Qo’qon davlat pedagogika instituti boshlang’ich ta’lim fakulteti 309-guruh talabasi
Mo’minjonova Yoqutxonning oliy matematikadan mustaqil ishi
Mavzu: Aniq integralning xossalari. Aniq integralni xisoblashning nyuton leybnits formulasi.
Reja:
1.Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar
2. Aniq integralning xossalari
3. nyuton-leybnits formulasi
1. Aniq integralga keltiriladigan masalalar haqida. Aniq integral matematik tahlilning eng asosiy amallaridan biridir.
Yuzalarni, yoy uzunliklarini, hajmlarni, o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishini hamda iqtisodning bir qancha masalalari aniq integralga keltiriladi.
O‘zgaruvchan kuchning bajargan ishi masalasi
Masala. Material nuqta o‘zgaruvchan kuch ta’sirida o‘qi bo‘yicha harakatlanayotgan bo‘lsin. kuch ta’sirida material nuqta a nuqtadan v nuqtaga o‘tganda bajarilgan ishni hisoblang. kuch ning funksiyasi bo‘ladi. kesmada uzluksiz bo‘lsin.
Yechish: kesmani nuqtalar orqali šismiy kesmalarga ajratamiz.
1-chizma.
Mexanikadan ma’lumki kuch o‘zgarmas bo‘lsa, bajarilgan ish , bunda kuch miqdori, l - siljish uzunligi. Har bir qismiy kesmada bittadan nuqta tanlaymiz. Bu nuqtalardagi kuchning qiymatini larni hisoblaymiz . Bunda har bir qismiy kesmada bajarilgan ish
bo‘ladi. kesmada bajarilgan ish taqriban
bo‘ladi.
deb belgilasak, bajarilgan ishning aniq qiymati
= (1)
bo‘ladi.
Shunday qilib, o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishini hisoblash uchun (1) ko‘rinishdagi cheksiz ko‘p sondagi cheksiz kichiklar yig‘indisining limitini hisoblash kerak ekan. Bunday limitni hisoblashga juda ko‘p sondagi geometrik, texnik, texnologik va iqtisodiy jarayonlardagi masalalar keltiriladi.
2. Aniq integralning asosiy xossalari
Aniq integral quyidagi asosiy xossalarga ega:
1) chekli sondagi integrallanuvchi funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
2) o‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan chiqarish mumkin, ya’ni
;
3) kesmada bo‘lsa,
bo‘ladi;
4) kesmada tengsizlik bajarilsa,
bo‘ladi;
5) kesmadagi biror nuqta bo‘lsa,
tenglik o‘rinli bo‘ladi;
6) va sonlar funksiyaning kesmadagi mos ravishda eng kichik va eng katta qiymatlari bo‘lsa,
tenglik o‘rinli bo‘ladi;
bo‘ladi;
10) kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday bir nuqta topiladiki
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bunga o‘rta qiymat haqidagi teorema deb ham aytiladi.
3. Aniq integralni hisoblash. N’yuton-Leybnis formulasi.
Aniq integralning ta’rifiga asosan, ya’ni cheksiz ko‘p sondagi cheksiz kichiklar yig‘indisining limitini hisoblash ancha qiyinchilikka olib keladi. Shuning uchun aniq integralni hisoblash uchun, boshqa aniqmas integral bilan aniq integral orasidagi bog‘lanishga asoslangan usuldan foydalaniladi.
, kesmada uzluksiz funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri bo‘lsa
(2)
formula o‘rinli bo‘lib, bunga N’yuton-Leybnis formulasi deyiladi. Bundan foydalanib aniq integralning kattaligi hisoblanadi.
Shunday qo‘yilib, aniq integralni hisoblash uchun ham, aniqmas integraldagidek, boshlang‘ich funksiyani topish kerak ekan. Bunday masala bilan aniqmas integralni hisoblashda to‘laroq shug‘ullandik. Demak, aniqmas integralni hisoblashdagi hamma formula va usullar o‘z kuchida qolib, undan aniq integralni hisoblashda ham foydalanamiz.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. .
Eslatma: funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini oldik, buning o‘rniga ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasini olganda ham natija bir xil bo‘ladi. Haqiqatan, ham
bo‘ladi. Shuning uchun bundan keyin bo‘lgan boshlang‘ich funksiyani olamiz.
2-misol. integralni hisoblang:
Yechish; almashtirish olamiz, bo‘lib,
bo‘lganda, bo‘ladi.
Shunday qilib,
Demak, aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirilganda o‘zgaruvchilar bo‘yicha uning integrallash chegaralarini ham almashtirib olinsa, aniqmas integraldagidek oldingi o‘zgaruvchiga qaytish kerak emas.
3-misol. integralni hisoblang.
Yechish: Bo‘laklab integrallash
formulasidan foydalanamiz:
|
