Vektor а  ni  songa ko’paytirganda uning o’qqa proeksiyasi ham shu songa ko’payadi, ya’ni pr ( а  )= . pr а  (10d -rasm). Boshqacha aytganda skalyar ko’paytuvchini proeksiya belgisidan chiq

3. Vektor а  ni  songa ko’paytirganda uning o’qqa proeksiyasi ham shu songa ko’payadi, ya’ni pr ( а  )= . pr а  (10d -rasm). Boshqacha aytganda skalyar ko’paytuvchini proeksiya belgisidan chiqarish mumkin ekan

• Endi АВ vektorning  o’qdagi tashkil etuvchi А1 В1 vektorni proeksiya orqali ifolalaymiz. 0  vektor  o’qqa mos birlik vektor bo’lsin. U holda А1 В1 = pr АВ  0  (1) bo’lishi ravshan. Izoh. Vektorning boshqa vektor yo’nalishiga proeksiyasi ham xuddi vektorning o’qqa proeksiyasi kabi aniqlanadi. Vektorni koordinata o’qlaridagi tashkil etuvchilari bo’yicha yoyish Oxyz fazoda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini olaylik. O’qlarning har birida boshi koordinatalar boshida bo’lib yo’nalishi o’qning musbat yo’nalishi bilan ustma-ust tushadigan birlik vektorlarni olamiz va ularni i , j , k lar orqali belgilaymiz. Bu yerdagi i 0х o’qqa mos, j 0у o’qqa mos va k 0z o’qqa mos birlik vektorlar. Demak i , j , k birlik vektorlar o’zaro perpendikulyar va nokomplanar

• 7-ta’rif. Uchta i , j , k vektorlar sistemasi dekartning to’g’ri burchakli bazisi yoki ortlar deb ataladi. а  fazodagi ixtiyoriy vektor bo’lsin. Shu vektorni i , j , k ortlar orqali ifodalash mumkinmi? Agar mumkin bo’lsa u ifodani qanday topish mumkin? degan savollarga javob topishga harakat qilamiz. а  vektorni o’z-o’ziga parallel ko’chirib uning boshini koordinatalar boshiga joylashtiramiz. а  =ОМ vektorning oxiri М nuqtadan koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar o’tkazamiz. Natijada diagonallaridan biri ОМ vektordan iborat parallelepipedga ega bo’lamiz. 12-rasmdan vektorlarni qo’shish qoidasiga binoan а  =ОМ1 + М1 P + PМ ga ega bo’lamiz. М1 P =OМ2 , PМ =ОМ3 bo’lgani uchun а  =ОМ1 + ОМ 2 +ОМ 3 (2) bo’ladi. ОМ1 , ОМ 2 va ОМ 3 vektorlar mos ravishda а  =ОМ vektorni 0х, 0у va 0z o’qlardagi tashkil etuvchilari bo’lganligi uchun ular 1) formulaga ko’ra

• ОМ1 = x p r0 ОМ i , ОМ2 = у pr 0 ОМ  j , ОМ3 = z p r0 ОМ  k (3) bo’ladi. а  =ОМ vektorning 0х, 0у, 0z o’qlardagi proeksiyalarini mos ravishda ах , ау , аz lar orqali belgilasak (2) va (3) formulalarga asoslanib а  = ах i + ау j + аz k (4) formulaga ega bo’lamiz. Shunday qilib fazodagi istalgan а  vektorni yagona usul bilan dekart bazisi i , j , k orqali (4) ko’rinishda ifodalash mumkin ekan. (4) а  vektorni uning koordinatalar o’qlaridagi tashkil etuvchilari orqali yoyilmasidir. Bu yoyilmani har xil qo’llanmalarda har xil nomlar bilan yuritiladi.

• Masalan uni vektorni ortlar, dekart bazisi, vektorni proeksiyalari va koordinatalari orqali yoyilmasi deb ham yuritiladi. Faraz qilaylik vektorning oxiri М nuqta х,у,z koordinatalarga ega bo’lsin. U holda а  =ОМ vektorning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari ах=х,ау=у,аz=z bo’lib (4) yoyilma а  =х i +у j +z k (5) ko’rinishga ega bo’ladi. Vektorning koordinata o’qlaridagi proeksiyalarini uning koordinatalari deb ham ataladi. O’qlardagi proeksiyalari ах , ау , az ga teng а  vektorni а  ={ах ; ау ; аz } ko’rinishda yozamiz. ах - а  vektorning abssissasi, ау - ordinatasi, az – applikatasi deb ataladi. Shunday qilib boshi koordinatalar boshida bo’lgan а  =ОМ vektor bilan uni oxiri M nuqta bir xil koordinatalarga ega bo’lar ekan. ОМ vektor M nuqtaning radius-vektori deyiladi. Izoh: Bundan buyon vektor berilgan yoki vektor topilsin deyilganda vektorning koordinatalari berilganligini yoki vektorni koordinatalarini topish lozimligini tushuniladi.

• Koordinatalari orqali berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar Agar vektorlarning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari (vektorning koordinatalari) malum bo’lsa, u holda bu vektorlar ustidagi qo’shish, ayirish va vektorni songa ko’paytirishi amallarini ularning proeksiyalari ustidagi arifmetik amallar bilan almashtirish mumkin. Vektorlar а  =ах i +ау j +аz k , b  =bх i +bу j +bz k yoyilmalari yordamida berilgan bo’lsin. U holda а   b  =(ах  bх )i +(ау  bу ) j +(аz  bz ) k ,  а  = ах i + ау j + аz k , ya’ni vektorlarni qo’shganda (ayirganda) ularning mos koordinatalari qo’shiladi (ayiriladi), vektorni songa ko’paytirganda uning barcha koordinatalari shu songa ko’paytiriladi

• 10. Vektorning uzunligi Fazoda vektor а  =ах i +ау j +аz k yoyilmasi yordamida berilgan bo’lib uning uzunligi а  ni topish talab etilsin. Qaralayotgan holda (12-rasm) а  =ОМ vektor qirralari shu vektorning koordinata o’qlaridagi tashkil etuvchilari ОМ1 , ОМ2 va ОМ3 dan iborat parallelepipedning diagonallaridan biri ekanligi aytilgan edi. To’g’ri burchakli parallelepiped diognalining kvadrati uning qirralari kvadratlarining yig’indisiga teng bo’lishi ma‘lum. Shunga ko’ra 2 3 2 2 2 1 2 2 а  ОМ  ОМ  ОМ  ОМ , yoki ОМ1  ах , ОМ2  ау va ОМ3  аz bo’lgani uchun 2 а  = 2 ах + 2 ау + 2 z а ,bundan vektorni uzunligini topish formulasi а  = 2 2 2 ах  ау  аz (6) ni hosil qilamiz. 6-misol. а  =6 i +3 j -2 k vektorni uzunligi topilsin? Yechish. Misolda ах=6, ау=3, аz=-2 bo’lgani uchun (6) formulaga binoan а  = 2 2 2 6  3  (2) = 36  9  4 =7 bo’ladi