Hajm o’zgarishiga nisbatan deformasiya tenzorining komponentalari

Har qanday simmetrik tenzor kabi
^uik
tenzorni har bir berilgan nuqtada bosh

o’qlarga keltirish mumkin, ya’ni har bir berilgan nuqtada shunday koordinata

sistemasini
^uik

• 
  tenzorning bosh o’qlarini tanlash mumkinki, qaysikim
  

^uik

komponentalaridan
^u11 ^,u22 ^,u33
-diagonal komponentalari noldan farqli bo’ladi. Bu

komponentalarni, ya’ni Deformasiya tenzorning bosh qiymatlarini mos ravishda
_u (1) _,u (2) _,u (3)
deb belgilaymiz. Agar deformasiya tenzori berilgan nuqtada bosh o’qlarga keltirilgan bo’lsa, u holda hajm elementini o’rab olgan uzunlik elementi:

dl'²  (
 2u )dx dx  (1 2u ⁽¹⁾ )dx²  (1 2u ⁽²⁾ )dx²  (1 2u ⁽³⁾ )dx ²

ik ik i k 1 2 3
ya’ni bu ifoda uchta bir-biriga bog’liq bo’lmagan ifodaga aylanadi. Bu ifoda shuni bildiradiki, jismning har bir hajm elementida deformasiyani uchta o’zaro perpendikulyar yo’nalishlar – deformasiya tenzorining bosh o’qlari bo’yicha uchta bir-birga bog’liq bo’lmagan deformasiyalar yig’indisi sifatida qarash mumkin.

yoki siqilishni bildiradi.
dx₁
uzunlik bosh o’qlardan biri bo’yicha

1

1
uzunlikka aylanadi va h.k.
dx^' 
1 2u ⁽¹⁾ dx

ifodalar bu o’qlar bo’yicha


dx'₁ dx_i dx_i
1
nisbiy cho’zilishni bildiradi.

Jism deformasiyalanishining har bir hollarida deformasiyalanish kichik bo’ladi. Uzun yupqa sterjenni kuchli qayirsak ham, sterjen ichidagi cho’zilish va siqilish deformasiyalari mavjud bo’lib, deformasiyalanish kichik bo’ladi.

Kichik deformasiyalarda ^u_i
kichik, shuning uchun (3) ifoadadagi oxirgi

hadni ikkinchi tartibli kichik qiymat sifatida tashlab yozish mumkin:
1 ^ u_i u_k ^

^uik
 ^
2 _ x_k
 ^
x_{i }

endi bu holda deformasiya tenzorining bosh o’qlari yo’nalishlari bo’yicha olingan uzunlik elementlarining nisbiy cho’zilishi yuqori tartibli qiymatlar aniqligida
1  u ⁽ⁱ⁾

^uik
tenzorning bosh qiymatlariga teng bo’ladi.

Download 1,07 Mb.