|
-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish
|
| bet | 2/3 | | Sana | 21.05.2024 | | Hajmi | 279,4 Kb. | | #248038 |
Bog'liq 3-mustaqil ish difrensial tenglamalar1-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: tenglamaning o‘ng tomoni faqat x ga bog‘liq. Shu sababli differensial tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini ketma-ket uch marta integrallaymiz:
Yuqori tartibli differensial tenglalarni yechishning Koshi usuli.
1-Teorema (Koshi teorem asi). Agar (2) differensial tenglamada ushbu
funksiyalar D n+l с R n+l sohada aniqlangan va uzluksiz b o ‘lsa, u holda:
1. (2) differensial tenglamaning biror I integralda aniqlangan,
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud.
2. Agar y = p(x), x e f va y = y(x), x e I 2 funksiyalarning har biri (2) differensial tenglamaning yechimi bo ‘lib, berilgan x0 uchun
b o ‘lsa, va yechimlar aniqlanish sohalarining umumiy qismida ustma-ust tushadi. Boshqacha aytganda, agar nuqtada b o ‘lsa, u holda f n I 2 intervalda p (x) = у (x) bo‘ladi.
3-Ta'rif. Agar f (x, y, y ',...,y (n-1)) funksiya Dn+1 с R n+1 sohada aniqlangan bo‘lib, bu funksiya uchun shunday L - 0 son mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy nuqtalar uchun ushbu
tengsizlik bajarilsa, u holda f (x ,y ,y ',...,y (n-1)) funksiya D n+1 sohada y ,y ',...,y (n-1) lar bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshits o ‘zgarmasi deyiladi.
2-Teorema (Pikar-Lindelyof teoremasi). Agar f (x ,y ,y ',...,y (n-1)) funksiya Dn+l с R n+1 sohada aniqlangan va uzluksiz b o ‘lib, shu D n+l sohada y, —,...,y (n-1) lar b o ‘yicha Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda har bir (x0, y0, y ',...,y 0(n-1)) e DB+1 nuqta uchun shunday o ‘zgarmas h > 0 son topilsaki , natijada (2) tenglamaning (8) boshlang‘ich shartlarini qanoatlantiradigan va I = {x : |x - x0| < h} oraliqda aniqlangan yagona yechimi mavjud b o ‘ladi.
3-Teorema (Peano teoremasi). Agar f (x ,y ,y ',...,y (n-1)) funksiya D n+1 sohada aniqlangan va uzluksiz b o ‘lib, (x0, y0, y'0,...,y 0(n-1)) e DB+1 b o ‘lsa, u holda (2) differensial tenglamaning (8) boshlang‘ich shartlarini qanoatlantiradigan kamida bitta yechimi mavjud.
|
| |
