo'llaniladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor (Poisson distribution)ning sonli xususiyatlari quyidagilar:
1. Ortalama qiymat (\(\mu\)): Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotida ortiqcha amallar soni \( \lambda \) ga teng bo'lgan:
\[ \mu = \lambda \]
2. Dispersion (\(\sigma^2\)): Dispersion \(\lambda\) ga teng bo'lgan:
\[ \sigma^2 = \lambda \]
Ta'riflar:
- Ortalama qiymat (\(\mu\)): Amalning orta qiymati yoki orta miqdori.
- Dispersion (\(\sigma^2\)): Amalning izchilligi yoki o'sish darajasi.
Taqsimot funksiyasi:
\[ f(x) = \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}}{{x!}} \]
Zichlik funksiya:
\[ F(x) = 1 - e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{x} \frac{{\lambda^k}}{{k!}} \]
Bu formulalar, uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimoti bilan bog'liq ma'lumotlarni hisoblashda va tahlil qilishda ishlatiladi. Misol uchun, kundalik yoki haftalik telefon qo'ng'iroqlarining sonini aniqlashda, pochtadan kundalik xatlar sonini hisoblashda, bir mahsulotni sotish jarayonida har bir soatdagi sotishlar sonini aniqlashda, va hokazo.
| 