1. Sanoq sistemasi haqida tushuncha Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari
Reja:
1.Sanoq sistemasi haqida tushuncha
2.Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari
3.Ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalari
EHM ─ bu elektron raqamli qurilmadir. Elektron qurilma deyilishiga sabab har qanday ma’lumotlar EHM da elektr signallari orqali qayta ishlanadi. Raqamli deyilishiga sabab EHM da har qanday ma’lumot sonlar yordamida tasvirlanadi.
Sonlarni yozish usuliga sanoq sistemasi deb ataladi. Sonlarni yozish uchun har bir sanoq sistemasida o‘ziga xos turli belgilar to‘plamidan foydalaniladi. Foydalanilgan to‘plamdagi belgilar ularning soni, sanoq sistemasini xarakterlovchi asosiy kattaliklardir. Sanoq sistemasida foydalaniladigan belgilar soni sanoq sistemasining asosini tashkil etadi. Berilgan sanoq sistemasida sonlarni yozishdagi foydalanilgan belgilar soniga qarab, o‘nlik, ikkilik, sakkizlik, o‘n oltilik va boshqa sanoq sistemalarni kiritish mumkin. Shu bilan birga sanoq sistemalarini pozision va nopozision turlarga ajratish mumkin. Pozitsion sanoq sistemasida berilgan sonning qiymati sonni tasvirlovchi raqamlarning egallagan o‘rniga bog‘liq bo‘ladi. Misol sifatida, 0,1,2,3,. . . ,9 arab raqamlaridan tashkil topgan o‘nlik sanoq sistemani qarash mumkin. Nopozitsion sanoq sistemalarida, belgining qiymati uning egallagan o‘rniga bog‘liq emas. Misol sifatida rim raqamlari sanoq sistemasini keltirish mumkin. Masalan, XX sonida X raqami, qayerda joylashganiga qaramasdan o‘nlik sanoq sistemasidagi 10 qiymatini anglatadi.
Quyidagi jadvalda o‘nlik sanoq sistemasida berilgan 1 dan 16 gacha sonlarning ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalaridagi ko‘rinishi keltirilgan.
Bu jadval bo‘yicha bir sanoq sistamasidan ikkinchisiga o‘tish masalasini ko‘rib o‘taylik. Masalan: 10 lik sanoq sistemasidagi 13 soniga 8 lik sanoq sistemasida 15 soni mos keladi va u 13 ni 8 ga bo‘linganda hosil bo‘lgan butun son 1 va qoldiq 5 lardan tashkil topgan. Xuddi shuningdek 13 ni 6 ga bo‘lganda hosil bo‘luvchi butun son 2 va qoldiq 1 lar 21 sonini hosil qiladi. Bu son 13 sonining 6 lik sanoq sistemasidagi qiymatidir.
Odatda biror X sonining qaysi sanoq sistemasiga tegishliligini ko‘rsatish uchun uning pastida indeks sifatida zarur sanoq sistemasining asosi ko‘rsatiladi.
Masalan, X6 – X sonining 6 lik sanoq sitemasiga tegishli ekanligini ko‘rsatadi.
sonining X2-ikkilik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini topaylik. Yuqoridagidek, 13 ni ketma-ket 2 ga bo‘lamiz va bo‘lishni to butun qismida nol hosil bo‘lguncha davom ettiramiz.
O‘ngdan chapga tartibida yozilgan qoldiqlar, ya’ni 1101 soni sonining ikkilik sanoq sistemasidagi ko‘rinishi bo‘ladi.
Endi 8 lik sanoq sistemasidan 10 lik sanoq sistemasiga bo‘lish yo‘li bilan o‘tishga doir misollar ko‘raylik. Masalan, jadval bo‘yicha 158 ga 1310 mos keladi. Endi uni topib kuraylik, buning uchun 158 ni 10 lik sanoq sistemasining asosi–10 ning 8 lik sanoq sistemasidagi ko‘rinish – 12 ga bo‘lish kerak bo‘ladi. 158 ni 128 ga bo‘lsa butun qismida 1 va qoldiqda 3, ya’ni 1310 – hosil bo‘ladi. Bunga jadval orqali ishonch hosil qilish ham mumkin.
Ikkinchi misol: 1758 sonini 10 lik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini topish talab qilingan bo‘lsin. Xuddi yuqoridagidek 1758 ni 128 ga ketma-ket bo‘lamiz. Eslatib o‘tamiz, bo‘lish amali 8 sonlik sanoq sistemasida olib boriladi. (Jadvalga qaralsin)
R sanoq sistemasida berilgan sonni Q sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun, R sanoq sistemasidagi X soni Q sanoq sistemasining asosiga, ya’ni Q ga ketma-ket, to butun qismida 0 hosil bo‘lguncha davom ettirish kerak. Qoldiqlar o‘ngdan chapga karab ketma-ket yozilsa, R sanoq sistemasida berilgan Xr sonining Q sanoq sistemasidagi Xq ko‘rinishi hosil bo‘ladi. Bo‘lish amali berilgan R sanoq sistemasida amalga oshiriladi.
Ba’zi bir sanoq sistemalaridan ikkinchisiga qulayroq, osonroq holda o‘tish imkoniyatlari mavjud. Xususiy holda, 2 ga karrali sonlarning biridan 2 ikkinchisiga o‘tish qoidasini ko‘rib o‘tamiz.
Masalan, 8 lik sanoq sistemasida berilgan sonidan X2 ga bo‘lish uchun, X8 ning har bir raqamini 2 likdagi ko‘rinishi-triadalar () bilan almashtirib chiqamiz:
ni 2 lik sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun uning har bir raqamini 2 lik sanoq sistemasidagi to‘rtliklar-tetradalar bilan almashtiramiz:
Ikkilik sanoq sistemasida berilgan sondan 8 lik sanoq sistemasiga o‘tish uchun, uning o‘ng tomonidan boshlab har bir uchliklarni (triadalarni) 8 likdagi mos raqamlar bilan almashtiramiz. Masalan
Yuqoridagi X2 sonini 16 lik sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun X2 ni o‘ng tomondan boshlab to‘rtliklar (tetradalar) bilan almashtiramiz.
Endi, ixtiyoriy sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tishning xususiy qoidasini ko‘rib o‘tamiz.
Sakkizlik sanoq sistemasida berilgan sonning 1758 o‘nlik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini X10 topish talab etilsin. Buning uchun berilgan sonning 8 lik sanoq sistemasidagi yoyilmasini yozib olamiz.
va 8 lik sanoq sistemasida ekanligini hisobga olib topamiz.
Xuddi yuqoridagilardek, quyidagi misollarni ham qurish mumkin:
Shu paytgacha biz butun sonlarni bir sanoq sistemasidan boshqasiga o‘tkazish bilan shug‘ullandik. Kasr sonlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazish uchun, uning butun qismi yuqorida keltirilgan qoida, ya’ni bo‘lish asosida amalga oshiriladi. Kasr qismini R sanoq sistemasidan Q sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun kasr sonni Q ga ketma-ket ko‘paytirishda hosil bo‘lgan sonning butun kismlari ketma-ketligi, berilgan son kasr qismining Q sanoq sistemasidagi ko‘rinishini hosil qiladi. Misol sifatida o‘nlik sanoq sistemasida berilgan sonini 8 lik sanoq sistemasiga o‘tkazaylik. Berilgan sonning butun qismi-2510 sakkizlik sanoq sistemasida 418 ga teng. Endi kasr qismi 0,205 ni 8 lik sanoq sistemasiga o‘tkazamiz. Buning uchun uni ketma-ket 8 ga ko‘paytiramiz va hosil bo‘lgan butun qismini chiziqning chap tomoniga o‘tkazamiz.
0,205 ni 8 ga ko‘paytirganimizda 1,640 hosil bo‘ladi va uning butun qismini chiziqning chap tomoniga o‘tkazamiz. Keyin 0,640 yana 8 ga ko‘paytiramiz va hosil bo‘lgan 5,040 sonining butun qismini chiziqning chap tomoniga o‘tkazamiz. Ko‘paytirishni shu tarzda davom ettiramiz natijada 0,15028 sonini hosil qilamiz va butun qismini 418 ni hisobga olib, berilgan sonining 8 lik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini topamiz:
Shunday qilib, kasr sonni biror R sanoq sistemasidan ikkinchi Q sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun kasr qismini Q sanoq sistemasining asosiga ketma-ket ko‘paytirish kerak va butun qismida paydo bo‘lgan raqamlar ketma-ketligi berilgan son kasr qismining Q sanoq sistemasidagi ko‘rinishini hosil qiladi. Butun qismi, yuqorida zikr etilganidek, bo‘lish yordamida hosil qilinadi.
Ba’zi bir sanoq sistemalaridan ikkinchisiga qulayroq, osonroq holda o‘tish imkoniyatlari mavjud. Xususiy holda, 2 ga karrali sonlarning biridan 2 ikkinchisiga o‘tish qoidasini ko‘rib o‘tamiz.
Masalan, 8 lik sanoq sistemasida berilgan sonidan X2 ga bo‘lish uchun, X8 ning har bir raqamini 2 likdagi ko‘rinishi-triadalar () bilan almashtirib chiqamiz:
ni 2 lik sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun uning har bir raqamini 2 lik sanoq sistemasidagi to‘rtliklar-tetradalar bilan almashtiramiz:
Pozitsiyali sanoq sistemasida butun sonlarni quyidagi qonuniyat asosida hosil qilinadi: keyingi son oldingi sonning o‘ngdagi oxirgi raqamini surish orqali hosil qilinadi; agar surishda biror raqam 0ga aylansa, u holda bu raqamdan chapda turgan raqam suriladi.
Shu qonuniyatdan foydalanib, birinchi 10 ta butun sonni hosil qilamiz:
· Ikkilik sanoq sistemasida : 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· Uchlik sanoq sistemasida : 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· Beshlik sanoq sistemasida : 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· Sakkizlik sanoq sistemasida : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Pozitsion sanoq sistemasi o‘zining qulayligi bilan hayotda keng qo‘llanilmoqda.
Hozirgi kunda islilatilib kelinayotgan 1, 2, 3, . . ., 9, 0 raqamlaridan iborat o'nlik sanoq sistemasi axborotni kodlashning yana bir usuli hisoblanadi. Yurtdoshimiz Muhammad al-Xoraz- ™ miy 0 raqamini kirltib, bu arab (to'g'rirog'i, hind) raqamlarining sondagi turgan o'rniga bog'liq holda amallar bajarish tartibini ж yagona tizimga birlashtirgan. Shuning uchun ham bu kodlash sistemasi ustida qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi arif-metik amallarni bajarish juda oson.
Tarixiy ma'lumotlar
Odamlar o'rtasida muomala vositasi bo'lmish til kabi sonlarning ham o'z till mayjud bo'lib, u o'z ahfbosiga ega. Bu alifbo raqam-lar va sonlarni ifodalash uchun qo'llaniladigan belgilardan iborat-dir. Masalan, kundalik hayotimizda qo'llanadigan arab raqamlari 1, 2, . . ., 9, 0 yoki sizga 5-sinf matematikasidan ma'lum bo'lgan Rim raqamlari I, V, X, L, C, D, M sonlar alifbosining element-
lari hisoblanadi. Turli davrlarda turli xalqlar, qabilalar raqamlar va sonlarni ifodalashda turlicha belgilardan foydalanganlar. Masalan, qa-dimgi Misr o'nlik sanoq sistemasida sonlar raqamlarning birlashmasi ko'rinishida yozilgan bo'lib, har bir raqam ketma-ket 9 martadan ortiq takrorlanmagan:
Masalan, Misr o'nlik sanoq sistemasida 632107 soni quyidagicha yozilgan:
Mayya sanoq sistemasida 0 raqami va yana 19 ta raqam kiri-tilgan. Mayya sanoq sistemasi gorizontal yo'nalishda emas, balki vertikal yo'nalishda yozilgan. Masalan: 20=1 -20 + 0; 32 = 1 • 20 + 12; 429 = 1 • 202 + 1 • 20 + 9; 4805 = 12 • 202 + 0 ■ 20 + 5.
Qadimda ba'zi xalqlar ishlatadigan sonlar alifbosi beshta (qa-dimgi Afrika qabilalarida), o'n ikkita (masalan, inglizlarning sonlar alifbosida), yigirmata (XVI—XVII asrlarda Amerika qit'asida yasha-gan atstek, mayya qabilalarida; eramizdan awalgi II asrda G'ar-biy Yevropada yashagan keltlarda; fransuzlarda), ba'zilari oltmishta (qadimgi bobilliklarda) belgini o'z ichiga olgan. Ular mos ravishda besh raqamli (qisqacha beshlik) sanoq sistemasi, o'n ikki raqamli
(o'n ikkilik) sanoq sistemasi, yigirmata raqamli (yigirmalik) sanoq sistemasi yoki oltmishlik sanoq sistemasi deb nomlanadi.
Soatning oltmishga, sutkaning o'n ikkiga karraliligi, bir yilning 12 oydan iboratligi, inglizlarda uzunlik o'lchov birligi bo'lmish 1 fut-ning 12 dyuymga tengligi, fransuzlarning bir franki yigirma suga tengligi turli sanoq sistemalarining qo'llanilishi natijasidir. Inson har bir sistemani ishlatganda ma'lum vositalardan ham foydalan-gan. Masalan, o'n ikkilik sanoq sistemasi uchun vosita sifatida qo'l barmoqlaridagi bo'g'inlardan foydalanilgan. Biz kundalik hayotimizda qo'llayotgan sonlar alifbosi o'nta arab raqamini o'z ichiga olgan bo'lib, uning kelib chiqishi va qo'llanilishida tabiiy hisoblash vositasi bo'lmish qo'l barmoqlarimiz asosiy o'rin tutadi.
Sanoq sistemalari turlari
Ma'lumki, harflardan iborat alifboni qo'llashda ma'lum qonun va qoidalarga amal qilinadi. Sonli alifbodagi belgilardan foydalanishda ham o'ziga xos qoidalardan foydalaniladi. Bu qoidalar turli alifbolar uchun turlicha bo'lib, mazkur alifboning kelib chiqish tarixi bilan bog'Uq. O'z ichiga o'nta raqamni olganligi uchun bu alifbo o'zining barcha qoidalari bilan birgalikda o'n raqamli sanoq sistemasi yoki qisqacha o'nlik sanoq sistemasi deb ataladi.
Sonlar sistemasidagi raqamlar soni shu sistemaning asosi (quvvati) deb yuritiladi.
Sonlar alifbosiga kiritilgan (bir xonali) belgilar raqamlar va ular yordamida hosil qilingan boshqa (ko'p xonali) belgilar sonlar deb yuritiladi. Masalan, o'nlik sanoq sistemasida 5, 6, 8 — bu raqamlar, ammo 568 — bu son. O'nlik sanoq sistemasida birliklar, yuz-liklar, mingliklar va boshqalar har biri o'ntadan belgilardan iborat guruhlarga bo'lingan: 0, 1, ... , 9; 0 ta, 1 ta, ..., 9 ta 10; 0 ta, 1 ta, ..., 9 ta 100, ....
O'nlik sanoq sistemasida raqamlar o'zi turgan o'rni (razryadi)ga ko'ra turlicha miqdorni anglatadi. Masalan: a) 999: 9 (to'qqiz) — birlik; 90 (to'qson) - o'nlik; 900 (to'qqiz yuz) - yuzlik; b) 1991: 1 (bir) — birlik; 90 (to'qson) — o'nlik; 900 (to'qqiz yuz) — yuzlik; 1 (ming) — minglik.
Shu bois ham bu sistema raqamlari o'z pozitsiyasi (turgan o'rni) ga bog'Uq bo'lgan sistema deb ham yuritiladi.
Sanoq sistemalari shu xossasiga ko'ra raqamlarining pozitsiyasi-ga bog'Uq bo'lgan va raqamlarining pozitsiyasiga bog'Uq bo'lmagan (qisqacha pozitsiyali va pozitsiyali bo'lmagan) sanoq sistemalariga bo'linadi. Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemasiga Rim sanoq sistemasi misol bo'ladi.
Sizga ma'lumki, pozitsiyali sanoq sistemasi bo'lgan o'nlik sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish juda qulay, ammo pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemasi bo'lgan Rim sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish juda murakkab. Shuning uchun ham ajdodlarimiz raqam va sonlarni aniq bir shakllar tizimiga keltirish masalasiga katta e'tibor qaratganlar.
Pozitsiyali sanoq sistemalari
Pozitsiyali sanoq sistemalarida sonning qiymati raqamlar miqdoriy qiymatining sondagi turgan o'rni (martabasi, pozitsiyasi, razryadi)ga bog'liq bo'lgan holda, yig'indisi asosida hosil qilinadi. Pozitsiyali sanoq sistemasida sanoq sistemasining asosi raqamlar soniga teng bo'lib, raqamning miqdoriy qiymati raqamning o'rni o'zgarganda necha marta o'zgarishini aniqlaydi.
Nazariy jihatdan olganda sanoq sistemalarining asosi 2 dan bosh-lanib, ixtiyoriy bo'lishi mumkin. Sanoq sistemasi asosi p bo'lib, p soni 10 dan ortmasa, u holda raqam sifatida o'nlik sanoq sistemasi alifbosidagi 0 dan (p— 1) gacha bo'lgan raqamlar qo'llanadi. Agar p soni 10 dan katta bo'lsa, u holda qo'shimcha belgilar, odatda, lotin harfiari A harfidan boshlab qo'llaniladi.
Barcha pozitsiyali sanoq sistemalarida manfiymas butun sonlar quyidagi qoidalar asosida hosil qilinadi:
raqamni surish — raqamni sanoq sistemasi alifbosida o'zidan keyin kelgan raqamga almashtirish, masalan, o'nlik sanoq sistemasida 0 ni surishda 1 ga, 1 ni surishda 2 ga, 2 ni surishda 3 ga va hokazo almashtirish;
eng katta raqamni surish — eng katta raqamni 0 ga almashtirish, masalan, o'nlik sanoq sistemasidagi 9 ni 0 ga almashtirish.
Pozitsiyali sanoq sistemasida butun sonlar quyidagi sanoq qoida-si asosida hosil qilinadi: keyingi son oldingi sonning o'ngdagi oxirgi raqamini surish orqali hosil qilinadi, agar surishda biror raqam 0 ga aylansa, и holda bu raqamdan chapda turgan raqam suriladi, bun-da butun sonning oldiga yozilgan 0 uning qiymatiga ta'sir etmasligi e 'tiborga olinadi.
Shu qonuniyatdan foydalanib, butun sonlarni hosil qilishni ко'rib chiqamiz.
2 lik sanoq sistemasida faqat 0 va 1 raqamlari mavjud: 0; 1. Keyingi sonlarni hosil qilish:
Boshqa usulda tuziladigan sanoq sistemalari ham mavjud. Ular pozitsiyaga bog‘liq bo‘lmagan sanoq sistemalari deyiladi. Masalan rim raqamlari. Mazkur sistemada maxsus belgilar to‘plami kiritilgan bo‘lib, ixtiyoriy son shu belgilar ketma-ketligidan iborat bo‘ladi.
.
Bu belgilar va ularning kombinatsiyasi yordamida turli sonlarni hosil qilinadi. Masalan, 1 dan 3 gacha - I, II, III kabi, to‘rt (4) – IV , 5 – V tarzida ifodalanadi. Bu yerda 4 sonini yozish uchun 5 sonidan 1 sonini ayirib yoziladi, ya’ni I belgi V dan oldinga qo‘yilsa ayirish ma’nosini, agar keyinga qo‘yilsa qo‘shishni anglatadi. Umumiy holda: 6 – VI, 7 – VII, 400 – CD, 600 – DC ko‘rinishda ifodalanadi.
Rim sanoq sistemasida yozilgan sonlarni o‘nlik sanoq sistemasiga quyidagicha o‘tkazish mumkin:
VI ® V ³ I ® 5 + 1 = 6
IV ® (I ³ V) ? ® 5 - 1 = 4
XIX ® X + (I ³ X) ? ® 10 + (10-1) =19
XCIX ® (X ³ C)? + (I ³ X) ? ® (100-10) + (10-1) =99
MCMLXIII ® M + (C ³ M) ? +L+X+I+I+I®1000+(1000-100)+50+1+1+1 =1963.
Demak, bu sistemada har bir belgining ma’nosi va qiymati uning turgan pozitsiyasiga bog‘liq emas. Shuning uchun rim raqamlarini hayotda keng qo‘llash imkoniyati bo‘lmagan. Ammo ularni kitoblar bobini qo‘yishda, soatlarni yozuvida va boshqalarda qo‘llab turamiz.
Misol. Qaysi sanoq sistemasida 21+24 = 100 bo‘ladi?
Yechish: x – qidirilayotgan sanoq sistemasini asosi bo‘lsin. U holda 100x = 1·x2 + 0·x1 + 0·x0, 21x = 2·x1 + 1·x0, 24x = 2·x1 + 4·x0 bo‘ladi. Demak, x2 = 2x + 2x + 5 yoki x2 - 4x - 5 = 0 bo‘ladi. Bu tenglamaning musbat yechimi x=5 bo‘ladi. Demak, sonlar beshlik sanoq sistemasida berilgan ekan.
http://fayllar.org
|
