|
О‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
QARSHI DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIKA VA KOMPYUTER ILMLARI FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA KAFEDRASI
BOZOROV SHAMSIDDINNING
“Oddiy differensial tenglama uchun qo’yilgan chegaraviy masalani eng kichik kvadratlar usuli bilan taqribiy yechish”
mavzusida yozgan
KURS ISHI
Rahbar: Xurramov A.
QARSHI 2024
Mundarija:
KIRISH
Eng kichik kvadratlar usulining mohiyati
Eng kichik kvadratlar usulining tarixi
Eng kichik kvadratlar usulining statistik xususiyatlari
Umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar+
Xulosa………………………………………………………….
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………….
Faraz qilaylik, H - haqiqiy Gilbert fazosi boisin. H da zich D(A) to‘plamda aniqlangan, qiymatlari H ga tegishli chiziqli operatomi A deb belgilaylik va
Ay = f (1)
tenglamani ko‘raylik. Bu yerda f H va yechim y D(A). (1) teng- lama yechimga ega boisin deylik. (1) tenglamaga quyidagi
J(y) = ||Ay-f||2 (2)
funksionalni mos qo‘yamiz va (1) ni yechish masalasini shu funk- sionalni D(A) da minimumga erishtiruvchi elementni aniqlash masalasiga almashtiramiz, ya’ni
min J(y)=J(y*) = 0.
y (A)
Bu tenglamadan ayonki, y* Ay = f tenglamaning yechimi bo‘ladi. Ay = f tenglamani yechish o‘miga (2) funksionalning minimurnini topishga asoslanib, Ay = f tenglamani yechish metodi kichik kvadratlar metodi deyiladi.
J(y) funksionalni quyidagicha minimumga erishtiramiz. D(A) ga tegishli chiziqli erkli { } funksiyalar sistemasini tanlaymiz va (1) tenglamaning yechimiga n-yaqinlashishni
(3)
ko'rinishda izlaymiz. Noma’lum ck(k = 1,2,...,n) koeffitsiyentlar
J(yn) = ||Ay-f||2
funksional minimumga erishsin deb topiladi. Biz quyidagi
chiziqli chegaraviy masalani kichik kvadratlar metodi bilan yechish sxemasini keltiraxniz. Quyidagi shartlami qanoatlantiruvchi (k = 1,2,....,n) funksiyalar sistemasini qaraymiz:
3. Ixtiyoriy chekli n uchun { }nk=1 funksiyalar sistemasi chiziqli erkli.
4. (k = 1,2,....,n) C2[a,b] da toq bo’lsin.
(4), (5) chegaraviy masalaning taqribiy yechimini (3) ko‘rinishda izlaymiz. (3) funksiya (5) chegaraviy shartlami ixtiyoriy n va c1, c2,...,cn lar uchun qanoatlantiradi. C1,c2,...,cn lami shunday tanlaylikki,
J(yn) = ||Ay-f||2
minimal qiymatga ega bo‘lsin. Ma'lumki,
Bundan c (i = 1,2,...,n) lar bo‘yicha birinchi tartibli xususiy hosi- laiar olib nolga tenglaymiz va hosil bo‘lgan chiziqli algebraik teng- lamalami hosil qilamiz
B uni quyidagicha yozamiz:
(6)
b u yerda
(6) tenglamalar sistemasining matritsasi {Z.(cpt (x))}^ ^ funksiyalar sistemasi uchun tuzilgan Graxn
(6) tenglamalar sistemasining matritsasi {L( )}nk=1 funksiyalar sistemasi uchun tuzilgan Graxn matritsasidir. (6) tenglamalar sistemasining yechimga ega bo‘lishi faqat { } funksiyalar sistemasining xususiyatlariga bog‘liq bo‘lmay, qarala- yotgan chegaraviy masalaga ham bog‘liq ho‘ladi, xususan
L(y) = 0, y(a) = 0, y(b) = 0 (7)
bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo‘lishi kerak. Quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema. Agar (7) chegaraviy masala faqat nol yechimga ega bo‘lsa, u holda (6) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi maxsusmas bo‘lib, (6) yagona yechimga ega.
XIX asr boshlarigacha. olimlar noma'lumlar son tenglamalar sonidan kam bo'lgan tenglamalar tizimini yechishning aniq qoidalariga ega emas edilar; Shu vaqtgacha, tenglamalar turiga va kalkulyatorlarning zukkoligiga qarab alohida usullar qo'llanilgan va shuning uchun bir xil kuzatish ma'lumotlaridan boshlab turli xil kalkulyatorlar turli xil xulosalarga kelishgan. Usulning birinchi qo'llanilishi Gauss (1795) hisoblangan, Legendre (1805) mustaqil ravishda uni zamonaviy nomi bilan kashf etgan va nashr etgan (frantsuzcha Méthode des moindres quarrés). Laplas usulni ehtimollar nazariyasi bilan bog'ladi va amerikalik matematik Adrain (1808) uning ehtimollik qo'llanilishini ko'rib chiqdi. Usul Encke, Bessel, Hansen va boshqalar tomonidan olib borilgan keyingi tadqiqotlar natijasi kengaytirildi va takomillashtirildi.
A.Markovning 20-asr boshidagi ishlari eng kichik kvadratlar usulini matematik statistikani baholash nazariyasiga kiritishga imkon berdi, bu muhim va tabiiy qismdir. Y.Neyman, F.Devid, A.Aitken, S.Raolarning sa'y-harakatlari bilan bu sohada ko'plab muhim natijalarga erishildi. Eng kichik kvadratlar usuli- tasodifiy xatoliklarni o'lchash natijasida hosil bo'ladigan noma'lum miqdor qiymatini baholash usullaridan biri. Eng kichik kvadratlar usuli k. u. berilgan funksiyani yanada soddaroq funksiyalar orqali taqriban ifodalashda ham qo'llanadi.
Eng kichik kvadratchalar usuli tajriba kiritish ma'lumotlaridan ba'zi funktsiyalarning og'ish kvadratlari yig'indisini minimallashtirishga asoslangan turli muammolarni hal qilish uchun ishlatiladigan matematik usul. U haddan tashqari aniqlangan tenglamalar tizimini yechish uchun (tenglamalar soni noma'lumlar sonidan oshib ketganda), oddiy (ortiqcha aniqlanmagan) chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimlarida yechim topish, nuqta qiymatlarini yaqinlashtirish uchun ishlatilishi mumkin. ma'lum bir funktsiyaga ega. EKU- namunaviy ma'lumotlardan regressiya modellarining noma'lum parametrlarini baholash uchun regressiya tahlilining asosiy usullaridan biri.
skalar eksperimental ma'lumotlar to'plami bo'lsin, vektor eksperimental ma'lumotlar to'plami va y x ga bog'liq deb taxmin qilinadi, Ayrim (eng oddiy holatda chiziqli) skalyar funksiya kiritiladi, noma'lum parametrlarning vektori bilan aniqlanadi
Eng kichik kvadratlar usuliga ko'ra, yechim vector beta bo'lib, u funktsiyani minimallashtiradi.
Eng oddiy f(x)=beta holatda eng kichik kvadratlarning natijasi kiritilgan ma'lumotlarning o'rtacha arifmetik qiymati bo'ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Hisoblash usullari: o‘quv qoTlanma / G.P.Ismalullayev. 0 ‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus taTim vazirligi. — T.: «Tafakkur Bo‘stoni», 2014. —240 b.
|
