L
, а второй –
2
L
, запишем
уравнения системы в следующем виде:
C
C
2
~
𝑢
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
82
1,2
1,2
1,2 1,2
1,2
1
sin
,
m
d
i dt
R i
U
t
dt
С
(1)
2
1
2
2
, ,
,
d x
dx
m
Kx
F x i i
dt
dt
(2)
где:
sin
m
U
t
напряжение внешнего источника;
1,2
i
токи в обмотках электромагнитов;
1,2
L
индуктивности катушек электромагнитов;
1,2
R
активные сопротивления обмоток электромагнитов;
1,2
C
емкости колебательных контуров;
m
приведенная к якорю масса подвижных частей вибровозбудителя
x
перемещение якоря;
коэффициент трения подвижной части;
K x
упругость пружин;
3
K x
x
x
1
1
2
, ,
F x i i
возмущающая сила, являющаяся функцией перемещения
x
и
токов
1
2
,
i
i
. Экспериментально подтверждающееся наличие колебаний в системе с
частот
, отличной от частоты внешнего воздействия, позволяет предположить,
что решение уравнения (2) относительно
x
следует искать в виде гармонической
функции:
cos
,
x
A
t
(3)
где:
A
амплитуда искомых автоколебаний;
частота механических автоколебаний;
начальная
фаза, определяющая положение якоря при
x
(
0
).
Индуктивности электромагнитов
1
L
и
2
L
нелинейно зависят от
x
могут быть
описаны следующими аппроксимирующими функциями:
2
2
0
0
1,2
0
01
02
0
0
0
1
;
,
2
1
2
SW
SW
L
L
L
L
L
x
x
y
x
(4)
где
S
— условное сечение магнитопровода катушки;
W
— число витков
катушки.
Здесь:
01
02
,
L
L
индуктивности в среднем положении якоря; средний зазор;
0
x
y
x
относительное перемещение.
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
83
При учете ненасыщенности магнитопроводов потокосцепление каждого из
них можно выразить следующей функцией:
1,2
1,2 1,2
L i
.
Заменив переменные и повторно продифференцировав уравнение (1),
получим:
2
1,2
2
2
2
2
1,2
1,2
1,2
01,02
1,2
1,2
1,2
01,02
1,2
2
cos
1
;
m
d
d
U
t
y
y
dt
dt
(5)
где:
1,2
2
2
01
02
1,2
1,2
01
1
02
2
01,02
1
1
,
,
,
.
R
L C
L C
L
Приближенные решения уравнений (5) можно получить, если предположит
что в электрической части системы существуют автоколебания, близкие по частоте
к вынужденным колебаниям. Тогда решения (5) можно представить в виде суммы
двух гармонических колебаний:
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
sin
cos
.
a
t
b
t
(6)
По энергетическому методу приближенного решения уравнений, неизвестные
1
2
1
2
1
2
, , , ,
и
a a
b b
можно найти из (5) с учетом (3).
4
2
2
01
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
01
1
01
1
1
2
01
1
1
1
1
1
1
1
2
2
01
1
1
1
;
;
2
; tg
;
;
m
U
Ab
a
b
tg
(7)
4
2
2
02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
02
2
02
2
2
2
02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
02
2
2
2
,
;
2
;
;
.
m
U
Ab
a
b
tg
tg
(8)
При получении выражений (7) и (8) учитывалось, что частота
связана с
соотношением
1,2
и решение не содержит секулярных членов.
Для решения (2) возмущающую силу механического колебательного контура
можно определить как разность двух электромагнитных сил, действующих в
магнитных полях электромагнитов.
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
01
02
, ,
.
2
2
2
2
i dL
i dL
F x i i
dx
dx
L
L
(9)
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
84
Тогда выражение (2) можно записать с учетом (9) таким образом:
2
2
2
1
2
2
01
02
.
2
2
d x
dx
m
kx
dt
dx
L
L
(10)
Для определения амплитуды и частоты колебаний якоря подставим (6) и (3) в
(10) и приравняв коэффициенты при sin
и cos
t
t
, найдем:
2
2
0
0
0
0
2
2
2
1
1
1
2
sin
45
sin
45
.
3
A
F a b
a b
(11)
где :
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
0
0
0
0
0
,
,
,
,
1
,
,
,
.
2
a
a
a
a
A
A
x
F
m
m
m
L x m
Полученные выражения позволяют определить амплитуду колебаний ЭМВВ
при учете нелинейности упругого элемента, характеризующегося коэффициентом
. Если им принеберечь, то можно определить выражение для частот
механических колебаний и его фазу.
2
2
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
2
sin
45
sin
45
2
4
F a b
a b
(12)
2
2
0
0
1
1
1
2
2
2
0
1
1
1
2
2
2
sin
sin
tg
.
cos
cos
F a b
a b
F a b
a b
(13)
Как видно из выражений (3) и (6) поток, а следовательно и ток являются
биениями колебаний с огибающей частотой
. Амплитуды этих колебаний
зависит от напряжения сети и глубины модуляции параметра
х
. На частоту
автоколебаний системы существенно влияют емкости
1
C
и
2
C
.
При расстройке электрических параметров появляется неравенство сил,
действующих на якорь, и в системе само возбуждаются автоколебания. В отличие
от электромеханической системы с одним электромагнитом (Л.5,6,7,9)
рассмотренная система включения двух электромагнитов имеет более устойчивые
колебания и позволяет реализовать двухкомпонентные колебаний за счет наличия
второго электрического контура.
Выводы
1.
Предложена математическая модель, определяемая исходной системой
нелинейных дифференциальных уравнений, для электромеханической
системы,
содержащей
два
электромагнита,
соединенных
по
дифференциальной схеме;
2.
Сформирована система нелинейных дифференциальных уравнений второго
порядка. На основе метода малого параметра, для гармонического процесса
автоколебаний, получено решение уравнений. Найденное решение
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
85
позволяет анализировать процессы в двухконтурной автономной
электромеханической системе с учетом электромеханических связей.
3.
Приведен анализ полученного решения для частных случаев параметров
системы.
Электромагнитные
возбудители
колебаний
с
двумя
электромагнитами, соединенными по дифференциальной схеме, обладают
рядом существенных преимуществ перед другими типами возбудителей.
Они позволяют в широком диапазоне изменения их параметров, плавно
регулировать амплитуду и частоту автоколебаний.
Литература:
1.
Ильин М.М. Теория колебаний: Учебник для вузов под редакцией
К.С. Колесникова 2-е издание. Издательство МГТУ им Н.Э. Баумана, 2003-272с
2.
Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи 5-е издание Москва
Высшая школа 2015 г. стр 375.
3.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. Изд. 8-е Москва Наука 2008 г. Стр. 504.
4.
Попов
Е.Г.
Теория
нелинейных
систем
автоматического
регулирования и управления. Изд. 3-е М. Наука 2011.Стр.420
5.
Ибадуллаев М.И., Нуралиев А.К., Есенбеков А.Ж., Назаров А.И.,
Резонансный электромагнитный вибровозбудитель колебаний с обратной связью.
Вестник МЭИ №1 2020 г. Стр. 57-60. Москва.
6.
ЧесноковА.А. К теорию и расчету электромагнитных колебаний.
Электричество. 1961 г.№12 стр.37-40.
7.
S.H. Chowdhury, Tilliakhojaev M., Md.S.Ullah. An Analysis on Electro-
Magnetic Vibro-Exciter Fed by Non-linear Power, controlled by Velocity transducer.
Journal of Electrical Engineering, the Jnstitution of Engineers, Bangladesh. Vol. EE24,
№1, 1996.
8.
Исмаилов З. И., Халилов И.А., Исмаилов А.З. Исследование
двухтактного вибровозбудителя в вынужденном режиме. Узбекский журнал
проблемы информатика и энергетики. Ташкент, 2017 №1 Стр.58-62.
9.
Назаров А.И., Ибадуллаев М.И., Тилляходжаев М.М. Структурная
схема электромагнитного вибровозбудителя с амплитудно – частотным
управлением. Журнал проблемы энерго и ресурсосбережения 2016 №3-4 стр 55-59.
Ташкент.
10.
Антипов В.И., Ефременков Е.Е. Асимптотический методы в теории
нелинейных колебаний. Изд. 8-е. Москва. Наука.2008 г.стр 504.
11.
Щѐголев С.А. Метод малого параметра А.Пуанкаре в теории
нелинейных колебаний. Учебно-методическое пособие. Одесса ОНУ 2015г.
12.
Тилляходжаев М.М., Ибодуллаев М.И., Нуралиев А.К. Синтез
двухтактного
электромагнитного
вибровозбудителя,
выполнѐнного
по
дифференциальной схеме. Вестник ТашГТУ №4 2003г. Стр.57-60
| 