Ключевые слова
: автомодель, диффузия, плотность, биологическая популяция,
теплопроводность, математическое моделирование, фильтрация.
Bugungi kunda amaliy matematika sohasida chiziqsiz issiqlik o‘tkazuvchanlikka ega
bo‘lgan muhitda issiqlik tarqalishi jarayonini o‘rganish va yechish ko‘p sonli olimlarni
qiziqtirayotgan dolzarb masalalardan biri hisoblanadi. Shu jumladan “etalon tenglamalar”
usuli yordamida parabolik tipdagi chegaraviy masalaning chegaralanmagan yechimlari
67
mavjudligi haqidagi teoremalar isbotlangan, hamda lokalizatsiya effekti mavjudligi yoki
yo‘qligini ko‘rsatuvchi baholar olingan [2].
Qayd etish joizki, chiziqsiz hossalarni o‘rganishda asosiy jihat turli xil yechimlarni
baholash, so‘ngra ular asosida masalani sonli modellashtirishdan iborat. Bunda A.A.
Samarskiy, S.P. Kurdyumov, V.A. Galaktionov, L.K. Martinson, M.A. Aripovlarning ishlarida
keltirilgan avtomodel va taqribiy-avtomodel yondashuvlar katta rol o‘ynadi [1-5].
Quyida o‘zgaruvchan zichlikka ega chiziqsiz muhitda issiqlik tarqalish jarayonini
ifodalovchi
(
*
tenglama va boshlang‘ich
shart berilgan. Bu yerda
shartni qanoatlantiruvchi zichlik funksiya.
(1) tenglama qator fizik jarayonlarni ifodalaydi: chiziqsiz muhitda reaksiya diffuziya
jarayonini, bir jinsli bo‘lmagan chiziqsiz muhitdagi issiqlik tarqalish jarayonini, suyuqlik va
gazlarda filtiratsiya jarayonini, biologik populyatsiya, politrapiya qonuni va boshqa chiziqli
bo‘lmagan ko‘chishlarning mavjudligini ifodalaydi.
Ushbu tenglamani yechishning bir qancha usullari mavjud bo‘lib, ulardan avtomodel
yechim orqali tenglama yechish ko‘rib chiqiladi. Hozirgi kunda chiziqsiz issiqlik tarqalish
jarayonlarini tadqiq qilishda avtomodel yechim tushunchasi juda keng ommalashdi [5].
(1) tenglama uchun VKB metodini qo‘llab
(
*
ko‘rinishiga olib kelamiz.
Buning uchun (1) tenglamani
(
)
ko‘rinishida ifodalaymiz va etalon
tenglamalar usuli yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz:
(
)
(3),
bu yerda
.
) va
funksiya quyidagi tenglamalarni qanoatlantiradigan
bo‘lishi kerak. Ya’ni,
{
Bundan
va
uchun quyidagi bog‘liqlarni hosil qilamiz:
(
)
yoki
√
.
Bu yerda
funksiyadan
uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
.
(3) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
(
)
(4)
(
*
68
(
*
((
*
)
(
)
(5).
Natijada
tenglama
tenglamaga keladi va bu tenglamaning yechimi uchun ushbu
tenglik o‘rinli [5]:
⁄
⁄
,
⁄
⌈
⌉
⁄
,
bu yerda
–musbat o‘zgarmaslar va
|
