To’la faktorli faol tajriba natijalari bo’yicha ko’p faktorli regression matematik model qurish jarayonini ko’rib chiqamiz.
Y=b0+b1x1+...+bixi+...+bM xM+b12x1x2+...+bM-1M xM-1 xM
ko’rinishdagi matematik model qurish bilan shug’ullanamiz. Bunda: xi - faktorlarning kodlangan qiymatlari (i= ), bi, bij - noma’lum koeffitsiyentlar, (i, j= ), Xoi - i-faktor natural qiymatining asosiy sathi; Xyui, Xqi - i-faktorning yuqori va quyi natural qiymatlari; Ii - i-faktorning o’zgarish intervali. 6.2 - va 6.3 - jadvallarda ikki faktorli va uch faktorli rejalashtirish matrisalari keltirilgan.
6.2 – jadval.
u
|
Faktorlar
|
Yuv
|
SShB
|
X1
|
X2
|
Yu1
|
Yu2
|
|
Yum
|
1
|
-1
|
-1
|
Yu11
|
Yu12
|
|
Y1m
|
(1)
|
2
|
+1
|
-1
|
Yu21
|
Yu22
|
|
Y2m
|
A
|
3
|
-1
|
+1
|
Yu31
|
Yu32
|
|
Y3m
|
b
|
4
|
+1
|
+1
|
Yu41
|
Yu42
|
|
Y4m
|
Ab
|
6.2 - va 6.3 - jadvallarda SShB - satrlarni shartli belgilashni bildiradi. Bunda a, b, c,...lar x1, x2, x3,... faktorlar yuqori sathdagi qiymatlarni qabul qilganligini bildiradi. Agar hamma faktorlar yuqori sathdagi qiymatni qabul qilsa (6.1) bilan belgilash kelishilgan.
Ko’p faktorli model qurish uchun , lar hisoblanib, so’ng 8 ta operasiya ketma-ket bajariladi. Bulardan 1-, 2-, 3-, 4-, va 8 - operasiyalar bir faktorli model qurishda ishlatilgan formulalar bo’yicha bajariladi.
6.3 –jadval.
u
|
Faktorlar
|
Yuv
|
SShB
|
X1
|
X2
|
X3
|
Yu1
|
|
Yum
|
1
|
-
|
-
|
-
|
Yu11
|
|
Y1m
|
(1)
|
2
|
+
|
-
|
-
|
Yu21
|
|
Y2m
|
А
|
3
|
-
|
+
|
-
|
Yu31
|
|
Y3m
|
В
|
4
|
+
|
+
|
-
|
Yu41
|
|
Y4m
|
Ав
|
5
|
-
|
-
|
+
|
Yu51
|
|
Y5m
|
С
|
6
|
+
|
-
|
+
|
Yu61
|
|
Y6m
|
Ас
|
7
|
-
|
+
|
+
|
Yu71
|
|
Y7m
|
Вс
|
8
|
+
|
+
|
+
|
Yu81
|
|
Y8m
|
Авс
|
5 - operasiyada modelning ko’rinishi aniqlanadi. Modelni
Y=b0+b1x1+...+bixi+...+bMxM+b12x1x2+...+bM-1MxM-1xM
ko’rinishda qidiramiz. Agar model
Y=b0+b1x1+...+bixi+...+bMxM
chiziqli ko’rinishda bo’lsa, yettinchi operasiyada model hadlarinining chiziqsiz qismi chiqarib tashlanadi.
6 - operasiyada regressiya koffisiyentlari quyidagi formulalar bo’yicha hisoblanadi:
ij
(i= ),
bunda N - sathlar kombinasiyalari soni.
7 - operasiyada regressiya koeffisentlarining ahamiyatliligi tekshiriladi. Bunda Styudent alomatidan foydalaniladi:
bunda,
Styudent alomatining tx[Rd=0,95; f{ }=N(m-1)] qiymati qaraladi.
Agar txj tengsizlik bajarilsa, modelning tekshirilayotgan koeffitsiyenti ahamiyatli emas deb faraz qilinadi.
Misol. 6.4 - jadvalda keltirilgan rejalashtirish matrisasi ma’lumotlari bo’yicha uch faktorli matematik model qurilsin.
6.4 -jadval
u
|
Faktorlar
|
Yuv
|
|
|
Vuҳmin
|
Vuҳmax
|
Wҳ
|
Х1
|
Х2
|
Х3
|
Yu1
|
Yu2
|
Yu3
|
|
|
|
|
|
1
|
-1
|
-1
|
-1
|
8
|
11
|
8
|
9
|
3
|
0,7
|
1,4
|
1,1
|
2
|
+1
|
-1
|
-1
|
13
|
15
|
11
|
13
|
4
|
1,2
|
1,2
|
2,0
|
3
|
-1
|
+1
|
-1
|
14
|
16
|
12
|
14
|
4
|
1,2
|
1,2
|
2,0
|
4
|
+1
|
+1
|
-1
|
20
|
18
|
16
|
18
|
4
|
1,2
|
1,2
|
2,0
|
5
|
-1
|
-1
|
+1
|
16
|
15
|
14
|
15
|
1
|
1,2
|
1,2
|
2,0
|
6
|
+1
|
-1
|
+1
|
22
|
20
|
18
|
20
|
4
|
0,6
|
0,6
|
2,0
|
7
|
-1
|
+1
|
+1
|
17
|
18
|
13
|
16
|
7
|
0,51
|
0,38
|
1,8
|
8
|
+1
|
+1
|
+1
|
21
|
19
|
17
|
19
|
4
|
0,6
|
0,6
|
2,0
|
Yechish: , hamda 1-, 2- operasiyalarning natijalari 6.4 - jadvalning o’ng tomonida keltirilgan.
Vj[0,95;3]=1,412 va Wj[0,95;3]=0,767 lar berilgan. u=1,2,...,8 qiymatlar uchun Vuxminj, Vuxmaxj, Wх>Wj, tajribaviy ma’lumotlarning eng kichik va eng katta qiymatlari chiqarib yuborilmaydi, ular normal qonunga bo’ysunadi.
3-operasiya. Kochren mezonining hisoblangan qiymatini topamiz:
Gj[Rd=0,95; f{ }=m-1=2; N=8]=0,516. Gхj bo’lgani uchun dispersiyalar bir jinslidir.
4-operasiya. O’rtacha dispersiyani hisoblaymiz.
5-operasiya. Noma’lum modelni
Y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+ b13x1x3+ b23x2x3
ko’rinishida qidiramiz.
6-operasiya. Bu operasiyada noma’lum regressiya koeffitsiyentlarini aniqlaymiz.
Natijada, quyidagi ko’p faktorli regression modelga ega bo’lamiz:
Y=15,5+2x1+1,25x2+2x3 - 0,25x1x2 - 1,25x2x3.
7-operasiya. Model koeffitsiyentlarining ahamiyatliligini aniqlash uchun Styudent mezonini hisoblaymiz:
Stpyudent mezonining jadval qiymatini topamiz:
tx[Rd=0,95; f=8(3-1)=16]=2,12. tх va tj larni solishtiramiz,ya’ni tхj bo’lgani uchun b3 va b12 koeffitsiyentlarning ahamiyatsiz ekanligini hisobga olib ular tashlab yuboriladi. U holda modelning oxirgi ko’rinishi
Y=15,5+2x1+1,25x2+2x3-1,25x2x3
bo’ladi.
6.3. Ko’p o’zgaruvchili chiziqli regressiya uchun
kichik kvadratlar usuli
Chiziqlimas regressiya bo’lgan xollarda regression model qurish asosi bo’lib eng kichik kvadratlar usuli hisoblanadi. Biroq bu xolda parametrlar bahosini qidirishda (parametrlarga nisbatan) chiziqlimas tenglamalar sistemasi quriladi, uni yechish uchun turli iterasiya usullari qo’llaniladi.
Kichik kvadratlar usuli. Masala
yi = axi+b
chiziqli bog’liqlikning koyeffisiyentlarini topishdan iborat, bunda a va b o’zgaruvchilarning funksiyasi eng kichik qiymat qabul qiladi:
Ya’ni a va b ning qiymatlarida tajriba natijalari asosida topilgan chiziqdan chetlanishlari kvadratlarining yig’indisi eng kichik bo’ladi. Eng kichik kvadratlar usuli shundan iborat.
Shunday qilib masalaning yechimi ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumini topishga keltiriladi.
Misol. X va Y uzgaruvchilarning tajriba natijasida olgan qiymatlari quyidagi 6.5-jadvalda keltirilgan.
6.5-jadval.
|
0
|
1
|
2
|
3
|
5
|
|
2,1
|
2,4
|
2,6
|
2,8
|
3,0
|
Ularni tenglashtirib quyidagi funksiyaga ega bo’lamiz
.
Eng kichik kvadratlar usulini qo’llab bu qiymatlarga yaqinlashuvchi y=ax+b chiziqli bog’lanish uchun a va b parametrlarni toping.
Funtsiyadan a va b parametrlar bo’yicha xususiy hosila olamiz
.
Hosil bo’lgan ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasini yechamiz.
Topilgan a va b qiymatlarda funksiya eng kichik qiymatga erishadi (6.6 - jadval).
6.6-jadval.
i
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
|
0
|
1
|
2
|
3
|
5
|
11
|
|
2,1
|
2,4
|
2,6
|
2,8
|
3,0
|
12,9
|
|
0
|
2,4
|
5,2
|
8,4
|
15,0
|
31,0
|
|
0
|
1
|
4
|
9
|
25
|
39
|
a va b qiymatlarini qo’yib, yaqinlanish chiziqqa ega bo’lamiz.
Masala. Firma maxsulotlarni shahar ichidagi yaqin masofalarga tarqatadi. Bunday xizmatlarni tashish vaqtga bog’liq holda baholanadi. Tashish vaqtiga eng ko’p ta’sir qiladigan omil sifatida o’tilgan masofa belgilangan.
6.7 - jadval.
i
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
X
|
Masofa - km.
|
3,5
|
2,4
|
4,9
|
4,2
|
3,0
|
1,3
|
1,0
|
3,0
|
1,5
|
4,1
|
Y
|
Vaqt - minut
|
16
|
13
|
19
|
18
|
12
|
11
|
8
|
14
|
9
|
16
|
.
Qidirilayotgan regression bog’liklik quyidagicha bo’ladi.
Regressiya chizig’ining qiyaligi 2,66 min/km, bu 1 km masofaga ketadigan vaqt. To’g’ri chiziqning Y o’qi bilan kesishgan nuqtasi 5,913 minut - bu o’tilgan masofaga bog’liq bo’lmagan vaqt.
6.8.- jadval.
№
|
Regressiya natijasi
|
Kirish signallari
|
Funksiya qiymati (Chiqish signallari)
|
Tajriba natijasi
|
Adekvatlik
|
a
|
b
|
xi
|
yi
|
|
|
1
|
2,66
|
5,913
|
3,5
|
15,223
|
16
|
4,85625
|
2
|
2,66
|
5,913
|
2,4
|
12,297
|
13
|
5,407692
|
3
|
2,66
|
5,913
|
4,9
|
18,947
|
19
|
0,278947
|
4
|
2,66
|
5,913
|
4,2
|
17,085
|
18
|
5,083333
|
5
|
2,66
|
5,913
|
3
|
13,893
|
12
|
15,775
|
6
|
2,66
|
5,913
|
1,3
|
9,371
|
11
|
14,80909
|
JAMI
|
|
|
|
86,816
|
89
|
46,21031
|
O’rtacha qiymat
|
|
|
|
17,3632
|
17,8
|
8,736
|
Normal taqsimlangan jarayonlar uchun taxminan 91,2% nuqtalar regressiya chizig’idan standart chetlanish doirasida bo’ldi va bu chetlanish bizni qoniqtiradi.
Tayyor maxsulotlarni ishlab chiqishni kelgusi yil (yoki yillar) uchun rejalashtirish muhim iqtisodiy masalalardan biridir. Bu oldingi yillarda erishilgan natijalar asosida aniqlanadi va mavjud ma’lumotlarga asoslanib matematikaning eng kichik kvadratlar usuli yordamida tayyor maxsulotlarni ishlab chiqishni rejalashtirish masalasiga bag’ishlanadi.
Amaliyotda ko’pincha rejalashtirlayotgan maxsulotlarni ishlab chiqish
(6.3)
ko’rinishdagi bog’liqlik funksiya yordamida qidiriladi. Bu erda -vaqtning dastlabki paytidagi maxsulotlarni ishlab chiqish, - qo’shiladigan o’rtacha maxsulotlarni ishlab chiqish - yil.
(6.3) formuladan ko’rinadiki rejalashtirlayotgan maxsulotlarni ishlab chiqish “X” ning chiziqli funksiyasidan iborat bo’lib, uning grafigi to’g’ri chiziq bo’ladi. Ammo turli faktorlarga ko’ra masalan ob-havo, xolatlar va boshqa sabablarga ko’ra aslida olingan maxsulotlar rejalashtirilgan maxsulotlarni ishlab chiqishdan farq qiladi.
Aslida etishtirilgan va rejalashtirilgan maxsulotlarni ishlab chiqishlar orasidagi farqni analitik ifodasini ko’rinishda yozish mumkin.
Eng kichik kvadratlar usulini mohiyatiga ko’ra va noma’lum parametrlar shunday tanlanishi kerakki, ifoda eng kichik qiymatga ega bo’lsin. va parametrlarni qiymati ushbu sistemani yechimidan aniqlanadi:
(6.4)
(6.5)
Haqiqatan ham ikki o’zgaruvchili funksiyani va lar bo’yicha xususiy hosilalarini nolga tenglash natijasida ya’ni , dan quyidagi
(6.6)
sistema hosil bo’ladi. Bundan esa (6.5) sistema o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
|
