|
-teorema. Evklid fazosining to‘ldiruvchisi ham Evklid fazosi bo‘ladi.
Isbot
|
| bet | 7/7 | | Sana | 09.01.2024 | | Hajmi | 1,14 Mb. | | #132793 |
Bog'liq QO\'SHMA OPERATORLAR1-teorema. Evklid fazosining to‘ldiruvchisi ham Evklid fazosi bo‘ladi.
Isbot. Bu teorema metrik fazolarning to‘ldiruvchisi haqidagi teorema isbotiga o‘xshab isbotlanadi. To‘ldiruvchi fazo 𝐸̅ ning 𝑥 va 𝑦 elementlarini olamiz. Aytaylik {𝑥𝑛} va {𝑦𝑛} E fazoning elementlaridan tuzilgan va mos ravishda 𝑥 va 𝑦 ga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar bo‘lsin.
Agar (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) sonli ketma-ketlikni qarasak, ushbu
|(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) - (𝑥𝑚, 𝑦𝑚)| ≤ |(𝑥𝑛, 𝑦𝑛 - 𝑦𝑚)| + |(𝑥𝑛 - 𝑥𝑚, 𝑦𝑚)|
≤ ‖𝑥𝑛‖‖𝑦𝑛 - 𝑦𝑚‖ + ‖𝑥𝑛 - 𝑥𝑚‖‖𝑦𝑚‖
tengsizlikdan {(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)} ketma-ketlikning fundamental ketmaketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak, mavjud. Bu limit va ketma-ketliklarga emas, ba’lki faqat va elementlarigagina bog’liqligi bevosita tekshiriladi. Endi da skalyar ko’paytmani quyidagicha aniqlaymiz:
Masalan,
Shunga o’xshash
Demak, Evklid fazosidir.
Ta’rif. To‘la Evklid fazosi Gilbert fazosi deyiladi.
2-teorema. Banax fazosi Gilbert fazosi bo‘lishi uchun undagi norma, ixtiyoriy 𝑥, 𝑦 uchun
‖𝑥 + 𝑦‖2 + ‖𝑥 - 𝑦‖2 = 2(‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2)
shartni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
26
Gilbert fazosida Gilbert fazosida ortonormal sistema berilgan bo’lsin. Sonlar biror elementning Furye koeffitsentlari bo’lishi uchun
qator yaqinlashuvchi bo’lishi zarur. Gilbert fazosida bu shart shu bilan birga kifoyadir.
Funksional analiz hozirgi zamon matematikasining muhim sohalaridan biridir. U matematikaning bir necha sohalari (jumladan, matematik analiz, funksiyalar nazariyasi, integral va differensial tenglamalar nazariyasi, variatsion hisob) chegarasida, ularning tushunchalari va metodlarini umumlashtirilishi natijasida XX asr boshlarida yangi va mustaqil soha sifatida vujudga keldi. So’nggi, taxminan, yarim asr mobaynida funksional analiz g‘oyat chuqur va keng rivoj topdi. Bu rivojlanish ayni vaqtda ham davom etmoqda. Hozirgi kunda funksional analiz matematikaning ko’p tarmoqli sohalaridan biriga aylanib, matematika va fizikaning turli bo’limlarida keng tatbiq qilinmoqda. Funksional analizning muhim xislatlaridan biri murakkab funksional fazolarni (nuqtalari funksiyalardan iborat fazolarni) metrika, norma va skalyar ku’aytma yordamida soddaroq, yaxshi o’rganilgan fazolarga, masalan, to’g‘ri chiziqqa qo’lay tarzda aks ettirib olib, o’rganishdan iboratdir. Bu g‘oya asrimizning boshlarida amalga oshirilib, kelgusida keng rivoj topdi. Bu g‘oyaga biz ham mazkur kitobda yetarli darajada e’tibor berdik. Funksional analizda, odatda, funksional fazolar bir necha o’zaro uzviy bog‘langan turli matematik strukturalar (masalan, algebraik amallar, metrika, norma, skalyar ko’paytma, qisman tartib) kiritilgan holda quriladi. Funksional fazolarning bu tarzda qurilishi funksional analizda turli metodlarni, ayniqsa, analitik va topologik metodlarni qo’llanish imkonini beradi. Funksional analizning asosiy mazmuni funksional fazolarni va ularda aniqlangan operatorlarni o’rganishdir. Funksional analiz matematikaning alohida bo‘limi sifatida XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida shakllana boshladi. Metrik fazo tushunchasi fanga fransuz matematigi Freshe tomonidan XX asr boshlarida kiritilgan,
27
normalangan fazo tushunchasi 1922-yilda polyak matematigi Banax va unga bog‘liq bo‘lmagan holda amerikalik matematik Viner tomonidan kiritilgan. Funksional analizning eng muhim, dolzarb yo‘nalishlaridan biri operatorlar algebralari nazariyasi va uning tatbiqlari, Banax algebralari sohasining asosiy qismini tashkil qilib, Respublikamizda keng rivojlantirilmoqda. Toshkent funksional maktabi vakillarining ko‘plab ilmiy tadqiqotlari, oxirgi 20-30 yil davomida ushbu yo‘nalishga aloqador bo‘lib, aytish mumkinki ko‘plab, chuqur va muhim natijalar olindi. Funksional analiz matematikaning alohida. bo''limi sifatida. XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida shakllana boshlangan. Funksional analizga oid dastlabki ilmiy ishlar italyan matemagi Volterra. fransuz matematigi Puankare va nemis matematigi Hilbertga taalluqlidir. Ma’lumki universitetlarning Matematika", "Mexanika” va "Amaliy matematika va informatika" yo'nalishlari uchun tuzilgan o'quv rejada "Funksional analiz" fani ko‘zda tutilgan bo'lib, ixtisoslik fanlar ichida asosiy o'rin tutadi.
28
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Aleksandrov A.D., Nesvetaev N.Yu. Geometriya. M.,Nauka,1990.
2. Narmanov A.Ya. Differensial geometriya. T. Universitet, 2003
3. Pogorelov A.V. Differensialnaya geometriya. M.,1974.
4. Narmanov A.Ya. va boshqalar. Umumiy topologiyadan mashq va masalalar to‘plami. T.Universitet, 1996.
5. Sobirov M.A., Yusupov A.Ye. Differensial geometriya kursi. T. O‘qituvchi
6. T. A Sarimsoqov Funfsional analiz kursi Toshkent, 2015
7. Qobulov V. Q Funfsional analiz va hisoblash matematikasi T “O’qituvchi”
8. www.arxiv.uz
9. www.fayllar.org
10. www.wikipediya.org
29
|
| |
