Sonli tengsizliklar haqida. Toshkent 2008

1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
2
3
3
1 3
2 3
3 3
4
1
S
k
k
k
k
k
k
k
k
= >
>
=
+
+
+ +
+
+
+
−
>
+
+
+
+
+
+
+
+
. 
1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
3 3
4
1 3
2 3
4 3
3
k
k
k
k
k
k
k
+
+
−
=
+
−
+
+
+
+
+
+
+
=
(3
4)(3
3) (3
2)(3
3) (6
4)(3
4)
2
0
(3
2)(3
3)(3
4)
(3
2)(3
3)(3
4)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+ +
+
+ −
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
>
"
ekanligidan 
tengsizlik kelib chiqadi. Matematik induktsiya printsipiga 
asoslanib, ixtiyoriy natural son uchun (10) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
" 0
>
n
6-masala.
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
+
+
≥
+
+
tengsizlikni isbotlang, bu yyerda 
, ,
x y z
- 
musbat sonlar.
Yechilishi. 
Ma’lum
2
2
2
2
2
2
2 ,
2 ,
2
x
y
xy x
z
xz y
z
+
≥
+
≥
+
≥
yz
)
tengsizliklarni 
qo’shib, ushbu 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
) (
) (
) 2(
) 2(
x
y
x
z
y
z
x
y
z
xy xz yz
+
+
+
+
+
≥
+
+
≥
+
+
tengsizlikni olamiz. 
7-masala.
4
4
4
(
)
x
y
z
xyz x y z
+
+
≥
+ +
tengsizlikni isbotlang, bu yerda , ,
x y z
- 
musbat sonlar.
Yechilishi. 
1-masalaga ko’ra: 
4
4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
( )
( )
( )
2
x
y
z
x
y
z
x y
y z
x z
+
+
=
+
+
≥
+
+
ga egamiz. Bu yerdan esa 
2
2
2 2
2 2
(
)
x y
y z
x z
xyyz yzzx zxxy xyz x y z
+
+
≥
+
+
=
+ +
ni olamiz. 
8-masala.
4
4
4
4
4
x
y
z
u
xyzu
+
+
+
≥
tengsizlikni isbotlang, bu yerda , , ,
x y z u
- 
musbat sonlar.
Yechilishi. 
4
4
2 2
4
4
2
2
,
2
2
x
y
x y
z
u
z
+
≥
+
≥
u
2
ga egamiz. Demak, 
4
4
4
4
2 2
2
2
2
x
y
z
u
x y
z u
+
+
+
≥
+
. Bundan tashqari 
2 2
2 2
2
x y
z u
xyz
+
≥
u
. Demak, 
4
4
4
4
4
x
y
z
u
xyzu
+
+
+
≥
. 
26

9-masala.
2
1
1
(
)
(
)
2
4
x y
x y
x y
y
+
+
+
≥
+
x
tengsizlikni isbotlang, bu yerda 
,
x y
- musbat sonlar. 
Yechilishi. 
Birinchidan,
2
1
1
1
(
)
(
)
(
)(
2
4
2
x y
x y
x y x y
1
)
2
+
+
+
=
+
+ +
. 
Ikkinchidan,
2
x y
xy
+
≥
,
1
1
1
2
4
4
x y
x
y
x
+ + = + + + ≥
+
y
. 
Demak,
2
1
1
(
)
(
)
(
)
2
4
x y
x y
xy
y
x
x y
y
+
+
+
=
+
≥
+
x
. 
10-masala.
0,
0
x
y
≥
≥
va 
2
x y
+ =
bo’lsin.
2 2
2
2
(
)
x y x
y
+
≤
2
1
tengsizlikni isbotlang. 
Aniqlik uchun
 
 
1
,
1
, 0
x
y
ε
ε
ε
= +
= −
≤ ≤
deb olamiz. U holda 
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
(
) (1
) (1
) ((1
)
(1
) ) (1
) (2 2 )
x y x
y
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
= −
+
−
+ +
= −
+
=
2
2
2
2
4
2(1
)(1
)(1
) 2(1
)(1
) 2
ε
ε
ε
ε
ε
=
−
−
+
=
−
−
≤
 
11-masala
. va 
b
bir xil ishorali sonlar bo’lsin. 
a
2 2
2
2
2
3
(
)
10
4
12
a b a b
a
ab b
+
+
≤
+
ekanligini isbotlang. 
Qachon tenglik bajariladi?
ekanligini hisobga olib va Koshi 
tengsizligidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz: 
0
ab
>
2
2
2
2
3
2
(
)
10
4
2
3
1
a
ab b
ab ab
a b
a
ab b
ab ab
+
+
+
+
+
+
⋅
⋅
≤
=
2
+
. 
Tenglik esa 
bo’lganda bajarilishini eslatib o’tamiz. 
a b
=
12-masala
. va birdan katta sonlar bo’lsin. 
,
a b
c
2
2
2
log (
)log (
)log (
) 1
a
b
b
b
c
a
b ac
c ab
a bc
ac
ab
bc
− +
− +
− +
≥
tengsizlikni isbotlang. 
27

1,
1,
1
a
b
c
>
>
>
va
2
2
2
2 ,
2 ,
2
b
c
a
ac
b
ab
c
bc
a
ac
ab
bc
+
≥
+
≥
+
≥
 
bo’lgani uchun
2
2
2
log (
)log (
)log (
) log (2
)
a
b
b
a
b
c
a
b ac
c ab
a bc
b b
ac
ab
bc
− +
− +
− +
≥
− ×
=
. 
log (2
)log (2
) log
log log
1
b
c
a
b
c
c c
a a
b
c
a
×
−
−
=
13-masala
. va 
b
musbat sonlar bo’lsin. 
a
3
3
3
1 1
2(
)(
)
a
b
a b
b
a
a b
+
≤
+
+
tengsizlikni isbotlang. 
Yechilishi. 
Berilgan tengsizlikni kubga ko’tarish va soddalashtirishlardan so’ng 
quyidagiga ega bo’lamiz: 
3
3
3(
) 4
a
b
a
b
a
b
+
≤ + +
b
a
. Koshi tengsizligiga ko’ra
3
1 1
3
a
b
b
+ + ≥
a
va 
3
1 1
3
b
a
a
+ + ≥
b
tengsizliklarni olamiz va ularni qo’shib, qidirilayotgan tengsizlikni 
olamiz. 
14-masala. 
2
1
2
1
3
1
(
3
1
4(
1)
n
k n
n
n
n N
n
k
n
= +
)
+
≤
≤
∈
+
+
∑
ekanligini isbotlang. 
Yechilishi. 
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
(
)
3
1
2
3
1
2
(3
1
)
n
n
n
n
k n
k n
k n
k n
n
k
n
k
k
n
k
k
k n
= +
= +
= +
= +
+
=
=
+
=
≤
+ −
+ −
+ −
∑
∑
∑
∑
k
; 
1)
2
2
2
(3
1)
3
1
(3
1)
(3
1
)
(
)
4
4
4
n
n
n
k n
k
k
+
+
+
+ −
=
−
−
≤
tengsizlikdan 
2
2
1
1
3
1
4 (3
1)
2
2
(3
1
) 2(3
1)
3
n
k n
n
n n
k n
k
n
n
= +
+
+
≥
=
+ −
+
+
∑
1
n
ekanligi kelib chiqadi; 
28

2) 
(3
1
) 2 (
1) (2
)(
(
1)) 0 (
1
2 )
k n
k
n n
n k k
n
n
k
n
+ −
−
+ =
−
− +
≥
+ ≤ ≤
tengsizlikdan 
2
1
1
3
1
(3
1)
3
2
(3
1
) 4 (
1) 4(
1
n
k n
n
n n
n
k n
k
n n
n
= +
1
)
+
+
+
≤
=
+ −
+
+
∑
ekanligi kelib chiqadi. 
Demak 
2
1
2
1
3
1
(
)
3
1
4(
1)
n
k n
n
n
n N
n
k
n
= +
+
≤
≤
∈
+
+
∑
. 
15-masala
. 
va musbat sonlar bo’lsin. 
tengsizlik
va faqat biror uchburchak tashkil qilgandagina bajarilishi 
mumkinligini isbotlang. 
,
a b
c
4
4
4
2
2
2
2(
) (
)
a
b
c
a
b
c
+
+
<
+
+
2
0
=
,
a b
c
Yechilishi.
Ravshanki, bizning tengsizligimiz
4
4
4
2 2
2 2
2 2
2
2
2
a
b
c
a b
b c
a c
+
+
−
+
+
<
tengsizlikka teng kuchli. Oxirgi 
tengsizlikning chap tomonini almashtiramiz:
4
4
4
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
(
2 )(
2 ) ((
)
)((
)
)
(
)(
)(
)(
)
a
b
c
a b
b c
a c
a
b
c
a b
a
b
c
ab a
b
c
ab
a b
c
a b
c
a b c a b c a b c a b c
+
+
−
+
+
=
+
− −
=
=
+
− −
+
− +
=
−
−
+
−
=
− +
− −
+ +
+ −
Demak, berilgan tengsizlik 
va biror uchburchak tashkil qilganda aniq 
ravishda bajariladigan ushbu 
,
a b
c
(
)(
)(
)(
) 0
a b c a b c a b c a b c
− +
− −
+ +
+ − >
tengsizlikka teng kuchli.
Endi faraz qilamiz, bu tengsizlik bajariladi, biroq
va biror uchburchak 
tashkil qilmaydi. U holda 
,
a b
c
,
,
,
a b c a b c a b c a b c
− +
− −
+ +
+ −
sonlardan kamida 
ikkitasi manfiy. 
va 
0
a b c
+ − <
0
b c a
+ − <
bo’lsin. Bu yerdan masalaning shartiga 
zid bo’lgan 
tengsizlikni olamiz. 
2
0
b
<
16-masala
.
– 
ketma-ketlikning biror o’rin 
almashtirishi bo’lsin.
1
2
, , ... ,
n
b b
b
1
2
,
, ... ,
n
a a
a
1
2
1
2
1
1
1
(
)(
)...(
) 2
n
n
n
a
a
a
b
b
b
+
+
+
≥
29

tengsizlikni isbotlang. 
Tengsizlikning isboti
 
Koshi tengsizligidan darhol kelib chiqadi: 
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
...
1
1
1
(
)(
)...(
) 2
2
...2
2
...
n
n
n
n
n
n
a
a a a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b b
b
+
+
+
≥
=
=
n
. 
17-masala.
10
6
5
3
2
1 0
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+ + >

Download 1,19 Mb.